bc8be5b82cd74b609c63c4d5ccb5d3d1

1. ЛЕКЦИЯ 5

ИЗГИБ
(плоский)

2. Поперечный изгиб

Чистый изгиб - это такой вид сопротивления (нагружения), при котором
внешние силы в поперечном сечении стержня создают только один
внутренний силовой фактор -- изгибающий момент ( M z или M y ).
Поперечный изгиб - это такой вид сопротивления (нагружения), при
котором внешние силы в поперечном сечении стержня создают только два
внутренних силовых фактора: поперечную силу Q или Qz ) и изгибающий
y
момент ( M y или M z
).
y
Fi
Qy
Пусть на тело действуют силы ┴ оси OX
Тогда в сечении тела все внутренние силы
приводятся к:
x
Qy Q поперечная сила
Mz
z
и
M z M и изгибающий момент
Стержень, работающий на изгиб, называется
балкой.

3.

Рассмотрим балку, нагруженную внешними поперечными силами
и парами сил.
F
M
q
При изгибе всегда имеет место одновременное сжатие одной части
стержня и растяжение другой.
Следовательно есть слой между этими частями, который
не
растягивается и не сжимается.
Слой, разделяющий зоны растяжения и сжатия, называется
нейтральным слоем. Линию пересечения этого слоя с поперечным
сечением называют нейтральной линией.

4. Правило знаков для поперечной силы и изгибающего момента при построении их эпюр.

Правило знаков для поперечной силы Q
Q
Левая часть от сечения
правая
Сила Q
пытается повернуть
балку по часовой
стрелке.
Q
Правило знаков для изгибающего момента M и
M
левая
и
M
и
правая
Изгибающий
момент M и
пытается изогнуть
балку выпуклостью
вниз.
+
-

5.

Дифференциальная взаимосвязь между
Qy и M z M и
Мысленно вырежем из балки элемент длиной dx .
Тогда в левом сечении будут действовать
силовые факторы Qy и M z , а в правом
Qy dQy
и
M z dM z
Уравнение равновесия выделенного участка:
m0 M z M z dM z Qy dQy dx qdx 2 0.
dx
Пренебрегая произведениями dQy dx
и qdx dx ,
2
как величинами второго порядка малости по
сравнению с остальными слагаемыми, получаем :
и
dM
dM z Q y dx 0 или
Q y .
dx
Дифференциальная зависимость используется для определения
положения экстремума на эпюре изгибающих моментов
Знак минус появляется, если использовать метод
сечения, рассматривая балку с правой стороны.

6.

Пример 1. Рассмотрим балку на двух опорах, нагруженную сосредоточенной силой
F = 15н, a=2м, b=1м.
yA
xA
a
1
2
F
b
yВ
B
A
Балка имеет два участка: АС и ВС
С
1
x1
2
Делаем сечения 1-1; 2-2
x2
0 x1 a
Определяем реакции связей
X X 0
i
0 x2 b
A
XA 0
m Fa Y (a b) 0
A
B
30
YB aFa
b
3 10
m Fb Y (a b) 0
B
A
15
YA aFb
b 3 5
проверка
Y Y Y F 5 10 15 0
i
A
B

7.

Левая часть
yA
M
A
и
1
x1
M2
и
yВ
Q2
о1
Правая часть
B
о2
x2
Q1
Y Y Q 0
Y Y Q 0
Q1 YA 5 const
Q2 YB 10 const
i
A
i
1
B
2
mo 2 M 2 YB x2 0
и
mo1 M 1 YA x1 0
и
и
M 1 YA x1 5 x1 прямая
при x1 0; Q1 5; M
при x1 2; Q1 5; M
и
1
и
1
и
M 2 YB x2 10 x2 прямая
и
0
при x2 0; Q2 10; M 2 0
10
при x2 1; Q2 10; M 2 10
и

8.

yA
a
F
b
yB
B
A
с
Q1 const 5н
Q2 const 10н
M 1 (0;10)нм
M 2 (0;10)нм
5
5
(+)
Q
10
Mи
0
По найденным величинам поперечных
сил и изгибающих моментов строим
эпюры
(-)
10
скачки на эпюре Q
10
на величину сосредоточенных
(+)
сил :
0
F 15н
Y A 5н
YB 10н

9. Пример 2. Балка нагружена распределенной нагрузкой интенсивности q=10н/м, длина балки a=1м.

а
q
yA
yВ
xA A
B
x
m qa Y a 0
Определим реакции связей
X X 0
i
B
YB qa2 102 5
A
XA 0
m qa Y a 0
B
Балка имеет один участок, сделаем сечение
0 x a
a
2
A
a
2
A
YA qa2 5
проверка Yi YA YB qa 0

10. Рассмотрим левую часть от сечения

Mи
q
Y Y qx Q 0
i
yA
A
Q YA qx 5 10 x прямая
A
о
x 0; Q 5; x 1; Q 5
x
Q
m M Y x qx 0
и
o
M YA x
и
x
2
A
qx 2
2
5x
qx 2
2
5 x 5 x парабола
2
Найдем координату
вершины параболы
x 0; M и 0; x 1; M и 0
экстремум параболы
когда
dM и
dx
0
dM и
dx
YA qx Q 0
отсюда x YqA 12 м т.е. середина балки
при x 12 ; M и 5 12 54 1,25

11. Построение эпюр

и
и
Q
M
Построение эпюр
y A 5н
q
yВ 5н
A
B
(+)
Q
M и 1,25
(-)
x 0,5
5
Скачки на эпюре Q
в точках А и В
1,25
M
0
x 1; Q 5; M и 0
экстремум (вершина)
при
x 0,5 середина балки
5
и
x 0; Q 5; M и 0
(+)
0

12. Пример 3. Балка нагружена сосредоточенным моментом M=30нм;a=2м;b=1м

yA
xA
M
1
A
x1
yВ
2
C
B
1
x2
2
a
b
Сделаем
два сечения 1-1; 2-2
Определим реакции связей
Xi X A 0
XA 0
m M Y ( a b) 0
B
A
YA aM b 303 10
m M Y (a b) 0 проверка Y Y Y 0
A
B
YB aM b 303 10
i
A
B
0 x1 a
0 x2 b

13.

