Интегральное исчисление

1. Интегральное исчисление

2. Неопределенный интеграл

3.

Одной из основных задач интегрального
исчисления является восстановление функции по
известной производной этой функции.
Определение:
Функция
F(x)
называется
первообразной для функции f(x) на некотором
промежутке X, если для всех значений x из этого
промежутка выполняется равенство: F ( x) f ( x).

4.

Примеры:
1. Функция F ( x) sin x является первообразной
для функции f ( x) cos x на всей числовой прямой,
так как при любом значении х
F ( x) sin x cos x f ( x).
2. Функция F ( x) 1 x 2 является первообразной
x
для функции f ( x)
на интервале ( 1; 1) ,
2
1 x
так как в любой точке этого интервала
F ( x)
1 x 2 1 x ( 2x) 1 x f ( x).
2
1
x
2
2

5.

Задача нахождения по данной функции f(x) ее
первообразной решается неоднозначно.
Теорема: Если F(x) первообразная для функции
f(x) на некотором промежутке X, то любая другая
первообразная для функции
f(x) на том же
промежутке может быть представлена в виде
F(x)+С, где С – произвольная постоянная.

6.

Определение: Если функция F(x) первообразная
для функции f(x) на промежутке X, то множество
функций F(x)+С, где С – произвольная постоянная
называется неопределенным интегралом от функции
f(x) на этом промежутке:
f x dx F x C.
f(x) – подынтегральная функция,
f x dx – подынтегральное выражение,
х – переменная интегрирования,
f x dx – совокупность всех первообразных для
функции f(x).

7.

Восстановление функции по ее производной, то
есть нахождение неопределенного интеграла по
данной подынтегральной функции называется
интегрированием этой функции.
Интегрирование представляет собой операцию
обратную дифференцированию. Поэтому для того,
чтобы проверить правильно ли выполнено
интегрирование, достаточно продифференцировать
результат и получить подынтегральную функцию.
3x 2 .
3
2
3
x
C
3
x
dx
x
C
,
так
как
1
1
2
x
2 x
2 x
2 x
e dx 2 e C, так как 2 e C e .

8. Основные свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла
равна подынтегральной функции:
f ( x)dx f ( x).
2. Дифференциал от неопределенного интеграла
равен подынтегральному выражению:
d f ( x)dx f ( x )dx.
3. Неопределенный интеграл от дифференциала
некоторой функции равен сумме этой функции и
постоянной:
dF x F x C.

9.

4. Постоянный множитель можно выносить за
знак интеграла: kf x dx k f x dx.
5. Неопределенный интеграл от алгебраической
суммы двух функций равен алгебраической сумме
интегралов от каждой функции в отдельности:
f x f x dx f x dx f x dx.
1
6. Если
2
1
2
u
u
x
,
и
то
f
x
dx
F
x
C
f u du F u C
(свойство инвариантности).

10.

Таблица основных интегралов
1. dx x C , C const
n 1
x
2. x n dx
C , n 1
n 1
3. dx ln x C
x
x
a
4. a x dx
C , a 0, a 1
ln a
5. e x dx e x C
6. sin xdx cos x C

11.

7. cos xdx sin x C
dx
tgx C
8.
2
cos x
dx
9. 2 ctgx C
sin x
dx
arcsin x C
10.
1 x2
dx
x
arcsin C
11. 2
a
a x2

12.

dx
arctgx C
12.
2
1 x
dx
1
x
13. 2
arctg C
2
a x
a
a
14.
dx
1
x a
x 2 a 2 2a ln x a C
15.
dx
x k
2
ln x x 2 k C , k const
Интегралы, содержащиеся в таблице принято
называть табличными интегралами.

13. Основные методы интегрирования

14.

Непосредственное интегрирование
Вычисление
интегралов
с
помощью
непосредственного
использования
таблицы
интегралов и основных свойств неопределенного
интеграла
называется
непосредственным
интегрированием.

15.

dx
Пример: Вычислить интеграл 2 .
x 3
Решение:
2
Так как 3 3 , то, применяя интеграл №14,
получим:
dx
dx
1
x 3
ln
C.
2
x2 3 2
2 3 x 3
x 3

16.

