Дифференциальные уравнения. Лекция 2

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ лекция 2

2. ДУ с однородной функцией нулевого порядка в правой части. (однородные уравнения первого порядка).

2

3.

Функция f(x;y) называется однородной
степени n, если умножение всех её
аргументов на одно и то же число t
равносильно умножению функции на tn, т.е.
f (tx; ty) t f ( x; y)
n
3

4. Пример 1.

f ( x; y) x 3 2 x 2 y 5 y 3
1)
- однородная функция
3-ей степени
f (tx; ty) tx 2 tx ty 5 ty
3
Так как
2
3
t x 2 t x t y 5 t y t x 2x y 5 y
3
3
2
2
3
3
3
3
2
3
t f ( x; y)
3
4

5.

2)
f ( x; y ) 3x 2 y
Так как
3)
f (tx; ty) 3tx 2ty t 3x 2 y t f ( x; y)
x y
f ( x; y )
2x 3y
Так как
- однородная функция 1-ой степени
- однородная функция 0-ой степени
tx ty
t x y
x y
f (tx; ty)
2tx 3ty t 2 x 3 y 2 x 3 y
f ( x; y) t 0 f ( x; y)
5

6.

4)
y
f ( x; y ) x sin
x
2
Так как
5)
ty 2 2
y
f (tx; ty) tx sin t x sin t 2 f ( x; y )
tx
x
2
1
f ( x; y )
x y
Так как
- однородная функция 2-ой степени
- однородная функция (-1)-ой степени
1
1 1
1
1
f (tx; ty)
t
tx ty t x y
x y
t 1 f ( x; y )
6

7.

ДУ I порядка y f ( x; y ) называется
однородным, если f(x;y)- однородная
функция 0-ой степени, т.е.
f (tx; ty) f ( x; y )
7

8.

Однородное ДУ I порядка y f ( x; y )
можно записать в виде:
y
y
x
Т.к.
f ( x; y ) f (tx; ty)
, то если положить
1
t
x
Получаем:
x y
y
y
f ( x; y ) f ; f 1;
x x
x
x
8

9.

y
Решение однородного ДУ I порядка y
x
Это уравнение преобразуется в уравнение с
разделяющимися переменными при помощи
замены переменной
y
u
x
или
y u x
9

10.

y
y
x
y
u
x
или
y u x
u x u
u x u x u
u x u (u )
du
x
(u ) u
dx
du
dx
(u ) u x
10

11.

du
dx
(u) u x
F (u) ln x C
или
y
F ln x C -общее решение данного ДУ
x
11

12. Пример 2. Найти общее решение ДУ:

y
y
y tg
x
x
y
Это однородное ДУ вида y
x
y
u
x
⇒
y u x
12

13.

y
y
y tg
x
x
u x u x u tgu
du
x u u tgu
dx
du
x tgu
dx
du dx
tgu x
13

14.

du
dx
tgu x
ln sin u ln x C
ln sin u ln x ln C
ln sin u ln Cx
sin u Cx
sin u Cx
sin u Cx
u arcsin Cx
y
arcsin Cx
x
y x arcsin Cx
14

15. Пример 3. Решить задачу Коши: , если y(1)=0

Пример 3.
Решить задачу Коши:
2x y
y
2x
, если y(1)=0
2x y 2x y
1 y
y
1
2x
2x 2x
2 x
y
Это однородное ДУ вида y
x
y
u
x
⇒
y u x
15

16.

1 y
y 1
2 x
du
u
x
1
dx
2
1
u x u 1 u
2
du 2 u
x
dx
2
du
u
x
u 1
dx
2
du
u
x
1 u
dx
2
du
dx
2 u 2x
du
dx
2 u 2x
16

17.

1
ln 2 u ln x C
2
2
2 ln 2 u ln x C
ln 2 u ln x ln C
2
C
ln 2 u ln
x
C
2
2 u
x
C
2 u
x
2
C
2 u
x
C
u 2
x
y
C
2
x
x
17

18.

C
y x 2
x
- общее решение
Решим задачу Коши
у(1)=0 :
C
0 1 2
1
0 2 C
C 2
2
y x 2
x
или
y 2 x x
- частное решение
18

19.