Левая часть
xA
yA
M
и
1
A
О1
x1
Q1
Y Y Q 0
i
A
1
Q1 YA 10 const
mo1 M1 YA x1 0
и
и
M 1 YA x1 10 x1 прямая
M2
и
yВ
О2
Правая часть
B
x2
Q2
Y Y Q 0
i
B
2
Q2 YB 10 const
mo 2 M 2 YB x2 0
и
и
M 2 YB x2 10 x2 прямая
и
при x1 0; M 1 0
и
при x1 2; M 1 20
и
при x2 0; M 2 0
и
при x2 1; M 2 10

14. Построение эпюр и

Построение эпюр Q и M и
yB
yA
M=30
A
и
C
B
при x1 0; Q1 10; M 1 0
и
при x1 2; Q1 10; M 1 20
и
при x2 0; Q2 10; M 2 0
Q
и
(-)
10
10
10
Mи
(+)
(-)
20
при x2 1; Q2 10; M 2 10
Скачки на эпюре Q
в точках А и В
на величину сил
Скачок на эпюре М и
в точке С на величину момента М

15.

16.

17.

18.

19. Пример 4. Балка АД нагружена сосредоточенной силой P, распределенной нагрузкой, интенсивностью q и парой с моментом M. Балка

находится в равновесии. Построить
эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов Mи
Дано:
yA
P=20Кн
М=15Кнм
q= 12Кн/м x
A A
а= 2м
b= 3м
с= 2м
M
А
Связь-глухая заделка
Реакции связи:
xA y A M А
Равнодействующая
распределенной нагрузки
Q q c 24 Кн
q
1
2
B
2
1 c
3
P
M
D
C
3
a
b
X x 0; X 0
Определим реакции связей
A
A
Y P Q Y 0
m M P (c b ) Q M 0
YA P Q 44 Кн
M A P (c b) Q 2c M
k
A
A
c
2
A
20 5 24 15 139( Кнм)
Проверка
m y (a b c) M P a Q ( b a) M
D
A
A
308 139 40 144 15 0
Балка имеет 3 силовых участка AB; ВС; СД
c
2

20. Силовой участок АВ

0 x1 с
Силовой участок АВ
yA
q
xA A
МА
Y Y q x Q 0
и
M1
k
A
1
1
Q 44 12 x1 прямая
O1
x1
mo M A Y A x1 q x1 x21 M1 0
и
1
Q1
и
M 1 M A Y A x1 q x1 x21 139 44 x1 6 x1 парабола
2
и
x1 0; Q1 44 Кн; M 1 139 Кнм
и
1
x1 2; Q1 20 Кн; M 75Кнм
Исследуем параболу на экстремум:
На всем участке Q отлична от 0, значит
экстремума нет

21. Силовой участок ВС

0 x2 b
Силовой участок ВС
yA
q
M2
A
MА
B
c
Y Y q c Q 0
и
k
A
2
Q2 YA q c 44 12 2
20 прямая const
O2
x2
Q2
mo 2 M A YA (c x2 ) q c ( 2c x2 ) M 2 0
и
и
M 2 M A YA (c x2 ) q c ( 2c x2 )
и
M 2 139 44 (2 x2 ) 24 (1 x2 )
139 88 44 x2 24 24 x2
75 20 x2 прямая
и
x2 0; Q2 20 Кн; M 2 75Кнм
и
x2 3; Q2 20 Кн; M 2 15Кнм

22. Силовой участок СD

M3
0 x3 a
и
Q3
О3
M
k
D
x3
Y Q 0
3
Q3 0
mo3 M M 3 0
и
и
M 3 15 прямая сonst
и
x3 0; Q3 0; M 3 15 Кнм
и
x3 2; Q3 0; M 3 15 Кнм

23.

yA
q
P
M
MА
A
44
D
C
B
и
20
x1 0; Q1 44; M 1 139
20
Q (Кн)
и
x1 2; Q1 20; M 1 75
(+)
0
и
x2 0; Q2 20; M 2 75
M и (Кнм)
и
x2 3; Q2 20; M 2 15
(-)
75
15
15
и
x3 0; Q3 0; M 3 15
и
x3 2; Q3 0; M 3 15
139
Скачки на эпюре Q
в точках А и С
на величину сил
Скачки на эпюре M и
в точках А и D
на величину моментов

24. Свойства эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Свойства эпюры поперечных сил
1. В сечениях, где приложены сосредоточенные силы, скачок на величину этой силы.
2. На участке, где нет распределенной нагрузки,
функция поперечной силы представляет собой константу.
3. На участке, где есть распределенная нагрузка, функция
поперечной силы изменяется по линейному закону.
Свойства эпюры изгибающих моментов
1. В сечениях, где приложены сосредоточенные моменты,
скачок на величину этого момента.
2. На участке, где нет распределенной нагрузки, функция изгибающего момента
изменяется по линейному закону.
3. На участке, где есть распределенная нагрузка,
функция изгибающего момента изменяется по закону квадратичной параболы,
выпуклость параболы направлена навстречу распределенной нагрузке.
4. В сечениях, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре изгибающего момента
наблюдается излом.
5. В сечении, где поперечная сила пересекает нулевую ось, функция изгибающего
момента имеет экстремум,.
Экстремум находим из
условия
dM и
dx
Q 0