Пример: Вычислить интеграл
1
3
4 x x 2 x2 5cos x dx.
Решение:
Воспользуемся
основными
свойствами
неопределенного интеграла и таблицей интегралов:
1
3
4 x x 2 x2 5cos x dx 4 xdx x dx
3
1
2
2 1
2
1 2
x
x
1 x
x dx 5 cos xdx 4
2
2 3 1 2 2 1
2
2
1
5sin x C 2 x 2
x5
5sin x C.
5
2x
3
2

17.

2
2
x
3 x 4
Пример: Вычислить интеграл
dx.
x
Решение:
Разделим почленно числитель на знаменатель, а
затем
используем
основные
свойства
неопределенного интеграла и таблицу интегралов:
2 x2 3 x 4
3 4
dx 2 x
dx 2 xdx
x
x x
1
2
1
2
dx
x2
x
3 x dx 4 2 3 4ln x C
1
x
2
2
x 2 6 x 4ln x C.

18.

2
x
x
Пример: Вычислить интеграл sin cos dx.
2
2
Решение:
Подынтегральную функцию возведем в квадрат,
преобразуем
полученное
выражение
и
воспользуемся таблицей интегралов:
2
x
x
x
x
2x
2 x
sin 2 cos 2 dx sin 2 2sin 2 cos 2 cos 2 dx
1 sin x dx dx sin xdx x cos x C.

19.

Интегрирование подведением под знак
дифференциала
Подведение под знак дифференциала – это
внесение под знак дифференциала либо постоянного
слагаемого, либо постоянного множителя, либо
функции, либо и то и другое вместе.
Такие интегралы объединяет то, что под знаком
дифференциала в подынтегральном выражении стоит
не просто переменная х, а такая функция и(х),
относительно которой данный интеграл является
табличным.

20.

Замечание 1: Под знаком дифференциала к
переменной интегрирования можно прибавить
любое число:
d ( x a) ( x a) dx 1 dx dx dx d ( x a).
dx
Пример: Вычислить интеграл
.
x 3
Решение:
Получим выражение x 3
под знаком
дифференциала и воспользуемся табличным
интегралом:
dx
d ( x 3)
x 3 x 3 ln x 3 C.

21.

Замечание 2: При внесении под знак
дифференциала постоянного множителя А, перед
знаком
интеграла необходимо умножить на
множитель 1 :
A
1
d ( Ax) ( Ax) dx A dx dx d ( Ax).
A
2 x
e
dx.
Пример: Вычислить интеграл
Решение:
Получим выражение 2x
под знаком
дифференциала и воспользуемся табличным
интегралом:
1 2 x
1 2 x
2 x
e dx 2 e d ( 2 x) 2 e C.

22.

Замечание 3: При внесении под знак
дифференциала функции используют второе
свойство неопределенного интеграла:
d f ( x)dx f ( x )dx.
Пример: Вычислить интеграл cos x sin x dx.
Решение:
Внесем под знак дифференциала функцию sin x :
3
3
cos
x sin xdx sin xdx d sin xdx d cos x
4
cos
x
3
cos x d cos x
C.
4

23.

Интегрирование методом подстановки
Теорема: Пусть функция x (t ) определена и
дифференцируема на некотором промежутке Т и
пусть Х – множество значений этой функции, на
котором определена функция f ( x) . Тогда, если на
множестве Х функция f ( x) имеет первообразную,
то на множестве Т справедлива формула:
f x dx f t t dt.
Такой метод интегрирования называют методом
подстановки или методом замены переменной.

24.

dx
.
Пример: Вычислить интеграл
x 1 ln x
Решение:
Введем новую переменную:
t 1 ln x
1
dx
dt
2
t
1
x 1 ln x dt 1 ln x dx dx t dt
x
1
2
t
C 2 t C 2 1 ln x C.
1
2

25.

x 2 dx
Пример: Вычислить интеграл
.
6
4 x
Решение:
Преобразуем подынтегральную функцию и введем
новую переменную:
t x3
x 2 dx
x 2 dx
3
2
dt
x
dx
3
x
dx
4 x6 4 x3 2
2 1
x dx dt
3
1
dt
1 1
t
1
x3
2 2 arc tg C arc tg C.
3 2 t 3 2
2
6
2

26.

