Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.

2.

ВОПРОСЫ К ПЕРВОМУ БЛОКУ. Весенний семестр, 2025-2026 уч. год.
1. Опр. меры Лебега и измеримой функции. Пр. 2. Опр. и свойства интеграла Лебега и
пространства L p ( , ) . Св. 3. Опр. комплексного евклидова пространства. Примеры.
4. Опр. ортонормированной системы, коэффициентов и ряда Фурье. Пр. 5. Опр.
тригонометрического ряда, ряда Фурье в комплексной форме и к-ой гармоники.
6. Опр. спектра периодической функции, амплитуд, фаз, гармонических и круговых частот.
7. Свойства ряда Фурье функции. 8. Опр. ДУ, ОДУ. Пр. 9. Опр. ОДУ n -го порядка,
разрешенного (не разрешенного) относительно производной. Пр. 10. Опр. решения ОДУ и
интегральной кривой. Пр. 11. Опр. задачи Коши, условий и данных Коши. Пр. 12. Опр.
общего, частного и особого решений ОДУ. Пр. 13. Что значит проинтегрировать в явном
виде и в квадратурах? Пр. 14. Опр. НСОДУ, его порядка и задачи Коши. 15. Опр.
однородной (неоднородной) НСЛДУ и фундаментальной системы решении. Пр. 16. Опр.
задачи простой интерполяции и формула Лагранжа. Пр. 17. Опр. многочлена от матрицы и
свойства НСЛДУ с постоянными коэффициентами. 18. Опр. ЛДУ n -го порядка и его
свойства. 19. Опр. сетки, сеточной функции и метода Эйлера решения ОДУ. 20. Опр.
устойчивости решения НСОДУ. Критерий Рауса-Гурвица. 21. Опр. автономной системы,
динамической системы и управляемой динамической системы. Пр. 22. Опр. траектории
автономной системы, фазового портрета и фазового пространства. Пр. 22. Опр. положения
равновесия, цикла автономной системы и автоколебаний динамической системы. Пр.

3.

ВОПРОСЫ КО ВТОРОМУ БЛОКУ, 2025-2026
1. Опр. шара, луча и открытого множества в R~ n . 8. 2. Опр. граничной точки, границы и
замыкания множества в R~ n . Пр. 3. Опр. отображения, функции n переменных и коорди
натных функций. Пр. 4. Опр. С-линии и С-поверхности уровня. Пр. 5. Опр. предела и
предела по направлению. КПР. 6. Опр. полного, частичного приращений и непрерывно
го отображения. Пр. 7. Опр. дифференцируемого отображения, производной и диффе
ренциала отображения в точке. 8. Опр. производной по направлению, частной произ
водной и градиента функции. Связь понятий. 9. Опр. матриц Якоби отображения. Пр.
F ( x, y) ( xy, x2 y 2 ) . Опр. матрицы Гессе функции. Пр. f ( x, y) x2 xy y 2 10. Опр. каса
тельной плоскости и геом. смысл дифференцируемости функции. Пр. 11. Опр. смешан
ной производной, производной второго порядка и замечания. 12. Матрица Якоби слож
ного отображения и формула полной производной. Пр. 13. Опр. многочлена Тейлора и
аппроксимации функции. Остаточный член формулы Тейлора. 14. Опр. положительно
определенной, полуопределенной и неопределенной квадратичных форм. Пр. 15. Опр.
главных миноров матрицы, точек локального минимума и седло вой. Пр. 16. Формули
ровка необходимых и достаточных условий локального экстремума. 17. Опр. меры
Жордана (площади) множества. Пр. 18. Опр. диаметра множества, интегральной суммы
и двойного интеграла функции. Пр. 19. Геометрический смысл двойного интеграла.
Прил. 20. Опр. интеграла с переменным верхним пределом, повторного и несобственно
го интегралов. 21. Опр. КИВР. Приложение. 22. Опр. области и формула Грина. Прил.
23. Опр. тройного интеграла. Прил. 24. Опр. двусторонней поверхности и ориентации.
25. Опр. Векторного и скалярного и дифференцируемого полей. Пр. 26. Опр. ПИВР.
Приложение. 27. Опр. дивергенции поля и соленоидального поля. Связь. 28. Опр.
ротора поля и потенциального поля. Связь. 29. Физический смысл соленоидального и
потенциального полей. 30. Опр. гармонического поля и теорема Гельмгольца.

