Лекции_9_10_Поверхностные_интгералы_2_рода

1.

ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
ВТОРОГО РОДА
(по координатам)

2.

Сторона поверхности. Односторонние
и двусторонние поверхности
Пусть - гладкая поверхность, М – ее произвольная точка.
L - замкнутый контур, проходящий
через точку М и не пересекающий
границы поверхности . Выберем
M
определенное
направление
нормали в точке М.
Если
при
обходе
контура
L
направление нормали изменится
на
противоположное,
то
поверхность
называется
односторонней,
если не
изменится, то - двусторонней.

3.

Стороной
двусторонней
поверхности
называется
совокупность ее точек вместе с приписанными нормалями в
них, непрерывно переходящими друг в друга.
Примеры двусторонних поверхностей: плоскость, сфера,
эллипсоид, параболоид, гиперболоид и т.д..
Пример односторонней поверхности: лента Мебиуса .
B
C
A
D
B
D
A
C

4.

Направление обхода контура
Пусть незамкнутая гладкая двусторонняя поверхность
ограничена контуром L, не имеющим точек самопересечения.
Выберем определенную сторону этой поверхности. Если
наблюдатель,
находящийся
на
выбранной
стороне
поверхности, при движении по контуру видит саму
поверхность слева, то это направление будем называть
положительным
направлением
обхода
контура.
Направление обхода, обратное положительному, называется
отрицательным.
Задание
положительного
L
направления однозначно определяет
сторону поверхности.

5.

Поверхностный интеграл второго рода
Определение. Пусть - двусторонняя поверхность.
Зафиксируем одну из ее сторон (т.е. зададим направление
нормали). Определим в точках поверхности функцию
F (M ) F ( x, y, z ) . Проделаем следующие операции.
1. Разобьем поверхность сетью произвольных кусочногладких кривых на п частей Δ 1 , Δ 2 ,..., Δ n . Обозначим через
1 , 2 ,..., n диаметры этих частей, а наибольший из этих
диаметров обозначим через .
2. В каждой области Δ i (i 1, 2,..., n) выберем произвольно
по точке M i ( xi , yi , zi ) и вычислим значение F ( xi , yi , zi ) .
3. Спроецируем области Δ 1 , Δ 2 ,..., Δ n на координатную
( xy )
плоскость Оху. Обозначим ΔSi (i 1,2,..., n) - площадь
проекции Δ i (знак плюс берем, если нормаль в точке M i
образует острый угол с осью Oz, и знак минус - если нормаль в
точке M i образует тупой угол с осью Oz; если угол прямой, то
ΔSi( xy ) =0).

6.

4. Найдем сумму
n
F ( xi , yi , zi )ΔSi( xy ) ,
i 1
которая называется интегральной суммой для функции
F ( x, y, z) по переменным х и у по выбранной стороне
поверхности .
n
5. Вычислим
lim F ( xi , yi , zi )ΔSi( xy ) .
0 i 1
Если этот предел существует, конечен и не зависит от
способа разбиения поверхности на части и выбора точек M i ,
то он называется поверхностным интегралом второго рода
по выбранной стороне поверхности от функции F ( x, y, z)
по переменным х и у и обозначается символом
F ( x, y, z )dxdy .

7.

Итак,
n
( xy )
F
(
x
,
y
,
z
)
dxdy
lim
F
(
x
,
y
,
z
)
Δ
S
i
i i
i
.
0 i 1
Если вместо плоскости Оху проектировать элементы
поверхности Δ i на плоскость Oyz или Oxz, то аналогичным
образом получим два других поверхностных интеграла
второго рода:
n
( yz )
F
(
x
,
y
,
z
)
dydz
lim
F
(
x
,
y
,
z
)
Δ
S
i
i i
i
,
0 i 1
n
( xz )
F
(
x
,
y
,
z
)
dxdz
lim
F
(
x
,
y
,
z
)
Δ
S
i
i i
i
.
0 i 1

8.

Если в точках поверхности определены три функции
P( x, y, z ) , Q( x, y, z) , R( x, y, z ) , то можно рассмотреть
поверхностный интеграл второго рода общего вида:
Pdydz Qdxdz Rdxdy
Pdydz Qdxdz Rdxdy .
Достаточные условия существования поверхностного
интеграла второго рода
Теорема. Если поверхность может быть задана
уравнением z z( x, y) , где функция z( x, y) непрерывна в
замкнутой и ограниченной области D , являющейся
проекцией поверхности на плоскость Oxy, а функция
F ( x, y, z) непрерывна на поверхности , то интеграл
F ( x, y, z )dxdy существует.

9.

