Дифференциальным уравнением

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

2.

• Дифференциальным
уравнением
(ДУ)
называется
уравнение,
содержащее
производные от искомой функции или её
дифференциалы.
F x, y, y , y ,..., y n 0
или
dy d 2 y
dny
F x, y, , 2 ,..., n 0
dx dx
dx

3. Примеры ДУ:

6 y xy 0
y 2 xy 0
y 4 x
y
y xe
x dy 2 y dx
x dy y ln x dx

4.

• Наивысший
входящей
в
порядком ДУ.
порядок
производной,
уравнение,
называется
• Решением ДУ называется такая функция,
подстановка которой в уравнение обращает
его в тождество.

5. Пример 1. Показать, что данная функция является решением ДУ

Пример 1. Показать, что данная функция
y C1 sin x C2 cos x, C1 , C2 R
2
является решением ДУ
d y
y 0
2
dx

6. Решение:

y C1 cos x C2 sin x
y C1 sin x C2 cos x
Подставим:
C1 sin x C2 cos x C1 sin x C2 cos x 0
0 0
y C1 sin x C2 cos x являются
Т.о. функции вида
решениями данного ДУ при любом выборе постоянных С1
и С2:
C1 1 u C2 0 : y sin x
C1 0 u C2 2 : y 2 cos x
C1 3 u C2 1: y 3sin x cos x

7. Дифференциальные уравнения I порядка

8.

• ДУ I порядка имеет вид F x, y, y 0
или
dy f ( x, y ) dx
y f ( x, y )
• Общим решением ДУ I порядка называется
функция y ( x, C ) , которая зависит от
одного произвольного постоянного С.
или
( x, y , C ) 0
(неявный вид)

9.

• Частным решением ДУ I порядка
называется любая функция y ( x,C 0 )
полученная из общего решения y ( x, C )
при конкретном значении постоянной С=С0.
или
( x, y, C0 ) 0
(неявный вид)

10. Пример 2. ДУ:

2
ДУ: y 3x
Пример 2.
y x C -общее решение
C 2 : y x3 2
C 1 : y x 3 1
C 0: y x
3
частные решения
3
y x C 3x 2
3
3
3
y x 2 3x 2
y x 1 3x 2
y x
3
3x 2

11. Геометрически:

• Общее решение ДУ y ( x, C ) есть семейство
интегральных кривых на плоскости Оху;
• Частное решение ДУ y ( x,C 0 ) -одна кривая
этого семейства, проходящая через точку ( x0 , y 0 )
y 3x 2
у
y x 3 C -общее решение
y x 1 -частное решение
3
(х0, у0)
х

12.

• Условие, что при х=х0 функция у должна
быть равна заданному числу у0 называется
начальным условием.
y ( x0 ) y 0
или
y
x x0
y0
• Задача отыскания конкретного частного
решения данного ДУ по начальным данным
называется задачей Коши (Cauchy).

13. Пример 3. Решить задачу Коши:

Решение:
y e
3 x
,
2
y (0)
3
1 3 x
y e C -общее решение
3
2
Подставим в общее решение начальные условия: y (0)
3
2
1 3 0
e C
3
3
у 2
0;
3
х
2
1
C
3
3
2 1
C 1
3 3
1 3 x
y e 1 -частное решение
3

14. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

• Если в уравнении y f ( x, y )
функция f(x,y) и
её частная производная f y ( x; y ) непрерывны в
некоторой области D, содержащей точку (х0;у0), то
существует единственное решение y (x)
этого уравнения, удовлетворяющее начальному
условию y ( x0 ) y0

15. 1. ДУ I порядка с разделёнными переменными.

• Если каждая часть ДУ представляет собой
произведение некоторого выражения, зависящего
от одной переменной, на дифференциал этой
переменной, то говорят, что переменные в этом
уравнении разделены.
M ( x) dx N ( y ) dy 0
В
этом
случае
проинтегрировать:
уравнение
достаточно
M ( x) dx N ( y) dy C

16. Пример 4. Решить ДУ:

Пример 4.
x dx y dy 0
Решить ДУ:
Решение:
общее решение:
y2 x2 C
или
y2 x2 C
y dy x dx
у
y dy x dx
y2
x2
C
2
2
y 2 x 2 2C
С
С
2
0
х
Геометрически:
получили
семейство
концентрических окружностей с центром в
начале координат и радиусом С.

17. Пример 5. Решить ДУ:

Решение:
x dx y dy 0
у
С=3
С=1
y dy x dx
y dy x dx
y2 x2
C
2
2
y 2 x 2 2C
С
С=-2
2
0
С=-2
С=3
общее решение:
или
х
С=1
y2 x2 C
y 2 x2 C

18. 2. ДУ I порядка с разделяющимися переменными.

• Уравнения, в которых переменные разделяются,
называются ДУ с разделяющимися переменными.
M1 ( x) N1 ( y) dx M 2 ( x) N 2 ( y) dy 0
где
M1 ( x), M 2 ( x), N1 ( y), N 2 ( y)
некоторые функции.

19.