4.

ТИПЫ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ
1. Разложить заданную графически функцию типа
в ряд Фурье по косинусам (синусам). 2. Решить интерполяционную задачу p( k ) ak , k 1,..., n . 3. Най2
y
y
ти общий интеграл ДУ типа y ' 2 2 6 y , 1 x2 yy ' 4 y 2 0 , y '
x2 2 x .
x 2
x
x
4. Решить задачу Коши типа y 4 y ' 5 y x2 2 x , y(0) 0, y (0) 1 . 5. Решить задачу
x ' 2 x 2 y x(1) 1
. 6. Исследовать на устойчивость уравнение
,
y ' x 5 y y (1) 0
Коши
yiv ay by cy dy 0 . 7. Найти линию уровня z 1 функции z f ( x, y ) . 8. Найти
частные производные функции, заданной неявно. 9. Найти абсолютную и относительную погрешность плотности однородного тела объёма v0 v и массой m0 m
10. Вычислить grad f ( x, y, z ) в точке M 0 . 11. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M 0 . 12. Найти точки экстремума функции z f ( x, y) .
13. Методом МНК найти уравнение прямой, наименее уклоняющееся от заданного массива точек. 14. Вычислить работу силового поля F ( x, y ) вдоль кривой l .
15. Вычислить объём тела с помощью двойного интеграла. 16. Вычислить ротор и
дивергенцию силового поля. Будет ли оно потенциальным или соленоидальным?

5.

ТЕОРЕМЫ И ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Вывести формулу Тейлора для функции двух переменных.
2. Вывести уравнение фильтра нижних частот.
3. Теорема о свойствах НСЛДУ с постоянными коэффициентами.
4. Теорема о свойствах ЛДУ n -го порядка.

6.

7.

8.

ЗАМЕЧАНИЕ (свойства измеримых множеств)
1)( s -аддитивность семейства множеств) Семейство измеримых
множеств замкнуто относительно операций взятия конечных и
счетных объединений и пересечений.
2) ( s -аддитивность меры) Если множества A1, A2 ,... измеримы и
Ґ
Ґ
k= 1
k= 1
попарно не пересекаются, то m( U Ak ) = е m( Ak ) .
3) Если S измеримо, а m(S0 ) = 0 , то множества S U S0 , S \ S0
измеримы и m(S ) = m(S U S0 ) = m(S \ S0 ) .
Свойство выполняется почти всюду на множестве, если
оно выполняется во всех точках этого множества за исключением
его подмножества точек меры 0.
Пр. Функция Дирихле d ( x) почти всюду равна нулю.

9.

Множество S измеримо (по Лебегу), если m* (S ) = m* ( S ) (1902г.).
Число m(S ) := m* ( S ) = m* ( S ) - мера Лебега множества S .
Пр. m(I I [0,1]) = 1, m(Q I [0,1]) = 0 . ЛЕКЦИЯ 8 1.03.20
Анри Леон Лебе́г (1875 - 1941) – французский
математик. Наиболее известен как автор теории
интегрирования (интеграл Лебега), обобщающей
обычное определение интеграла на более широкий класс функций. Интеграл Лебега нашёл
широкое применение в теории вероятностей.
Л. решал проблему определения траектории
снаряда.

10.

Кпр. (неизмеримое по Лебегу множество, Дж. Витали, 1905)
Рассмотрим отношение эквивалентности
на отрезке [0,1] :
если разность x y Q . Из каждого класса эквивалентности
выберем по представителю - одной точке (здесь используется
аксиома выбора). Полученное множество E представителей
будет неизмеримым.
Образуем E0 :
E x . [0,1] E0 [ 1,2] 1 ( E0 ) ( E0 ) 3
x
y
x [ 1,1] Q
По построению
и E x, y [ 1,1] Q E x E y .
Если бы E было измеримым, то в силу - аддитивности меры
Лебега ( E0 ) ( E x) . Тогда в случае ( E) 0 ( E0 ) 0 , а
x [ 1,1] Q
в случае ( E) 0 ( E0 ) . Противоречие.
ЛЕКЦИЯ 6 5.03.24

11.

