АГиТДУ Лекция 6 Линейные и квадратичные формы

1.

АГиТДУ
Линейная алгебра
Лекция 6 Линейные и билинейные формы
Лектор курса
Поторочина К.С.
Доцент ДИТиА, ИРИТ-РТФ

2.

Линейные формы
Определение. Говорят, что в линейном пространстве L n задана линейная форма, если каждому
вектору x Ln поставлено в соответствие число f x , при этом выполнены следующие условия:
10. x, y L
f x y f x f y ;
2 0. x L P
f x f x .

3.

Линейные формы
Пусть в пространстве L n выбран базис Б e1,
, en .
n
Тогда произвольный вектор x Ln можно разложить по этому базису: x xi ei .
i 1
n
n
Запишем линейную форму: f x f xi ei xi f ei .
i 1
i 1
Обозначим f ei ai , тогда линейная форма в базисе Б e1,
n
f x ai xi a1x1 ... a n xn ,
i 1
где x1,..., x n – координаты вектора x,
числа a1,..., a n – коэффициенты линейной формы.
, en примет вид:

4.

Коэффициенты линейной формы (ЛФ)
Замечание. Коэффициенты линейной формы a1,..., a n не зависят от x ,
они являются значениями линейной формы на базисных векторах.
Пусть в базисе Б e1,
x1
x
, en вектору x соответствует столбец координат X 2 ,
...
xn
a1
a
коэффициенты линейной формы также выпишем в столбец F 2
...
an
(будем считать его столбцом координат некоторого вектора а).
Тогда
f x X Т F x, a .

5.

Коэффициенты ЛФ в новом базисе
Пусть ЛФ f x имеет в базисе Б e1,
а в базисе Б e1 ,
, en столбец коэффициентов F ,
, e n – столбец коэффициентов F ,
T TБ Б – матрица перехода от базиса Б к базису Б’.
Линейная форма f x :
в Б:
f x X Т F
в Б’:
f x X Т F
Приравняем соответствующие выражения: X Т F X Т F .
Воспользуемся формулами связи координат: X TX и X T 1 X .
Т
Т
Тогда TX F X F ,
X Т T Т F X Т F ,
Получили формулу преобразования коэффициентов ЛФ при переходе к другому базису:
F T Т F .

6.

Билинейные формы
Определение. Скалярная функция A x, y (отображение : Ln Ln P ) двух векторных
переменных x, y Ln называется билинейной функцией или билинейной формой, если она является
линейной по обоим аргументам:
10. x, y, z Ln
2 0. x, y Ln
A x y , z A x, z A y , z ;
P
A x , y A x , y ;
Условия 10 , 2 0 означают линейность по первому аргументу.
30. x, y, z Ln
4 0. x, y Ln
A x, y z A x , y A x , z ;
P
A x, y A x , y .
Условия 30 , 4 0 – линейность по второму аргументу.

7.

Билинейные формы (БФ)
Запишем выражение билинейной формы через координаты векторов x и y .
Пусть Б e1,
, en – базис ЛП L n .
n
n
i 1
j 1
Тогда произвольные векторы x, y Ln можно разложить по базису: x xi ei , y y j e j .
Запишем билинейную форму в этом базисе:
n
n
n n
A x, y A xi ei , y j e j xi y j A ei , e j .
j 1
i 1
i 1 j 1

8.

Коэффициенты БФ
n
n
n n
A x, y A xi ei , y j e j xi y j A ei , e j .
j 1
i 1
i 1 j 1
Обозначим A ei , e j f ij , тогда билинейная форма в базисе Б e1, , en имеет вид:
n
n
A x, y f ij xi y j f11x1 y1 f12 x1 y 2 ... f nn xn y n ,
i 1 j 1
где x1,..., x n – координаты вектора x ,
y1,..., y n – координаты вектора y ,
f ij A ei , e j – коэффициенты билинейной формы.
Замечание: коэффициенты билинейной формы являются ее значениями на базисных векторах и
не зависят от координат векторов x и y .

9.

Матричная форма БФ
Пусть в Б e1,
x1
x
2
, en вектору x соответствует X ,
...
xn
y1
y
y – столбец координат Y 2 .
...
yn
f11 ...
.
Введем матрицу билинейной формы в этом базисе: F .
f
n1 ...
f1n
. .
f nn
Тогда билинейная форма может быть записана в матричном виде:
A x, y X Т F Y .

10.

Симметричная БФ
Определение. Билинейная форма A x, y называется симметричной,
если x, y Ln
A x, y A y , x .
Утверждение. Для того чтобы билинейная форма была симметричной необходимо и достаточно, чтобы ее матрица в любом базисе была симметричной.
Замечание. Любая симметричная билинейная форма может быть принята за скалярное произведение.

11.

