Основные гипотезы линейной теории упругости
Принцип Сен-Венана
Напряжения и нагрузки
Составляющие полного вектора напряжений
Напряжения на наклонной площадке
Напряжения на наклонной площадке
Граничные условия
Напряжения на наклонной площадке
Главные напряжения
Главные напряжения
Напряжения
Главные напряжения
Тензор напряжений
Главные напряжения
Главные напряжения
Свойства главных напряжений
Свойства главных площадок
Октаэдрические площадки
2. Уравнения равновесия
Уравнения равновесия в проекции на оси координат
Уравнения моментов относительно осей
Закон парности касательных напряжений
Количество неизвестных
727.00K
Category: mechanicsmechanics

Основные гипотезы линейной теории упругости

1. Основные гипотезы линейной теории упругости

1.
2.
3.
4.
5.
Среда заполняет тело сплошным образом и не меняет свою
непрерывность в процессе приложения нагрузок.
До приложения нагрузок начальные напряжения в теле равны
нулю.
Напряжения в теле, возникающие после приложения
нагрузок, связаны линейной зависимостью с деформациями..
Перемещения тела малы по сравнению с линейными
размерами тела.
Относительные деформации и углы сдвига в материале малы
по сравнению с единицей

2. Принцип Сен-Венана

Если к малой части тела приложена
система взаимно уравновешенных
нагрузок, то она вызывает лишь
местные напряжения, быстро
убывающие от места приложения
нагрузок

3. Напряжения и нагрузки

1. Теория напряжений
Напряжения и нагрузки
1. поверхностные;
2. сосредоточенные силы;
3. объемные.

4. Составляющие полного вектора напряжений

t
f 0 f
Pn lim
Составляющие полного вектора напряжений
t
Pn lim
f 0 f

5. Напряжения на наклонной площадке

Нормальное напряжение считается положительным, если оно вызывает растяжение
и в этом случае его направление совпадает с направлением внешней нормали к
площадке.
Касательные напряжения положительны, если внешняя нормаль к площадке
совпадает с направлением координатной оси (положительным или отрицательным
соответственно), а направлены они в сторону соответствующей этому направлению
координатной оси (положительной или отрицательной соответственно).

6. Напряжения на наклонной площадке

1
1
1
dydz x dxdz yx dxdy zx dfPnx 0
2
2
2
1
dydz df cos( n, x)
2
1
dxdz df cos( n, y )
2
1
dxdy df cos( n, z )
2
Pnx x cos( n, x) yx cos( n, y ) zx cos( n, z )

7. Граничные условия

nx cos( n, x), n y cos( n, y ),
nz cos( n, z )
Pnx x nx yx n y zx nz
Pny xy nx y n y zy nz
Pnx xz nx yz n y z nz

8. Напряжения на наклонной площадке

9. Главные напряжения

Главными называются такие площадки, на которых
действуют только нормальные напряжения , а касательные
равны нулю.
Pnx n nx
n3 I1 n2 I 2 n I 3 0
I1 x y z
Pny n n y
Pnz n nz
x n nx yx n y zx nz 0
xy nx y n n y zy nz 0
I 2 x y y z z x xy2 yz2 zx2
xz nx yz n y z n nz 0
I 3 x y z 2 xy yz zx x yz2 y zx2 z xy2
x n
nx2 n y2 nz2 1
xy
xz
yx
zx
y
zy
n
yz
z n
0
1 2 3

10. Главные напряжения

11. Напряжения

12. Главные напряжения

13. Тензор напряжений

14. Главные напряжения

15. Главные напряжения

16. Свойства главных напряжений

1 Pn 3
1. Из всех нормальных напряжений ,
действующих на наклонных площадках,
проходящих через данную точку,
наибольшим и наименьшим являются
соответствующие главные напряжения;
2. Из всех полных напряжений,
действующих на наклонных площадках,
наибольшими и наименьшими по
абсолютному значению являются также
соответствующие главные напряжения
3. Наибольшие касательные напряжения
равны 2
и действуют в
площадках, наклоненных под углом в 45°
к главным площадкам
1
max
3

17. Свойства главных площадок

1 2 3
площадки взаимно
перпендикулярны и
различны
1 2 3
имеется одна площадка, соответствующая , и
бесчисленное множество площадок перпендикулярных
ей, на которых действуют напряжения
1 2 3
на всех площадках действуют лишь нормальные напряжения и тело
находится в ней в условиях всестороннего растяжения (сжатия).

18. Октаэдрические площадки

Площадки, равнонаклоненные к главным площадкам, называются
октаэдрическими, На них действуют средние напряжения.
1
ср 1 2 3
3
1
1 2 2 2 3 2 3 1 2
о
3
3
i
о
2
Интенсивность напряжения — приведенное расчетное напряжение

19. 2. Уравнения равновесия

x
zx
dx
dydz
dydz
dz dydx
x
zx
x
x
z
yx
zx dydx yx
dy dzdx
y
2U
yx dzdx X 2 dxdydz 0
t
dV dxdydz
x yx zx
2u
X 2
x
y
z
t

20. Уравнения равновесия в проекции на оси координат

x yx zx
0
x
y
z
xy y zy
0
x
y
z
xz yz z
0
x
y
z

21. Уравнения моментов относительно осей

Вычислим сумму моментов относительно оси X. Полагаем, что
равнодействующая внутреннего усилия, соответствующего
рассматриваемому напряжению, находится в центре грани
параллелепипеда
xy
dy
dz
dy
dz
xy dydz xz xz dx dydz xy
dx dydz
2
2
x
2
x
2
zy
dy
dy
z dydx z z dz dydx zy
dz dydxdz
2
z
2
z
y
yz
dz
y
dy dzdx yz
dy dzdxdy
y
2
y
dz
dy
dz
y dzdx Zdxdydz Ydxdydz
2
2
2
2v
dz
2w
dy
2 dxdydz 2 dxdydz 0
t
2
t
2
xz dydz

22. Закон парности касательных напряжений

zy yz
xz zx
xy yx
Компоненты касательных напряжений, расположенные в двух взаимно
перпендикулярных площадках равны по величине и направлены по
перпендикуляру к линии пересечения этих площадок. При этом оба
компонента направлены либо к линии пересечения, либо от нее.

23. Количество неизвестных

Количество неизвестных=9, но с учетом закона парности
касательных напряжений=6
Количество уравнений равновесия =3
Количество неизвестных превышает
число уравнений равновесия
Задачи теории упругости являются
статически неопределимыми
Дополнительные уравнения необходимо получить из
рассмотрения деформации тела.
English     Русский Rules