Функция f ( x) измерима на
отрезке [a , b], если она конечна
почти всюду на [a , b] и " c О R
измеримо множество
{x О [a , b] : f ( x) Ј c}.
Пр. Непрерывная на [a , b]
функция измерима.
Кпр. Строится с помощью индикатора неизмеримого множества.
ЗАМЕЧАНИЕ (свойства измеримых функций)
1) Функция f ( x) измерима | f ( x) | измерима. ЛЕКЦИЯ 1.04.2016
Обратное, вообще говоря, не верно (индикатор неизмеримого
множества).
2) Если функции f1, f2 измеримы, то измеримы a f1 + b f2 , f1 Чf2 , f1 f2 .
В последнем случае предполагается x , f 2 ( x) 0 .

12.

3) (теорема Егорова) Пусть последовательность измеримых на
[a , b] функций f k ( x) сходится почти всюду к почти всюду конечной на [a , b] функции f ( x) . Тогда f ( x) измерима на [a , b] и " e > 0
найдется измеримое подмножество Ee с мерой m( Ee ) і b- a - e , на
котором { fk ( x)} сходится к f ( x) равномерно. ЛЕКЦИЯ 9, 31.03.17
4) (теорема Лебега) Если последовательность измеримых на [a , b]
функций fk ( x) сходится почти всюду к почти всюду конечной на
[a , b] функции f ( x) , то она сходится к f ( x) по мере: " e > 0
lim m({x : f k ( x) - f ( x) і e)= 0 . Обратное, вообще говоря, не верно.
k® Ґ
5)(теорема Рисса) Если последовательность измеримых функций
f k ( x) сходится к f ( x) по мере, то ${kn} подпоследовательность
{ f kn ( x)} сходится к f ( x) почти всюду на [a , b] .
6) (теорема Фреше) Измеримая функция совпадает почти всюду
с пределом некоторой последовательности многочленов.

13.

Дми́трий Фёдорович Его́ров (1869-1931) –россий
ский и советский математик. Учитель Лузина.
Работы Е. относятся к дифференциальной геометрии,
теории интегральных уравнений, вариационному исчис
лению, теории функций действительного переменного.
Начиная с 1910 года Е. стал систематически вести мате
матический семинар; с тех пор математические семина
ры постепенно стали обычной формой учебной работы
в вузах. Семинар Е. по математическому анализу, положил начало моско
вской школе теории функций вещественной переменной (ученики Е.:
Н. Н. Лузин, П. С. Александров, И. Г. Петровский, И. И. Привалов,
В. В. Степанов, В. В. Голубев, Л. Н. Сретенский, Д. Е. Меньшов).
В мае 1917 г. избран на 4 года помощником ректора Московского уни
верситета. Участвовал в основании в 1921 г. НИИ математики и механи
ки МГУ (1924-1930 его директор). В 1924 г. возобновил издания «Мате
матического сборника», прерванное в 1919 г. В 1929 г. был подвергнут
гонениям по религиозным убеждениям и в 1930 году арестован. Умер 10
сентября 1931 года в больнице, после голодовки, объявленной в тюрьме.

14.

Пусть функция f ( x)
измерима и
ограничена
на [a , b];
A := inf f ( x) ;
[ a ,b ]
B := sup f ( x) .
[ a ,b ]
Разобьем отрезок [ A, B] точками T := { yk : A = : y0 < ... < yn := B}, и обозначим измеримые множества Sk := {x О[a , b]: yk- 1 < f ( x) Ј yk }, k = 1,2,..., n .
Выберем произвольно точки E := {h k : h k О[ yk- 1, yk ]}, и образуем
n
интегральную сумму S (T , E ) := е h k m( Sk ) . Тогда конечный предел
k= 1
b
S (T , E ) (можно показать, что он существует)
т f ( x)dx := d (lim
T )® 0
a
называется интегралом Лебега функции f ( x) , а сама функция –
суммируемой (интегрируемой по Лебегу) на отрезке [a , b].

