Теорема Пифагора

1.

2.

Пифагор Самосский
(ок. 580 — ок. 500 до н. э.) —
древнегреческий философ,
религиозный и политический
деятель. Пифагор-это не имя, а
прозвище, данное ему за то ,
что он высказывал истину также
постоянно, как дельфийский
оракул, («Пифагор» значит
«убеждающий речью») жил в
Древней Греции.
О жизни его известно немного, зато с именем его
связан ряд легенд. Рассказывают, что он много
путешествовал, изучал древнюю культуру и
достижения науки разных стран.

3.

Вернувшись на родину,
Пифагор организовал
кружок молодежи из
представителей
аристократии. В кружок
принимались с большими
церемониями после долгих
испытаний.
Так на юге Италии, которая
была тогда греческой
колонией, возникла
Рафаэль.
Пифагор в окружении учеников.
Афинская школа.1510-1511.
пифагорейская школа.

4.

Пифагорейцы занимались математикой, философией,
естественными науками. Они узнавали друг друга по
пятиугольной пентаграмме. Они верили, что в числах
спрятана закономерность всего мира. Ими было сделано
много важных открытий в арифметике и геометрии.
Сейчас известно более 200 доказательств теоремы
Пифагора.

5. Некоторые формулировки теоремы

У Евклида эта теорема гласит
(дословный перевод):
"В прямоугольном
треугольнике квадрат стороны,
натянутой над прямым углом,
равен квадратам на сторонах,
заключающих прямой угол".
В первом русском переводе евклидовых "Начал",
сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора
изложена так: "В прямоугольных треугольниках
квадрат из стороны, противолежащей прямому углу,
равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой
угол".

6. Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Дано:
∆ АВС – прямоугольный
С
Доказать:
2
2
2
АВ = АС + ВС
А
В

7.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов.
S (a b)
c
b 1
2
2
2
1
2
S 4 ab c
2
c
1
4 ab c 2 (a b) 2
2
ab
с2 = а 2 + b 2
a

8.

Для прямоугольных треугольников составить равенства,
выражающие зависимость между сторонами прямоугольного
треугольника, по теореме Пифагора.
АВСD – ромб
В
ВС2 = ВО2 + ОС2
АВ2=АО2 + ОВ2
А
О
С
DC2 = DO2 + OC2
АD2 = DO2 + OA2
D

9.

Для прямоугольных треугольников составить равенства,
выражающие зависимость между сторонами прямоугольного
треугольника, по теореме Пифагора.
С
СК2 + МК2 = МС2
МР2 + РС2 = МС2
К
Р
КВ2 + КМ2 = МВ2
А
АР2 + РМ2 = МА2
М
В

10. С помощью теоремы Пифагора можно решать два вида задач (с – гипотенуза, а и в - катеты):

1. Найти гипотенузу прямоугольного
треугольника, если известны катеты.
с а в
2
2
2. Найти катет прямоугольного
треугольника, если известна гипотенуза и
другой катет.
а с в
2
2
в с а
2
2

11. Решите:

1) Катеты прямоугольного треугольника
6 см и 8 см. Вычислить гипотенузу
треугольника.
с а в
2
с 6 8 100 10
2
2
2
2) Гипотенуза прямоугольного
треугольника 10 см, а один из
катетов 8 см. Найти второй катет.
а с в
2
2
а 10 8 36 6
2
2

12.

Для прямоугольных треугольников составить равенства,
выражающие зависимость между сторонами прямоугольного
треугольника, по теореме Пифагора.
D1
C1 Прямоугольный
параллелепипед
АВСDА1В1С1D1
B1
А1
В1А2 = АВ2 + В1В2
В1С2 = СВ2 + В1В2
D
А
С
В
Заглянем внутрь
параллелепипеда
D1B2 = DВ2 + D1D2

13.

Решить задачу:
Найдите АМ
А
5 дм
В
М
3 дм
С

14.

Решить задачу:
А
a
a II b
Найдите ВС
5 дм
4 дм
b
В
С

15.

Найдите х
АС = 6 см, ВD = 8 см.
В
х
4
А
О
3
D
С

16.

Найдите х
х
D
В
4
3
О
А
С

17.

Найдите х
В
АС a b
2
200
a
А
b
700
х
С
2

18.

АBCD - квадрат
Найдите х
A
D
х
6 2
B
х
C

19.

АBCD - параллелограмм
Найдите х
В
450
х
А
С
4
H
D

20.

Найдите х
АBCD - трапеция
В
2см
А
С
300
х
1см H
D

21.

ABCD – прямоугольная трапеция.
Найдите SABCD
В
А
3
10
6
8
H
1
SABCD = (ВС + AD) * ВН
2
С
D
1
SABCD = (3 + 11) * 6
2

22.

АВС – прямоугольный треугольник, О – середина ВС.
Найдите SABО
В
4
1,5
О 3
А
5
С
1
S АВО АВ ВО
2

23.

Для прямоугольного треугольника составить равенства,
выражающие зависимость между сторонами прямоугольного
треугольника.
С
Выразить гипотенузу АВ
АВ2 = АС2 + ВС2
АВ АС СВ
2
А
2
В
Выразить катет АС
Выразить катет ВС
АС2 = АВ2 –СВ2
ВС2 = АВ2 –СА2
АС АВ СВ
2
2
ВС АВ2 СА2

24.

Найдите SABC
В
8
Из треугольника ВНС
ВС2 = ВН2 + НС2
Р
ВС2 = 92 + 122
ВС2 = 81 + 144
12
ВС2 = 225
9
ВС =
С
225
ВС = 15
А
Б
Ы ВС
С
Т
Р
О
92 122 225 15
SАВС
1
S АВС ВС АР
2

25.

Домашнее задание: Решите 6 задач
№ 1 Найдите х
В
3см
А
D
х
4см
С

26.

№ 2 Найдите х
С
450
х
D
1350
450
6 дм
E
F

27.

№ 3 Найдите х
В
2х
А
1м
1м
D
С

28.

№ 4 АBCD - прямоугольник
Найдите х
A
6 см
B
4 см
D
х
C

29.

№ 5 АBCD - трапеция
Найдите х
С
В
х
А
4дм
2дм
H
D

30.

М
№ 6 Найдите х
1350
А
450
6 дм
В
1350
450
х
С
К