27-30_Дифференциальные уравнения (1 порядка)

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

2. 29. Понятие дифференциального уравнения. Порядок, решение дифференциального уравнения. Интегральные кривые.

3.

При
решении
различных
задач
математики, физики, химии и других
наук
часто
пользуются
математическими моделями в виде
уравнений, связывающих независимую
переменную, искомую функцию и её
производные.
Такие
уравнения
называются
дифференциальными.
(Термин принадлежит
Г. Лейбницу,
1676г.)

4.

• Определение.
Дифференциальным
уравнением (ДУ) называется уравнение,
содержащее независимую переменную,
искомую функцию и её производные или
дифференциалы.
или
dy d 2 y
dny
F x, y, , 2 ,..., n 0
dx dx
dx
F x, y, y , y ,..., y n 0

5. Примеры ДУ:

2
6y x y 0
y 2 xy 0
y 4 x
y
y xe
x dy 2 y dx
x dy y ln x dx

6.

• Определение.
Наивысший
производной, входящей в
называется порядком ДУ.
порядок
уравнение,
• Определение. Решением ДУ называется
функция, которая при подстановке в
уравнение обращает его в тождество.
• Определение. Если искомая функция
зависит от одной переменной, то ДУ
называют
обыкновенным,
если
от
нескольких – ДУ в частных производных.

7. Пример 1. Показать, что данная функция является решением ДУ

Процесс нахождения решений дифференциального
уравнения
называется
интегрированием
дифференциального уравнения.
Пример 1. Показать, что данная функция
y C1 sin x C2 cos x, C1 , C2 R
является решением ДУ
y y 0

8. Решение:

y C1 cos x C2 sin x
y C1 sin x C2 cos x
Подставим:
C1 sin x C2 cos x C1 sin x C2 cos x 0
0 0
y C1 sin x C2 cos x являются
Т.о. функции вида
решениями данного ДУ при любом выборе постоянных С1
и С2:
C1 1 u C2 0 : y sin x
C1 0 u C2 2 : y 2 cos x
C1 3 u C2 1: y 3sin x cos x

9. 30. Дифференциальные уравнения 1-го порядка: общий вид, задача Коши, общее и частное решения, общий и частный интегралы.

10.

• ДУ I порядка имеет вид
F x, y, y 0
или
dy f ( x, y ) dx
y f ( x, y )
Уравнение
связывает
независимую
переменную x , искомую функцию y и её
производную y .
• Общим решением ДУ I порядка называется
функция y ( x, C ) ,
содержащая
одну
произвольную
постоянную
С.
Уравнение
Φ(x,y,С) = 0 , задающее в неявном виде решение
дифференциального
уравнения,
называется
общим интегралом ДУ.

11.

• Определение. Общим решением ДУ I
порядка называется функция y ( x, C ) ,
содержащая одну произвольную постоянную
С
• Определение. Уравнение
Φ(x,y,С) = 0 ,
задающее в неявном виде решение
дифференциального уравнения, называется
общим интегралом ДУ.

12.

• Определение. Частным решением ДУ I
порядка называется любая функция
y ( x,C 0 ), полученная из общего решения
y ( x, C ) при
конкретном
значении
постоянной С = С0.
или ( x, y, C0 ) 0 (частный интеграл)

13. Пример 2. ДУ:

2
ДУ: y 3x
Пример 2.
y x C -общее решение
C 2 : y x3 2
C 1 : y x 3 1
C 0: y x
3
частные решения
3
y x C 3x 2
3
3
3
y x 2 3x 2
y x 1 3x 2
3x
y x
3
2

14. Геометрически:

• Общее решение ДУ y ( x, C ) есть семейство
интегральных кривых на плоскости Оху;
• Частное решение ДУ y ( x,C 0 ) -одна кривая
этого семейства, проходящая через точку ( x0 , y 0 )
y 3x 2
у
y x 3 C -общее решение
y x 1 -частное решение
3
(х0, у0)
х

15.

• Условие, что при х = х0 функция у должна
быть равна заданному числу у0 называется
начальным условием.
y ( x0 ) y 0
или
y x x0 y 0
• Задача отыскания конкретного частного
решения данного ДУ по начальным данным
называется задачей Коши (Cauchy).

16. Пример 3. Решить задачу Коши:

Решение:
y e
3 x
,
2
y (0)
3
1 3 x
y e C -общее решение
3
2
Подставим в общее решение начальные условия: y (0)
3
2
1 3 0
e C
3
3
у 2
0;
3
х
2
1
C
3
3
2 1
C 1
3 3
1 3 x
y e 1 -частное решение
3

17. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

• Если в уравнении y f ( x, y )
функция f(x,y) и
её частная производная f y ( x; y ) непрерывны в
некоторой области D, содержащей точку (х0;у0), то
существует единственное решение y (x)
этого уравнения, удовлетворяющее начальному
условию y ( x0 ) y0

18. 31. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

19. ДУ I порядка с разделёнными переменными.

Дифференциальным уравнением с разделёнными
переменными называется дифференциальное
уравнение вида M ( x) dx N ( y ) dy 0 , где
M ( x), N ( y ) - функции переменных х и у
соответственно
Метод решения:
Почленное интегрирование обеих частей уравнения:
M ( x) dx N ( y) dy C

20. Пример Решить ДУ:

Пример
x dx y dy 0
Решить ДУ:
Решение:
общее решение:
y 2 x2 C
или
y x C
y dy x dx
у
y dy x dx
y2
x2
C
2
2
y 2 x 2 2C
С
2
2
С
2
0
х
Геометрически:
получили
семейство
концентрических окружностей с центром в
начале координат и радиусом С.