15.

ТЕОРЕМА (свойства интеграла Лебега) ЛЕКЦИЯ 6. 5.02.18
1) Измеримая функция f ( x) суммируема суммируема | f ( x) | .
2) Если f1( x), f2 ( x) суммируемы и совпадают почти всюду на измери
мом множестве S (-эквивалентные функции), то тS f1( x)dx = тS f2 ( x)dx
3) " a , b ОR , для любых суммируемых функций f1( x), f2 ( x) на измеримом множестве S тS (a f1( x) + bf 2 ( x))dx = a тS f1( x)dx + bтS f 2 ( x))dx .
4) Если f ( x) интегрируема по Риману на [a , b], то она измерима,
интегрируема по Лебегу и эти интегралы равны.
5) (теорема Лебега) f ( x) интегрируема по Риману на [a , b] она
ограничена на [a , b] и непрерывна почти всюду на нем.
ЗАМЕЧАНИЕ Определение интегрируемости по Лебегу обобщается на неограниченные функции на [a, b] и на неограниченные
множества S : тS f ( x)dm.
ЛЕКЦИЯ 15. 2014, 2015

16.

Пр. Функция Дирихле d ( x) не интегрируема по Риману на [0,1] , так
как разрывна в каждой точке.
Неинтегрируемость по Риману была доказана в первом семестре.
Докажем интегрируемость по Лебегу.
Для разбиения T := {yk : 0 = : y0 < ... < yn := 1}
S1 = I I [[0,1] , S2 = ... = Sn- 1 = Ж, Sn = Q I [[0,1] Ю S (T , E ) := h1 m(S1) + h n m(Sn ) = h1 Ю
1
т0 d ( x)dx = 0 .
Пусть комплекснозначная функция f ( x) = u ( x) + v( x)i имеет
измеримые вещественную и мнимую части. Она называется
суммируемой в квадрате, если суммируемы квадраты u 2 ( x), v 2 ( x)
её вещественной и мнимой частей.
ЗАМЕЧАНИЕ Суммируемая в квадрате функция будет
суммируемой. Обратное, вообще говоря, неверно.

17.

Комплексное евклидово пространство - пара E, , , состоящая
из векторного пространства E над полем комплексных чисел C , и
билинейной формы , : E 2 C со свойствами: x, y E y, x x, y ,
x 0 x, x 0 . Скалярное произведение определяет на E норму
x 2 : x, x (- норма, порожденная скалярным произведением).
Гильбертово пространство это полное евклидово пространство:
каждая фундаментальная последовательность xn : n n( )
p N xn p xn , сходится к некоторому элементу: lim xn x0 E .
n
Пр.1 Множество суммируемых с квадратом на [ , ] функций L [2 , ]
является гильбертовым пространством со скалярным
произведением f , g : f ( x) g ( x) dx .
Пр.2 Множество l2 последовательностей со скалярным произведе
нием x, y : xk yk является гильбертовым пространством. ЛЕКЦИЯ 15
k 1

18.

Последовательность элементов {ek } в E ортонормирована, если ее
элементы попарно ортогональны: i j ei , e j 0 , и нормированы:
i ei 1. То есть i, j xi , x j i , j .
1 kl xi
Пр.1 Последовательность функций e ортонормирована в
2l
k
пространстве комплекснозначных функций. ЛЕКЦИЯ 9 13.03.20
1
1
1
1
2
Пр.2 Последовательность
,
cos x,
sin x,
cos
x,...
2l
l
l
l
l
l
l
ортонормирована в пространстве вещественных функций.
Пусть {ek }- ортонормированная последовательность в евклидовом
пространстве E . Числа x, ek , k 1, 2,... - коэффициенты Фурье эле
n
мента x по системе {ek }. Sn ( x) : x, ek ek - n -ая частичная сум
k 1
ма. x, ek ek - ряд Фурье элемента x E .ЛЕКЦИЯ 10 7.04.16 ЛЕКЦИЯ 2 14.2.19
k 1

19.

