производная3

1. Производная

2. Определение производной

f x0 x f x
f
f ( x0 ) lim
lim
x 0 x
x 0
x
Найти производные по определению:
1). f x 3x 4;
2). f x x ;
1
3). f x ;
х
4). f x x
2

3. Определение производной

f x 3 x 4;
Решение :
1. f f x f x0
f x0 3 x0 4
f 3 x 4 3 x0 4 3 x 4 3 x0 4
3 x 3 x0 3 x x0 3 x
f
3 x
2. f ( x0 ) lim
lim
3.
x 0 x
x 0 x
3x 4 3

4. Определение производной

f x x ;
Решение :
2
1. f f x f x0
f x0 x0
2
f x x0 x x0 x x0
2
2
x x x0 x x0 x x0 x 2 x0 x
x 2 x0 x
f
2. f ( x0 ) lim
lim
2 x0
x 0 x
x 0
x
2
x 2x

5. Определение производной

f x х
Решение :
1. f f x f x0
f x0 x0
x x x x
f x x
0
x x0
0
2
x x0
x x0
2
x x0
x x0
f
lim
x 0 x
x 0
2. f ( x0 ) lim
x 2 x
1
0
x
x0 x x0
x
1
x0 x x0 x 2 x0

6. Определение производной

f x
Определение
производной
1
;
х
Решение :
1. f f x f x0 x0 x
1
f x0
x0
x0 x
x x0
1 1
x
f
x0 x x0 x0 x x0
x x0
x x0
f
x
1
2. f ( x0 ) lim
lim
2
x 0 x
x 0 x x x x
x0
0
0
1
1
2
x
x

7. Таблица производных

1. kx b k
2. x 1
3.C 0
2
4. x 2 x
1
1
5. 2
x
x
1
6. x
2 x

8. Найдите производные по таблице

1. 4 x 6
4. 7
3
2. 10 x 2 5.
7
3. 4 8 x
6. ( 5 )
7. 5 x
5x
8.
2
4
x
9.
3
x

9. Найдите производные по таблице

1) 4 x 12
2) 6 3x
3) 0,9 x
4
4 ) х
3
3
x
5)
x
4
x
6) 5
x
7) 100
8) 0,8
9)

10. Проблема

2) 6 3 x х
1) 4 x 12 х
1
3) 5
х
2x 1
4)
3х 5

11. Правила дифференцирования

• Пусть u=u(x) и v=v(x) функции,
дифференцируемые в точке х0.
1. u v u v
2. u v u v v u
3. Cu Cu
u u v v u
4.
2
v
v

12. Правила дифференцирования

u
v
uI
u
v
uI
1) 4 x 12 х 4 x 12
v
vI
х 4 2 х
1
u
vI
2) 6 3x х 6 3x х 6 3x х 3 х 6 3x
1
2 х
1
1
5
1
3) 5 5 5 2 2
х
х
х
х
2
x
1
2
x
1
3
х
5
2
x
1
3
х
5
2 3х 5 2 x 1 3
4)
2
2
3х 5
3х 5
3х 5
6 х 10 6 х 3
13
2
2
3х 5
3х 5

13. Найти производные, используя правила дифференцирования

1
1) 8 x
x
1
2) х
x
3) 6 х
2x 7
4)
4х 3

14. Производная степенной функции

x 1
х 2 х
х х х х х х х 1х х 2 х 3х
х
2
3
2
4
......
х
2
2
2
2

15. Таблица производных

х
1
х
sin x cos x tgx
f (x ) kx b x
C
x
f (x )
0
х
1
x
ln x log a x
k
1
f (x ) ctgx
e
x
1
f (x ) 2
sin x
x
e
a
x
a ln a
1
2
1
х
1
2
х х
cos x sin x
1
х ln a
1
cos 2 x