Связь коэффициентов БФ при изменении базиса
Пусть в базисе Б e1, , en вектору x соответствует столбец координат X ,
вектору y – столбец координат Y ,
F – матрица билинейной формы.
В базисе Б e1 ,
, e n билинейной форме сопоставлена матрица F ,
векторам x и y – столбцы координат X и Y соответственно,
T TБ Б – матрица перехода.

12.

Матрица БФ в новом базисе
Запишем билинейную форму в старом и новом базисах:
Т
A x, y X Т F Y и A x, y X F Y .
Т
Приравняем соответствующие выражения: X F Y X F Y .
Т
Применим формулы связи координат: X TX и Y TY .
Тогда
TX Т FTY X Т F Y , X Т T Т FTY X Т F Y .
Получаем закон преобразования матрицы билинейной формы при переходе к другому базису:
F T Т F T .

13.

Матрица БФ
Замечание. При переходе от ОНБ к ОНБ в вещественном евклидовом пространстве матрица
перехода ортогональна, т.е. T 1 T Т .
При этом закон преобразования матрицы билинейной формы совпадает с законом преобразования матрицы оператора.

14.

Канонический вид билинейной формы
Теорема. Пусть A x, y симметричная билинейная форма в евклидовом пространстве E n . Тогда в E n существует такой ортонормированный базис, в котором биn
линейная форма принимает канонический вид A x, y i x i y i ,
i 1
где x i , y i – координаты векторов x и y в данном базисе,
i – характеристические числа матрицы билинейной формы.
(Без доказательства.)

15.

Квадратичные формы в евклидовом пространстве
Определение 1. Числовая функция A x, x , получаемая из симметричной билинейной формы
A x, y заменой второго аргумента y на вектор x , называется квадратичной формой.
Определение 2. Квадратичной формой от n вещественных переменных x1, x 2 ,
ловая функция вида A x, x F x1,
n
, x n называется чис-
n
, xn aij xi x j , где aij R называются коэффициентами квадраi 1 j 1
тичной формы.
Определение 3. Симметричная матрица F f ij
вается матрицей квадратичной формы.
n n
из коэффициентов квадратичной формы назы-

16.

Связь между матрицами сопряженных операторов
Запишем квадратичную форму через координаты вектора x :
n
n
A x, x f ij xi x j f11 x1 2 2 f12 x1x2 ... f nn x n 2 ,
i 1 j 1
коэффициент 2 f12 появился потому, что f12 f 21 в силу симметричности произведений x1x 2 и x 2 x1 .
Пример. Матрица квадратичной формы
F x1, x2 , x3 3x12 2 x22 x32 2 x1x2 6 x2 x3 имеет вид:
3 1 0
A 1 2 3 .
0 3 1

17.

Канонический вид КФ
Определение. Говорят, что квадратичная форма A x, x , определённая на векторах пространства
E n , приведена к каноническому виду, если в некотором базисе e1, e2 ,
, en она может быть записана в
n
виде A x, x i x i 2 .
i 1
Базис, в котором квадратичная форма принимает канонический вид, называется каноническим базисом формы A x, x .

18.

Канонический вид КФ
Теорема. В n -мерном евклидовом пространстве R n задана квадратичная
n
n
A x, x f ij xi x j .
i 1 j 1
Тогда в R n существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы F f ij данной квадратичной формы, в котором квадратичная форма принимает
n
канонический вид A x, x i x i 2 ,
i 1
где где x i – координаты векторов x данном базисе, i – характеристические числа матрицы квадратичной формы.

19.

Приложение квадратичных форм к задачам
аналитической геометрии
Рассмотрим общее уравнение кривой второго порядка
a11x 2 2a12 xy a 22 y 2 a1x a 2 y a 0 .
(*)
F x, y a11x 2 2a12 xy a 22 y 2 – квадратичная форма.
Эту квадратичную форму с помощью ортогонального оператора (оператора поворота)
можно привести к сумме квадратов.
В ОНБ из собственных векторов матрицы квадратичной формы уравнение (*) будет
иметь вид:
1x 2 2 y 2 a1 x a 2 y a 0 .
Это уравнение можно путем выделения полных квадратов привести к каноническому виду.
Точно также можно привести общее уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду.

20.

Алгоритм приведения к каноническому виду
1. Записать характеристическое уравнение F E 0 для матрицы квадратичной
формы и найти собственные значения 1,..., n R (среди них могут быть совпавшие).
2. Найти ОНБ из собственных векторов матрицы F с помощью процесса ортогонализации Грама-Шмидта.
3. Записать канонический вид квадратичной формы.
4. Записать матрицу перехода от исходного ОНБ к новому ОНБ из собственных
векторов.
5. Преобразовать линейную форму.
Замечание. Нахождение канонического вида квадратичной формы называется
приведением ее к главным осям, в качестве которых выступают собственные векторы
матрицы квадратичной формы.