vectors_plane_space_presentation

1.

Векторы
в пространстве
и на плоскости
Индивидуальный проект · 10А класс
z
x
Коняев Данила Юрьевич
МБОУ «Лицей № 52» · 2026
y
1

2.

Цель проекта и логика исследования
От понятия вектора — к вычислениям и решению задач
Цель
Изучить векторы на плоскости и в пространстве,
основные действия над ними и практические
способы применения.
Задачи исследования
1
определить вектор и свойства
2
задать векторы координатами
3
выполнить действия
4
разобрать скалярное произведение
5
решить примеры
Объект и предмет
Векторы как математический инструмент
описания величин, имеющих направление и
модуль; их свойства и применение.
Практическая значимость
Материалы могут быть использованы на уроках
геометрии, физики и при подготовке к задачам.
2

3.

Что такое вектор
Направленный отрезок: длина + направление
длина
направление
координаты
z
B
a = (x; y; z)
y
AB
A
x
На плоскости вектор можно свободно переносить:
равные векторы имеют одинаковую длину и
направление.
В пространстве добавляется третья координата: это
позволяет описывать объём, движение и положение тел.
3

4.

Координатная запись
Координаты показывают смещение по осям
a = (x₁; y₁; z₁)
(3; 2)
На плоскости: a = (x; y).
Например, (3; 2) означает: 3 единицы по x и 2 единицы
по y.
b = (x₂; y₂; z₂)
В пространстве: a = (x; y; z).
Третья координата z задаёт смещение по вертикальной
оси.
4

5.

Действия над векторами
В координатах операции выполняются покоординатно
Сложение
a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂). Геометрически —
правило треугольника или
параллелограмма.
a = (3; 2), b = (−1; 4)
b
Вычитание
a − b = (x₁ − x₂; y₁ − y₂). Можно
рассматривать как сложение с
противоположным вектором.
a + b = (2; 6)
a − b = (4; −2)
a
a+b
2a = (6; 4)
Умножение на число
k·a меняет длину, а при k < 0 — ещё и
направление.
5

6.

Скалярное произведение
Операция, результатом которой является число
a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
a·b = |a|·|b|·cos α
a·b = 0
Смысл: скалярное произведение связывает
координаты векторов с углом между ними.
90°
Если a·b = 0, то векторы перпендикулярны.
Применяется для поиска углов, проверки
перпендикулярности и расчёта работы силы в физике.
6

7.

Пример на плоскости
a = (3; 2), b = (−1; 4)
a+b
Действие
Запись
Результат
Сложение
(3; 2) + (−1; 4)
(2; 6)
Вычитание
(3; 2) − (−1; 4)
(4; −2)
Умножение
2·(3; 2)
(6; 4)
b
a
Вывод: координатная запись позволяет быстро вычислять
перемещения и проверять свойства фигур.
7

8.

Пример в пространстве и вывод
Координатный метод делает решение строгим и коротким
Результат проекта
a = (1; 2; 3), b = (2; 0; 1)
a·b = 1·2 + 2·0 + 3·1 = 5
Если скалярное произведение равно нулю, направления
перпендикулярны. Здесь результат 5, значит условие
перпендикулярности не выполнено.
Понятие вектора, координаты, действия и скалярное
произведение разобраны на примерах.
Главный вывод
Векторы помогают описывать направление, длину,
движение и взаимное расположение объектов.
Где применяются
Геометрия, физика, инженерия, компьютерная графика,
моделирование и информатика.
8

9.

Источники
Материалы, использованные в проекте
1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10–11 классы. — М.: Просвещение, 2024.
2. Погорелов А.В. Геометрия. — М.: Просвещение, 2021.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Просвещение, 2022.
4. Материалы школьного курса геометрии по теме «Векторы».
5. Справочные материалы по аналитической геометрии и координатному методу.
Основа содержания: индивидуальный проект «Векторы в пространстве и на плоскости».
9