M1 ( x) N1 ( y) dx M 2 ( x) N 2 ( y) dy 0
: N1 ( y) M 2 ( x) 0
M 1 x N1 y
M 2 x N 2 y
dx
dy 0
N1 y M 2 x
N1 y M 2 x
M 1 ( x)
N 2 ( y)
dx
dy 0
M 2 ( x)
N1 ( y )
интегрируем:
M 1 ( x)
N 2 ( y)
dx
dy C
M 2 ( x)
N1 ( y )

20. Замечание:

• При проведении почленного деления ДУ на
N1 ( y) M 2 ( x)
могут быть потеряны некоторые решения.
Поэтому следует отдельно решить уравнение
N1 ( y) M 2 ( x) 0
и установить те решения ДУ, которые не могут
быть получены из общего решения- особые
решения.

21. Пример 6. Найти общее и частное решение ДУ:

x dy y dx,
Решение:
x dy y dx
dy dx
y
x
dy
dx
y x
y (5) 10
1) Найдём общее решение ДУ:
1
xy
ln y ln x C
ln y ln x ln C
ln y ln xC
y Cx
y Cx
⇒
y Cx

22.

Итак, общее решение ДУ:
y Cx
2) Найдём частное решение ДУ, если y (5) 10
Подставим эти начальные условия в общее
решение ДУ и найдем С:
10 5 C
C 2
⇒
y 2 x - частное решение ДУ.
Ответ: общее решение y Cx
частное решение y 2 x

23.

Геометрически:
у = 2х
у
(5;10)
х
общее решение y Cx
частное решение y 2 x

24. Пример 7. Найти общее решение ДУ:

1 x y dx 1 y x dy 0
Решение:
1 x y dx 1 y x dy 0
1 y x dy 1 x y dx
1 y
1 x
dy
dx
y
x
1
xy

25.

1
1
1 dy 1 dx
x
y
⇒
1
1
y 1 dy x 1 dx
ln y y ln x x C
ln y ln x y x C
ln xy y x C
или
ln xy y x C
Ответ. Общее решение: ln xy y x C

26.

Нахождение особого решения:
Здесь уравнение N1 ( y) M 2 ( x) 0 имеет вид ху=0
Его решения х=0, у=0 являются решениями
данного ДУ, но не получаются из общего решения
ни
при
каких
значениях
произвольной
постоянной.
Значит, решения х = 0, у = 0 являются особыми.

27. Пример 8. Найти общее решение ДУ:

2 x sin y dx x 3 cos y dy 0
2
Решение:
2 x sin y dx x 3 cos y dy 0
x
2
2
3 cos y dy 2 x sin y dx
cos y
2x
dy 2
dx
sin y
x 3
1
2
x 3 sin y

28.

cos y
2x
sin y dy x 2 3 dx
ln sin y ln x 2 3 C
ln sin y ln x 2 3 ln C
C
ln sin y ln 2
x 3
⇒
sin y
C
sin y 2
x 3
C
sin y 2
x 3
C
x2 3
или
C
y arcsin 2
x 3

29.

Геометрически:
у
С=3
С=5
С=1
х
С=-2
общее решение
C
y arcsin 2
x 3
С=-5

30. Пример 9. Решить задачу Коши:

1 e
2x
x
y y e ,
2
y(0) 1
Решение:
1) Найдём общее решение ДУ:
1 e y dy e
2x
2
x
1 e
dx
x
e
y 2 dy
dx
2x
1 e
2x
dy
y
ex
dx
2
1
1 e2 x

31.

x
e
2
y dy 1 e 2 x dx
y3
arctan e x C
3
y 3 arctan e x 3C
или
3
y 3 arctan e x C
С
Итак, общее решение ДУ: y 3 arctan e x C

32.

2) Найдём частное решение ДУ, если
y ( 0) 1
Подставим эти начальные условия в общее
решение y 3 arctan e x C и найдем С:
1 3 arctan e C
0
1 3 arctan 1 C
1 3
4
y 3 3 arctan e x 1
3
y 3 arctan e 1
4
3
C
частное решение ДУ:
3
4
x
или
3
y 3 arctan e 1
4
3
x

33.

у
Геометрически:
С=5
С=0
y 3 3 arctan e x 1
C 1
3
4
общее решение
(0;1)
С=-3
х
3
4
С=-6
y arctan e C
3
x
частное решение y 3 3 arctan e x 1 3
4

34. Пример 10. Решить задачу Коши:

Пример 10.
Решение:
Решить задачу Коши:
dy
2( y 3),
dx
y (0) 4
1) Найдём общее решение ДУ:
dy 2( y 3) dx
dy
2 dx
y 3
1
y 3

35.

dy
2 dx
y 3
ln y 3 2x C
ln y 3 ln e2 x ln C
ln y 3 ln C e
y 3 C e
y 3 C e
2x
⇒
Итак, общее решение ДУ:
2x
2x
y 3 C e
2x
y 3 C e2 x

36.

2) Найдём частное решение ДУ, если
y (0) 4
Подставим эти начальные условия в общее
2x
решение
и найдем С:
y 3 C e
4 3 C e0
4 3 C
C 1
Тогда, частное решение ДУ:
y 3 e2 x

37.

у
Геометрически:
С=9
y 3 e2 x
С=1
(0;4)
С=-5
х
С=-1
общее решение
частное решение
y 3 C e2 x
y 3 e2 x