Корень п-й степени и его свойства

1. Корень п-й степени и его свойства

2. Определение корня п-й степени

Арифметическим корнем п-й степени из
неотрицательного числа а называется такое
неотрицательное число b, п-я степень
которого равна а.
b п а , где п показатель корня ,
а подкоренное выражение
п
Если п – нечетное число, то выражение а
имеет смысл при любом а.
Если п – четное число, то выражение п а
имеет смысл лишь при а 0 .

3. Примеры

1. 5 32 5 25 2
2. 3 125 3 ( 5) 3 5
3. Решите уравнение х 6 7
Решение : корнями уравнения служат числа, шестая
степень которых равна 7. Таких чисел два : 6 7 и 6 7
4. Решите уравнение х 3 27
Решение : уравнение имеет единственный корень. Этот
корень есть число, третья степень которого равна 27,
т.е. 3 27 3 33 3

4. Свойства арифметического корня

1. Корень из произведения неотрицательных
множителей равен произведению корней
этих множителей.
Если а 0 и b 0, то п а b n a п b
2. Корень из дроби, числитель которой
неотрицателен, а знаменатель
положителен, равен корню из числителя,
деленному на корень из знаменателя.
n
а
a
п
Если а 0 и b 0, то
п
b
b

5.

3. Если показатель корня и показатель
степени подкоренного выражения
умножить или разделить на одно и то же
натуральное число, то значение корня не
измениться.
Если n, k и т натуральные числа и а 0,
то nk a mk n a m .
4.
Если n и k натуральные числа и а 0,
то
n k
a nk a .

6. Практическое задание

1. Найдите значение выражения :
а ) 16
б ) 32
1
г)
8
в) 1
12
5
4
3
3
1
д) 0,027 е) 0,0625 ж )3 3 з ) 4 5
8
16
2. Найдите значение выражения :
3
4
а )( 10 ) 2
б )( 4 12 ) 4
в )6 2 6
д)( 5 )
е)( 2 2 )
ж )2 ( 3)
3
3
5
5
4
г ) 6 253
4
з ) 64
6
2

7.

3. Решите уравнение :
а ) х 3 27 б ) х 4 16 в ) х 3 8 0
д) х 4 81 е) х 3 7
г ) х8 1 0
ж )16 х 4 1 0 з ) х 4 16 0
4. Найдите значение выражения :
а ) 8 27
3
1
в ) 243
32
б ) 625 16
4
5
8
г)
125
3
1
19
5
д) 16 0,0001 е) 0,0016 81 ж ) 64
з) 7
729
32
5. Вычислите :
4
4
6
а ) 20 5 б ) 32 3 8 27
4
4
д)3 135 3 25 е) 2 7 7
5
5
2
5
5
3
в) 5
96
7
3
3
54
г) 3
2
4
256
3
ж) 7
з) 4
2
48

8.

6. Внесите множитель под знак корня :
1
а )3 2 б )5 3 в )2
г )а 4 5 , а 0
8
7. Упростите выражение :
3
а)
3
6
б)
д) а а е)
3
3
5
3
4
2
в)
4
ж ) 43 4 з ) 4 т 3 т
4 3
г) а
6
3
4
8. Упростите выражение :
а ) 3 2 6 ) (3 2 6
2
2
б ) 7 2 10 7 2 10
2
4

9. Самостоятельная работа

Вариант 1
Вариант 2
1. Вычислите :
1. Вычислите :
а )9 512
б ) 7 128
в )( 4 12 ) 4 г ) 2 4 ( 3) 4
2. Решите уравнение :
а )8 256
б ) 6 64
в )( 4 13 ) 4 г )34 ( 2) 4
2. Решите уравнение :
а ) х 5 32 0
а ) х 5 243 0
б )16 х 4 625 0
б )81х 4 16 0
3. Вычислите :
3. Вычислите :
а ) 24 9
3
1250
б)
2
4
5
64
в )3 49 3 7 г ) 5
2
а ) 49 7
3
768
б)
6
в )5 16 5 2 г )
4
3
250
3
2

10. Домашняя работа

1. Вычислите:
16
а)4
0,0625
б )5 25 7 2 5 7 3
2. Решите уравнение:
а ) х 3 64 0
б ) х 4 21 0
в )16 х 2 9 0
в )3 75 45
г )3
729