Пример: Вычислить интеграл
Решение:
Введем новую переменную:
dx
.
x 1 4
t x 1; x t 2 1;
dx
2tdt
2
t 4
x 1 4 t x 1; dx 2tdt
t 4 4
4
d (t 4)
t 4
2
dt 2
dt 2 dt 8
t 4
t 4
t 4 t 4
2t 8ln t 4 C 2 x 1 8ln
x 1 4 C.

27.

Метод интегрирования по частям
Теорема: Пусть функции u ( x) и v ( x ) определены
и дифференцируемы на некотором промежутке Х и
пусть функция u ( x)v( x) имеет первообразную на
этом промежутке. Тогда на промежутке Х также
имеет первообразную функция u ( x)v ( x) и имеет
место формула:
u x v ( x)dx u x v( x) v x u ( x) dx.
Так как v ( x)dx dv и u ( x)dx du , то формула
интегрирования по частям примет вид:
u dv u v v du.

28.

Рекомендации по применению метода
интегрирования по частям
Вид подынтегральной функции
Pn ( x)e kx
Pn ( x)sin kx
Pn ( x) cos kx
Pn ( x) ln x
Pn ( x) arcsin x
Pn ( x)arctgx
e ax cos bx
e ax sin bx
sin(ln x)
cos(ln x)
Рекомендации
dv ekx dx
dv sin kxdx u Pn ( x)
dv cos kxdx
u ln x
u arcsin x dv Pn ( x)dx
u arctgx
Применяется
двукратное
интегрирование по частям и
интеграл определяется как
неизвестное

29.

Пример: Вычислить интеграл x sin xdx.
Решение:
Воспользуемся методом интегрирования по частям:
u x,
dv sin xdx,
x sin xdx du dx, v sin xdx cos x
x cos x cos xdx x cos x cos xdx
x cos x sin x C.

30.

Пример: Вычислить интеграл 2 x ln xdx.
Решение:
Воспользуемся методом интегрирования по частям:
u ln x,
dv 2 xdx,
2 x ln xdx du 1 dx, v 2 xdx x2
x
2
1
x
x 2 ln x x 2 dx x 2 ln x xdx x 2 ln x C .
x
2

31.

Пример: Вычислить интеграл x 2 2 x e 2 x dx.
Решение:
Применим метод интегрирования по частям:
2
2x
x
2
x
e
dx
u x 2 2 x,
dv e 2 x dx,
1 2x
du (2 x 2)dx, v e dx e
2
2x
1 2x
1 2x
1 2x
2
x 2 x e e (2 x 2)dx x 2 x e
2
2
2
2
x 1 e 2 x dx

32.

Применим еще раз метод интегрирования по
частям:
u x 1, dv e 2 x dx,
1 2x
1 2x x 2x e
2x
2
du dx, v e dx e
2
2
1 2x
1 2x
1 2x
2
( x 1) e e dx x 2 x e
2
2
2
1 2x 1 2x
1 2x 2
3
( x 1) e e C e x 3x C.
2
4
2
2

33.

Пример: Вычислить интеграл e x cos xdx.
Решение:
Воспользуемся методом интегрирования по частям:
u ex ,
dv cos xdx,
e cos xdx du e dx, v cos xdx sin x
x
x
x
e sin x sin x e dx
x
u ex ,
dv sin xdx,
du e dx, v sin xdx cos x
x
e x sin x e x ( cos x) cos xe x dx
e x sin x e x cos x e x cos xdx.

34.

Искомый интеграл получили в качестве
слагаемого. Разрешим полученное уравнение
относительно искомого интеграла.
x
x
x
x
e
cos
xdx
e
sin
x
e
cos
x
e
cos xdx;
2 e x cos xdx e x sin x cos x ;
1 x
e cos xdx 2 e sin x cos x C.
x