21. ДУ I порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида
M1 ( x) N1 ( y) dx M 2 ( x) N 2 ( y) dy 0 , где
M1 ( x), M 2 ( x), N1 ( y), N 2 ( y) - функции
переменных х и у соответственно, называется
дифференциальным уравнением с
разделяющимися переменными

22.

Метод решения:
1) Разделить переменные
M1 ( x) N1 ( y) dx M 2 ( x) N 2 ( y) dy 0 : N1 ( y) M 2 ( x) 0
M 1 x N1 y
M 2 x N 2 y
dx
dy 0
N1 y M 2 x
N1 y M 2 x
M 1 ( x)
N 2 ( y)
dx
dy 0
M 2 ( x)
N1 ( y )
2) Решить уравнение с разделёнными переменными
M 1 ( x)
N 2 ( y)
dx
dy C
M 2 ( x)
N1 ( y )

23. Замечание:

1. При проведении почленного деления ДУ на
N1 ( y) M 2 ( x)
могут быть потеряны некоторые решения.
Поэтому следует отдельно решить уравнение
N1 ( y) M 2 ( x) 0
и установить те решения ДУ, которые не могут
быть получены из общего решения- особые
решения.

24.

2. Уравнение y f1 ( x) f 2 ( y) также сводится
к уравнению с разделенными переменными.
dy
Для этого достаточно положить y
dx
и разделить переменные .

25. Пример Найти общее и частное решение ДУ:

x dy y dx, y (5) 10
Решение:
1) Найдём общее решение ДУ:
x dy y dx : ху 0
dy dx
y
x
dy
dx
y x
ln y ln x C
ln y ln x ln C
ln y ln xC
y Cx
y Cx
⇒
y Cx

26.

Итак, общее решение ДУ:
y Cx
2) Найдём частное решение ДУ, если y (5) 10
Подставим эти начальные условия в общее
решение ДУ и найдем С:
10 5 C
C 2
⇒
y 2 x - частное решение ДУ.
Ответ: общее решение y Cx
частное решение y 2 x

27.

Геометрически:
у = 2х
у
(5;10)
х
общее решение y Cx
частное решение y 2 x

28. Пример Найти общее решение ДУ:

1 x y dx 1 y x dy 0
Решение:
1 x y dx 1 y x dy 0
1 y x dy 1 x y dx : xy 0
1 y
1 x
dy
dx
y
x

29.

1
1
1 dy 1 dx
x
y
⇒
1
1
y 1 dy x 1 dx
ln y y ln x x C
ln y ln x y x C
ln xy y x C
или
ln xy y x C
Ответ. Общий интеграл: ln xy y x C

30.

Нахождение особого решения:
Здесь уравнение N1 ( y) M 2 ( x) 0 имеет вид ху=0
Его решения х=0, у=0 являются решениями
данного ДУ, но не получаются из общего решения
ни
при
каких
значениях
произвольной
постоянной.
Значит, решения х = 0, у = 0 являются особыми.

31. Пример. Найти общее решение ДУ:

2 x sin y dx x 3 cos y dy 0
2
Решение:
2 x sin y dx x 3 cos y dy 0
2
x 3 cos y dy 2x sin y dx : x2 3 sin y 0
2
cos y
2x
dy 2
dx
sin y
x 3

32.

2x
ctgydy x2 3 dx
ln sin y ln x 2 3 C
ln sin y ln x 2 3 ln C
C
ln sin y ln 2
x 3
⇒
sin y
C
sin y 2
x 3
C
sin y 2
x 3
C
x2 3
или
C
y arcsin 2
x 3

33. Пример. Решить задачу Коши:

Решение:
dy
2( y 3),
dx
1) Найдём общий интеграл ДУ:
dy
2( y 3) dx
dx
dy 2( y 3) dx : ( y 3) 0
dy
2 dx
y 3
y ( 0) 4

34.

dy
y 3 2 dx
ln y 3 2 x C
Итак, общий интеграл ДУ: ln y 3 2 x C
2) Найдём частный интеграл ДУ, если y (0) 4
х 0, y 4
Тогда, частный интеграл ДУ:
ln 4 3 2 0 C
ln y 3 2 x
ln1 0 C
C 0

35. 32. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

36.

Линейным дифференциальным уравнением первого
порядка называется ДУ, линейное относительно
неизвестной функции y и ее производной y .
В общем случае линейное уравнение 1-го порядка
можно записать в виде
y + Р(x) y = Q(x) , (1)
где Р(x), Q(x) – заданные непрерывные функции.

37.

Существуют два метода его интегрирования.
I) Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)
II) Метод Бернулли

38.

II) Метод Бернулли.
Решение находят в виде: y u ( x) v( x)
или y u v
Тогда y = u v + u v .
Подставляют y и y в уравнение и сводят
данное уравнение к двум уравнениям с
разделяющимися переменными.
Решая их, находят функции u ( x) и v ( x )
Далее находят общее решение y u ( x) v( x)

39.

y 2xy 2x
Пример.
y 2xy 2x
P(x)=2x, Q(x)=2x. Уравнение, линейное
относительно у и y
Полагаем y u v , тогда y u v uv
Подставим y и y в уравнение
u v u v 2x u v 2x
u v u (v 2x v) 2x
1) v 2x v 0 0
2)
u v 2x

40.

v 2x v 0
dv 2 xv
dx
dv
2 xdx
v
dv
2 xdx
v
ln v x2
2
x
v e
u v 2x
2
u e x 2 x
2
du
2x ex
dx
2
du 2 x e x dx
2
x
du 2 x e dx
x
u e
2
C

41.

Итак, общее решение данного уравнения
x
y u v (e
2
или
x
y 1 C e
2
x
C) e
2