Similar presentations:
Теория напряженного и деформированного состояний
1. Теория напряженного и деформированного состояний
2. Анализ напряженного состояния
Твердое тело реагирует на внешнее воздействие целиком, как сплошнаясреда. Но реакция в каждой точке тела будет различной.
Математическое описание этой реакции в выбранной точке тела
зависит от выбора системы координат, связанной с этой точкой.
3. Напряжения на наклонной площадке при растяжении стержня
FxFn
cos
Спроектируем все силы на направление нормали n,
n Fn x Fx cos 0 ,
Спроектируем все силы на направление оси t,
n x cos2
nt Fn x Fx sin 0 ,
nt x sin cos
4. Напряжения на наклонной площадке при растяжении стержня (продолжение)
x cos ( )n( )
nt ( )
2
x cos ( ) sin ( )
Нап ряж ен и я, М Па
100
50
0
0
20
40
60
80
Угол наклона площадки, градусы
Нормальное напряжение
Касательное напряжение
100
5. Напряженное состояние в произвольной точке
x yx zxxy y zy
xz yz z
Касательные напряжения должны удовлетворять условиям равновесия –
сумма обусловленных ими вращающих моментов должна быть равна нулю.
Из этого следует закон парности касательных напряжений:
xy yx
yz zy zx xz .
Касательные напряжения, действующие на взаимно
перпендикулярных площадках, равны и направлены либо к
общему ребру, либо от ребра.
6. Теория упругости доказывает, что
1. Всегда существуют площадки, на которых отсутствуют касательныенапряжения.
2. Эти площадки взаимно перпендикулярны и называются главными
площадками.
3. На трех главных площадках действуют только нормальные
1
напряжения, которые называют главными. Их обозначают как
2
и
3 , причем, по соглашению,
y
y1
1 2 3 .
2
1
х
z
xy
z1
3
x1
,
7. Теория упругости доказывает, что (продолжение)
1. Напряжения 1и 3 - это экстремальные значения нормальных
напряжений для всех площадок, проходящих через данную точку.
2. Тензор главных напряжений
123 имеет диагональный вид.
3. Наибольшие касательные напряжения
max
1 3
2
max
и действуют на площадке, наклоненной к 1
равны
и 3
на 45°.
3
1
0
0
123 0
2
0
0
0
3
max
1
z1
3
x1
1
8. Классификация напряженных состояний
Трехосное или объёмное1 0
2 0
3 0
Двухосное или плоское
1 0
2 0
3 0
max 2 min 3
1 0
2 0
3 0
max 1 min 3
1 0
2 0
3 0
max 1 min 2
Одноосное или линейное
1 0
1 0
2 0
2 0
3 0
3 0
Для уверенного определения типа напряженного состояния
необходимо знать значения всех трех главных напряжений.
9. Анализ двухосного напряженного состояния
FyFx
Fn
cos sin
Спроектируем все силы на ось n
n Fn x Fx cos y Fy sin 0
n
Спроектируем все силы на ось t
nt Fn x Fx sin y Fy cos 0
x y
2
nt
x y
2
x y
2
cos 2
sin 2
10. Круг Мора
max xn
min y
max min
2
nt
max min
2
max min
2
cos 2
sin 2
A
max min
R
max min
2
2
11. Общий случай анализа двухосного НС
xy yx(1) n
x y
(2) nt
2
x y
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
sin 2 xy cos 2
12. Вычисление главных напряжений
Допустим, что наклонная площадка главная, т.е. nt 0 .Из уравнения (2) получаем направление главного напряжения
tan 2
2 xy
x y
Уравнение (1) приводится к следующему виду:
n
x y
2
n max
x y
max min
2
x y
2
xy
2
x y
2
2
x
y
2
2
xy
13. Частные случаи: растяжение и сжатие
14. Частные случаи: чистый сдвиг
15. Анализ трехосного напряженного состояния
• Рассмотрим частный случай трехосного НСmax min
x y
2
1 max max , min , z
2 min max max , min , z
3 min max , min , z
2
x y
2
xy
2
16. Круги Мора для трехосного НС
Поскольку главные напряжения – это экстремальныезначения напряжений для данного напряженного
состояния, то точки, соответствующие всем
возможным описаниям данного напряженного
состояния, лежат в закрашенной области, включая
точки на всех трех окружностях