Лекция 5 Двойной интеграл и его приложения

1.

Лекция 5
Двойной интеграл, его свойства. Вычисление
двойных интегралов в прямоугольных и полярных
координатах. Приложения двойного интеграла
Старший преподаватель Грипп1 Е.А.

2. Объем тела

Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями:
x + y +z = 6; 3x +2y = 12;
3x + y = 6; y = 0; z = 0.
z
x y z
1
6 6 6
x y
1
4 6
x y
1
2 6
y 0
6
2
4
z 0
6
x
0
6
y

3.

Объем тела
z
y
x 1y 1
x 2
2 y y1
2 36 3
66
z 6
6
xx y y
x y2 2
x 4 4 y 1y
4 63 3
D
2
0
6
y
0
2
4
4
x
V
D
dxdy dy 6 x y dx
x

4.

Объем тела
2
4 y
3
5/17
2
4 y
3
x2
xy
V dy 6 x y dx dy 6 x
2
1
0
2
y
1
0
2 y
6
3
6
3
2
2
4 y
6
2
2
3
6 4 y
4 y y
3
2
3
0
2
1
2 y
1
1
3
6 2 y
2 y y dy
3
2
3

5.

6/17
Объем тела
8
2 2
2 2
24 4y 8 y y 4y y
3
9
3
0
6
2
1 2
1 2
12 2y 2 y
y 2y y dy
3
18
3
6
1 2
6 2y y dy
6
0
6
1 3
2
6y y
y
18 0
1
36 36
216 12
18

6. Контрольные вопросы

1. Дать определение двойного интеграла.
2. В чем заключается достаточное условие
интегрируемости функции?
3. Сформулируйте свойства двойного интеграла.
4. В чем заключается геометрический и механический
смысл двойного интеграла?
5. Как вычисляется двойной интеграл в прямоугольных
координатах?
6. Дать определение якобиана преобразования.
7. Запишите формулу замены переменной для двойного
интеграла
8. Какой вид имеет формула замены переменной в
случае полярных координат?
9. Перечислите приложения двойного интеграла. Укажите
их формулы.
6