Основные свойства поверхностных интегралов второго
рода
1. При перемене
F ( x, y, z )dxdy
стороны поверхности
меняет знак.
интеграл
2. kF ( x, y, z )dxdy k F ( x, y, z )dxdy .
3. . F1 ( x, y, z ) F2 ( x, y, z ) dxdy F1 ( x, y, z )dxdy F2 ( x, y, z )dxdy .
Из
свойств
2
и
3
следует
свойство
линейности:
k1F1 ( x, y, z ) k2 F2 ( x, y, z ) dxdy k1 F1 ( x, y, z )dxdy k2 F2 ( x, y, z )dxdy .

10.

4. Свойство аддитивности относительно поверхности :
если поверхность разбита на две части 1 и 2 , то
F ( x, y, z)dxdy F ( x, y, z)dxdy F ( x, y, z)dxdy .
1
2
5. Если - цилиндрическая поверхность с образующими,
параллельными оси Oz , то
F ( x, y, z )dxdy 0 .
F ( x, y, z )dydz
Свойства интегралов второго рода
и
F ( x, y, z )dxdz аналогичны рассмотренным (при условии,
что все встречающиеся функции и поверхности
удовлетворяют условиям теоремы существования).

11.

Связь между поверхностными интегралами первого и
второго рода
Пусть - гладкая двусторонняя поверхность, на которой
выбрана определенная сторона и в ее точках определены
непрерывные функции P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) . Если
cos , cos , cos - направляющие косинусы нормали к
поверхности , направленной в соответствии с выбранной
стороной поверхности, то справедлива формула:
Pdydz Qdzdx Rdzdy P cos Q cos R cos d .

12.

Если поверхность задается уравнением z z( x, y) , где
функция z( x, y) и ее частные производные z x ( x, y ) и z y ( x, y )
непрерывны в некоторой области D, то направляющие
косинусы нормали можно найти по формулам :
cos
z x
1 z x z y
2
cos
cos
2
,
z y
1 ( z x )2 ( z y )2 ,
1
1 z x z y
2
2
.
Знаки выбираются в зависимости от задаваемой стороны
поверхности.

13.

Вычисление
поверхностных интегралов
второго рода

14.

1. Если - цилиндрическая поверхность с образующими,
параллельными оси Oz , то
R( x, y, z )dxdy 0 .
2. Если поверхность задается уравнением z z( x, y) ,
где z( x, y) - функция, непрерывная в замкнутой
ограниченной области D (D - проекция на плоскость Оху),
то
R( x, y, z)dxdy R( x, y, z( x, y))dxdy .
D
Знак “+“ берем, если нормаль к поверхности образует
острый угол с осью Oz; знак “-“, если нормаль образует
тупой угол с осью Oz.
Аналогично вычисляются и интегралы
P( x, y, z)dydz, Q( x, y, z)dxdz

15.

Пример. Вычислить
x z dydz x y z dxdz 4 z dxdy
3
2
пo верхней стороне поверхности , где - часть
2
z
4
y
параболического цилиндра
, лежащая в первом
октанте между плоскостями x 0 и y 2 x .
z
4
z 4 y2
n
2
O
y
x
1
y 2x

16.

3
2
x
z
dydz
x
y
z dxdz 4 z dxdy
Решение.
x3 z dydz x y 2 z dxdz 4 z dxdy
1) Так как - параболический цилиндр с образующими,
параллельными оси Ох, то
x z dydz 0 .
3
2) Спроецируем поверхность на плоскость Oxz.
Определим вид кривой АВ из системы уравнений 4 A
z 4 y2
,
y
2
x
z 4 4x 2
2
2 .
y 4x
Итак, АВ: z 4 4 x2 .
B
0
Выразим
из
уравнения
переменную у : y 4 z .
поверхности
1
z 4 y2
x

17.

1
4 4 x2
1
0
0
0
x y z dxdz x 4 z z dxdz dx
2
Dxz
1
1
4 xdz 4 xz z 0 dx
16 x 1 x 2 dx 8 1 x 2 d 1 x 2 4 1 x
0
4 4 x2
1
2
2
0
3) Учтем вид проекции поверхности
2
на Oxy и то, что z 4 y . y
2
2
0
0
y
Dxy
2
y
2
2
2
0
y 2x
2
2
4
z
dxdy
y
dxdy
dy
y
dx
2
4.
x
0
1
1 3
1 4
y x dy y dy y 2.
20
8 0
0
x 0
Суммируя полученные результаты, окончательно
получаем
3
2
x
z
dydz
x
y
z dxdy 4 z dxdy 0 4 2 6.
2