Определенный интеграл

1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Лекция 4

2. §1 Определение определенного интеграла

Пусть функция y f x определена на отрезке a, b , a b . Разобьем
отрезок a, b на n произвольных частей точками
a x0 x1 x2 ... xi 1 xi ... xn b (рис.*).
y
y f x
0 x a
0
1
x i 1 i
xi
n xn
Рисунок *
В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку
x1
2
x2
x
и
i
вычислим значение функции в ней, т.е. величину f i , i = 1,2,…n. Составим
сумму произведений значений функции f i на длину
Δx x x
.
i
i
i 1
n
S n f 1 x1 f 2 x 2 ... f n x n f i x i .
i 1
(1.1)

3.

Сумма (1.1) называется и н т е г р а л ь н о й с у м м о й функции f x
на отрезке a, b . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка
max x i .
1 i n
Если существует конечный предел интегральных сумм S n при 0 ,
который не зависит ни от способа разбиения отрезка a, b на частичные
отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется
i
о п р е д е л е н н ы м и н т е г р а л о м от функции f x на отрезке a, b и
b
обозначается f x dx .
a
b
n
f i xi .
f x dx lim
0
Таким образом,
a
i 1
(1.2)
Числа а и b называют соответственно н и ж н и м и в е р х н и м
пределами интегрирования.
Теорема Коши. Если функция f x непрерывна на отрезке a, b , то
b
определенный интеграл f x dx существует.
a
Теорема. Если функция f x интегрируема на отрезке a, b , то она
ограничена на этом отрезке.

4. §2 Основные свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл
меняет знак на противоположный, т.е.
b
a
a
b
f x dx f x dx .
2. Определенный интеграл с равными нижним и верхним пределами равен
нулю, т.е.
a
f x dx 0 .
a
3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного
интеграла, т.е.
b
b
a
a
k f x dx k f x dx ,
k const .
4. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций
равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых
b
b
b
a
a
a
f x x dx f x dx x dx .

5.

5. Для любых чисел а , b и c имеет место соответствие
b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx .
6. Если f x 0 x a, b , то
b
f x dx 0 .
a
7. Если f x x x a, b , то
b
b
a
a
f x dx x dx .
8. Если m f x M x a, b , a < b, то
b
m b a f x dx M b a ,
a
где m, M – некоторые числа.
9. Теорема о среднем. Если функция y f x непрерывна на отрезке a, b , a b , то
найдется такое значение c a, b , что
b
f x dx f c b a .
a
a
2 f x dx, если f x четная
10. f x dx 0
a
0, если f x нечетная
a

6.

11.
b
b
a
a
f x dx f x dx .
12.
Производная определенного интеграла от непрерывной функции по переменному
верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему
пределу, т.е.
x
f t dt f x .
a
13. Связь между неопределенным и определенным интегралами
x
f x dx f t dt c .
a
14. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования
b
b
b
a
a
a
f x dx f t dt f z dz .

7. §3 Формула Ньютона–Лейбница

Теорема. Если функция y f x непрерывна на отрезке a, b и F x –
любая ее первообразная на отрезке a, b , то имеет место формула
b
f x dx F b F a .
a
Эта формула называется ф о р м у л о й Н ь ю т о н а – Л е й б н и ц а и
ее можно записать в виде
b
b
a
a
f x dx F x F b F a .
Примеры.
x 3 3 33 2 3 19
1. x dx
.
3 2 3
3
3
2
3
2
0
2
0
2. sin xdx cos x cos cos 0 1 1 2 .
2
dx
3.
ln x ln 2 ln 1 ln 2 .
1
1 x
3
4. e dx e
x
0
x
3
0
e 3 1.

8. §4 Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть f x непрерывная функция на отрезке a, b .
Если:
1. Функция x t и t непрерывны при t , .
2. Множеством значений функции x t при t , является
отрезок a, b .
3. a и b ,
то
b
a
f x dx f t t dt .
Эта формула называется ф о р м у л о й з а м е н ы п е р е м е н н о й в
определенном интеграле.
Замечания.
1.
Часто вместо подстановки x t применяют подстановку
t g x .
2.
При замене переменной нужно поменять пределы
интегрирования.
3.
При вычислении определенного интеграла методом замены
переменной не надо возвращаться к старой переменной.

9. §5 Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Теорема. Если функции U U x и V V x имеют непрерывные
производные на отрезке a, b , то справедлива формула:
b
b
a
a
U dV UV
b
V dU .
a
Доказательство.
т.к. UV U V U V x a, b ,
то UV является первообразной для U V U V , тогда
b
b
a
a
U V U V dx UV
или
b
b
V U dx U V dx UV
a
a
отсюда
b
b
a
a
U dV UV
b
V dU .
a
b
,
a

10.

Примеры.
U x
2
1. xe dx
x
1
dU dx
x e
dV e x dx
V e dx e
x
x
2
1
2
e dx 2e e e
x
2
1
x
= 2e2 e e2 e e2 .
U ln x
dx
dU
e
x
2. x ln xdx
dV xdx
1
x 2 e 1 e 2 dx
ln x
x
2 1 21
x
x2
V xdx
2
2
2 e
2
e
1 x
e
e2 1 e2 1 1 2
0
e 1 .
2
2 2 1 2 4 4 4 4 4
x
2
1