Преобразование выражений с корнями n-ой степени

1. Преобразование выражений с корнями n-ой степени

2. Повестка дня

2
Повестка дня
Свойства корней n-ой степени
Преобразование выражений, содержащих корни
Примеры решения задач на преобразование выражений с корнями
Сложные случаи: двойные радикалы, преобразования с учетом знака переменной

3. Что такое корень n-ой степени?

Определение: Корнем n-ой степени из
числа a называется число b, такое, что bⁿ
= a.
Обозначение: ⁿ√a
Если n - четное число, то корень
определен только для неотрицательных a
(a ≥ 0), и результатом является
неотрицательное число.
Если n - нечетное число, то корень
определен для любого a.
• Примеры:
* √9 = 3 (так как 3² = 9)
* ³√(-8) = -2 (так как (-2)³ = -8)

4. Основные свойства корней

4
Основные свойства корней
Для a ≥ 0, b ≥ 0 (или a, b ∈ ℝ, если n - нечетное):
* ⁿ√(ab) = ⁿ√a * ⁿ√b (корень из произведения)
* ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b (b ≠ 0) (корень из частного)
* (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ) (извлечение корня из степени)

5. Извлекаем корень из степени

5
Извлекаем корень из степени
* ⁿ√(aⁿ) = |a|, если n - четное
* ⁿ√(aⁿ) = a, если n - нечетное
Примеры:
* √(3²) = |3| = 3
* √((-3)²) = |-3| = 3
* ³√((-2)³) = -2

6. Вносим множитель под корень

6
Вносим множитель под корень
* a ⁿ√b = ⁿ√(aⁿb), если a ≥ 0 и n - любое, или a
∈ ℝ и n - нечетное
* -a ⁿ√b = - ⁿ√(aⁿb), если a ≥ 0 и n - любое, или
a ∈ ℝ и n - нечетное
* a ⁿ√b = - ⁿ√(aⁿb) , если a < 0 и n-четное
Примеры:
* 2√3 = √(2² * 3) = √12
* -3³√2 = ³√((-3)³ * 2) = ³√(-54)

7. Выносим множитель из-под корня

7
Выносим множитель из-под корня
* ⁿ√(aⁿb) = a * ⁿ√b, если a ≥ 0 и n - любое, или
a ∈ ℝ и n - нечетное
* ⁿ√(aⁿb) = |a| * ⁿ√b, если a < 0 и n - четное
Примеры:
* √18 = √(3² * 2) = 3√2
* √(x³y) = |x|√(xy), если х<0 и y>0
* ³√54 = ³√(3³ * 2) = 3³√2

8. Упрощаем выражения с корнями

8
Упрощаем выражения с корнями
* Приведение подобных слагаемых.
* Раскрытие скобок.
* Применение свойств корней для упрощения сложных выражений.
Примеры:
* 3√2 + 5√2 - √2 = 7√2
* (√3 + 1)(√3 - 1) = 3 - 1 = 2

9. Избавляемся от корней в знаменателе

9
Избавляемся от корней в знаменателе
* Умножение числителя и знаменателя на подходящее выражение, чтобы
избавиться от корня в знаменателе.
* Использование формул сокращенного умножения (разность квадратов,
сумма/разность кубов) для упрощения процесса.
Примеры:
* 1/√2 = (1 * √2) / (√2 * √2) = √2 / 2
* 1/(√3 + 1) = (1 * (√3 - 1)) / ((√3 + 1)(√3 - 1)) = (√3 - 1) / 2

10. Решаем задачи

10
Решаем задачи
* Упростить выражение: √(x³y) + x√(xy)
* Освободиться от иррациональности в знаменателе: 2/(√5 - √3)
* Вычислить: (³√2 + 1)(³√4 - ³√2 + 1)

11. Двойные радикалы: что это и как их упрощать?

* Выражения вида √(A ± √B)
* В некоторых случаях можно представить в виде
суммы или разности корней: √(A ± √B) = √x ± √y
Примеры:
* √(4 + √15) =
11

12. Не забываем про знаки!

12
Не забываем про знаки!
* Особенно важно при работе с корнями
четной степени.
* Внесение/вынесение множителя
требует аккуратного анализа знака
переменной.
* Использование модуля для
обеспечения неотрицательности.
• Примеры:
* √(x²y) = |x|√y (при y ≥ 0)

13. Спасибо за внимание!