• Уравнение вида M ( x; y) dx N ( x; y ) dy 0
называется однородным уравнением в
дифференциальной форме,
если M(x;y) и N(x;y) - однородные
функции одной и той же степени.
19

20. Пример 4. Найти общее решение ДУ:

dy
dy
y x
xy
dx
dx
2
dy
dy
y x
xy
dx
dx
2
2
2
dx
y dx x dy xy dy
2
2
y dx x xy dy 0
2
M(x;y)
2
N(x;y)
- однородное уравнение вида
M ( x; y ) dx N ( x; y ) dy 0
20

21.

y
u
x
⇒
y u x
y u x u x
dy
u x u x
dx
dy u x dx u x dx
dy x du u dx
21

22.

u x dx x x ux x du u dx 0
y 2 dx x 2 xy dy 0
2
2
2
u x dx x du x u du x u dx x u dx 0
2
2
3
3
2
2
2
x 1 u du ux dx 0
3
2
x 1 u du ux dx
3
2
u 1
dx
du
u
x
u 1
dx
u du x
(*)
22

23.

du
dx
du u x
u ln u ln x C
u ln u ln x ln C
ln eu ln u ln Cx
eu
ln
ln Cx
u
u
e
Cx
u
eu
Cx
u
eu uCx
y
x
y
e Cx
x
y
x
e Cy
- общее решение
23

24.

Это однородное ДУ можно привести к виду
y
y
x
dy
dy
y x
xy
dx
dx
dy
2
2
y x xy
0
dx
x 2 xy y y 2
2
2
2
y
2
2
2
y
y
y
x
y
x x y x y x
y 1
2 y
x 1
x x
24

25.

y
u
x
⇒
y u x
2
y
x
y
y
1
x
⇒
u2
u x u
u 1
du
u2
x
u
dx u 1
du u 2 u 2 u
x
dx
u 1
25

26.

du
u
x
dx u 1
u 1
dx
du
u
x
u 1
dx
u du x
- получили (*)
26

27. Пример 5. Найти общее решение ДУ:

x
x
2
2
2 y dx 2 xy dy 0
2
M(x;y)
y
u
x
N(x;y)
⇒
y u x
y u x u x
2 y 2 dx 2 xy dy 0
- однородное уравнение вида
M ( x; y ) dx N ( x; y ) dy 0
dy
u x u x
dx
dy u x dx u x dx
dy x du u dx
27

28.

x
x
dx 2 x u du 2 x u dx 0
2
2u 2 x 2 dx 2 x ux x du u dx 0
2
2 x 2u 2
3
2
2
x 2 dx 2 x 3u du 0
dx
2u du
x
dx
2u du x
u 2 ln x C
C
u ln
x
2
2
C
y
ln
x
x
C
2
2
y x ln
x
y 2 x 2 ln Cx
y 2 x 2 ln Cx 0
28

29. Пример 6. Найти общее решение ДУ:

2
2
xy y x y
Это однородное ДУ можно привести к виду
y
y
x
2
2
xy y x y
2
2
xy y x y
y
y
x
:x
x2 y2
x
29

30.

y
y
x y
x
x2
2
2
y
y
y 1
x
x
y
u
x
⇒
2
y u x
y u x u x
du
y x
u
dx
30

31.

du
x
u u 1 u2
dx
du
x
1 u2
dx
du
dx
x
1 u2
du
dx
2
x
1 u
y
y2
1 2 Cx
x
x
2
2
x
y
y
Cx
x
x
y x 2 y 2 Cx 2
общий интеграл ду
ln u 1 u 2 ln x C
u 1 u 2 Cx
31

32.

y x 2 y 2 Cx 2
- общий интеграл
или
x y Cx y
2
2
2
2
x y Cx y
2
2
2
2
x 2 y 2 Cx 4 2 yCx 2 y 2
x x Cx 2 yC
2
2
2
1 C ( x 2 2 y)
1
C
2
x 2y
- общий интеграл
32

33.

Линейные уравнения
первого порядка.
Уравнения Бернулли
33

34. Линейные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка
называется ДУ 1-го порядка, линейное относительно
неизвестной функции y и ее производной y .
В общем случае линейное уравнение 1-го порядка можно
записать в виде
где
y + p(x) y = q(x) ,
(1)
p(x) , q(x) – заданные непрерывные функции.
Если q(x) ≡ 0 , то линейное уравнение называется однородным.
В противном случае уравнение называется неоднородным.
Линейное однородное уравнение
y + p(x) y = 0
является уравнением с разделяющимися переменными.
34

35.

y p(x) y 0
Разделим переменные:
dy
p( x)dx,
dy
p( x) y 0
dx
интегрируя это выражение, получаем:
y
ln y p( x)dx ln C, где C 0
ln y ln e p( x)dx lnC, где C 0
p( x)dx
y Ce
,
C 0
В процессе преобразований было потеряно решение y=0.
Тогда общее решение принимает вид:
p(x)dx
y C e
,
C.
(2)
35

36. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение:

y + p(x) y = f(x) .
Существуют два метода его интегрирования.
I) Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)
(1)
1) Интегрируем однородное уравнение y + p(x) y = 0,
соответствующее данному неоднородному уравнению.
Его общее решение имеет вид :
p( x)dx
y C e
.
(2)
2) Полагаем, что решение неоднородного уравнения по структуре
совпадает с решением соответствующего линейного однородного
уравнения.
p( x)dx
Оно имеет вид
y C(x) e
.
Функцию C(x) найдем, подставив
у и y в исходное неоднородное
уравнение (1).
36

37. C( x)  e p( x)dx

p( x)dx
C(
x)
e
y
p( x)dx
dy dC p( x)dx
e
C( x) e
p( x)
dx dx
Подставим эти выражения в уравнение y p( x) y f (x) :
p( x)dx
p( x)dx
dC p( x)dx
e
C( x) e
p( x) p( x) C( x) e
f (x)
dx
dC p( x)dx
e
f (x)
dx
dC
p( x)dx
f
(x)
e
dx
dC f (x) e
p( x)dx
Интегрируя, находим
dx
C(x) f (x) e
p( x)dx
dx C .
37

38. C(x)   f (x)  e p( x)dxdx  C .

C(x) f (x) e
p( x)dx
dx C .
Таким образом, общее решение линейного неоднородного
уравнения (1) имеет вид:
p( x)dx
p( x)dx
p( x)dx
y C( x) e
f (x) e
dx C )e
(3)
Замечание.
Раскроем скобки в (3):
y(x) C e p( x)dx e p( x)dx f (x) e p( x)dxdx .
(4)
Заметим, что первое слагаемое в (4) – общее решение
линейного однородного уравнения, а второе – частное
решение линейного неоднородного уравнения (получается из
общего решения при C = 0).
38

39.

II) Метод Бернулли.
Будем искать решение (1) в следующем виде:
y = u(x) v(x) .
Тогда
y =u v+u v .
Подставим
и
y
в уравнение (1)
y
и получим:
u v + u v + puv = f(x)
или
u v + u [ v + pv ] = f(x) .
Полагаем, что функция v(x) такова, что
[ v + pv ] = 0 .
(5)
Тогда
u v = f(x) .
Условия (5) позволяют однозначно определить v(x) и u(x) .
Первое уравнение – это линейное однородное уравнение
v(x) Ce
p( x)dx
39

40.

Учитывая свободу выбора v(x), положим С = 1, тогда
p( x)dx
v( x) e
.
Подставляем полученную функцию во второе уравнение:
du p( x)dx
p( x)dx
e
f (x)
du
f
(x)
e
dx
dx
u( x) f (x) e
y u( x) v( x) e
p( x)dx
p(x)dx
dx C
p(x)dx
dx C .
f (x) e
Замечание. Линейное неоднородное уравнение вида
y + p(x) y = b
проще интегрировать как уравнение с разделяющимися
переменными.
40

41. Уравнения Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида
y + p(x) y = q(x) y n ,
(6)
где p(x) , q(x) – заданные непрерывные функции, n 0 , n 1
при n= 0 имеем линейное уравнение
при n 1 уравнение с разделяющимися переменными
Уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению.
Для этого надо
1)обе части уравнения (6) разделить на y n ,
2)сделать замену
z = y 1– n .
Разделим обе части уравнения на yn :
41

42. n dy

Пусть z y 1 n
dz
n dy
(1 n) y
dx
dx
y n dz
dy
y
dx 1 n dx
Подставляем эти выражения в уравнение
y y n p(x) y1 n
f (x)
1 dz
p(x)z f (x)
1 n dx
dz
(1 n) p(x) z (1 n) f (x)
dx
yn
1 dz
p(x)z f (x)
n
1 n y dx
– линейное уравнение
относительно z и z
Замечания.
1) Уравнение Бернулли при n > 0 имеет решение y = 0 . Оно
будет частным решением при n > 1 (обычно входит в общее при
C = ) и особым при 0 < n < 1 .
42

43.

2) Решив получившееся после замены линейное уравнение,
например, методом Бернулли, получим:
z = u(x) v(x) ,
1
yn 1
u(x) v(x),
yn 1
1
1
1
,
u(x) v(x)
1
1 n 1 1 n 1 ~
y
u (x) v~(x).
u(x)
v(x)
Таким образом, решение уравнения Бернулли можно сразу
искать в виде произведения двух функций методом Бернулли,
не приводя предварительно к линейному уравнению.
43