Пр. (Фурье, 1805) Коэффициенты Фурье f ( x) на отрезке [a, a 2l ]
по системе 1 , 1 cos x, 1 sin x,... имеют вид , ЛЕКЦИЯ 8 17.03.21
2l
1
1
k
f,
cos
t
l
l
l
a 2l
a
l
l
k
f (t ) cos
t dt ,
l
a0
k
k
ak cos x bk sin
x
2 k 1
l
l
l
l
1
1
k
f,
sin
t
l
l
l
a 2l
f (t )sin
a
k
t dt .
l
- тригонометрический ряд Фурье
функции f ( x) по ортогональной системе 1, cos x, sin x,... с ко
a 2l
эффициентами a0 , a1, b1,... , где ak 1 f (t )cos k t dt ,
l a
l
k
k
xi
l
ck e
l
a 2l
k
1
bk f (t )sin
t dt
l a
l
- ряд Фурье в комплексной форме функции f ( x) по
ортогональной системе
где ck 1
2l
l
a 2l
a
k
ti
l
f (t )e
dt
k
xi
l
{e
}|
k
. ЛЕКЦИЯ 8.04.16
с коэффициентами {c0 , c1,...},
УА-11 ЛЕКЦИЯ 6 4.03.22

20.

Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830)
- французский математик и физик.
Родился в семье портного. В 9 лет потерял обоих родителей. Окончил военную
школу при монастыре. В 1795-1798годах
преподавал в Политехнической школе.
Ф. получает от Наполеона титул барона,
награжден орденом Почётного легиона.
Свои методы (ряды и интегралы Фурье) Ф. использовал
в теории распространения тепла. Доказал, что всякую
произвольно начерченную линию, составленную из отрез
ков дуг разных кривых, можно представить единым аналитическим выражением - рядом Фурье
a0
k
k
ak cos x bk sin
x
2 k 0
l
l
Имя Ф. внесено в список величайших учёных Франции,
помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.

21.

k
k
x bk sin
x - k -ая гармоника тригонометрического ряда.
l
l
cos k : ak Ak
k
2
2
x k
Для Ak : ak bk и угла k ( , ] :
Ak cos
l
sin k : bk Ak
k
k
k
k
Ak cos k cos
x Ak sin k sin
x ak cos
x bk sin
x - k -ая гармоника.
l
l
l
l
ak cos
k
k
xi
l
ck e
Ak ck - амплитуда; k arg ck - фаза.
a0
a0
k
k
k
Пусть ak cos x bk sin x = Ak cos x k есть три2 k 1
l
l
2 k 1
l
гонометрический ряд Фурье T : 2l - периодической функции f ( x) .
{ak , bk }, { Ak , k } или {ck ,arg ck } - спектр периодической функции f ( x) ;
Ak - амплитуда k -ой гармоники; k - фаза k -ой гармоники;
k k
1 1
:
основная
частота;
- k -ая гармоническая
0 :
k
T 2l
T 2l
частота; 0 : 2 - основная круговая частота; k : 2 k k - k T
l
T
l
ая круговая частота функции f ( x) .ЛЕКЦИЯ 11 12.04.17

22.

Пр. График и спектр ряда Фурье
функции
bk
2
1 sin kx dx
0
N
2
1 ( 1) k .
k
2
1 ( 1)k sin kx .
k 1 k
S N ( x)
2
1 ( 1)k ikt
k
S ( x)
1 ( 1) sin kx
e
k 1 k
k , k 0 ki
2
2
cos (2l 1) x
cos (2l 1) x
2 l 0 ( 2l 1)
2
l 0 (2l 1)

23.

24.

25.

ТЕОРЕМА 8.1 (свойства сходимости ряда Фурье по норме)
1) Пусть {ek } ортонормированная последовательность в веществен
ном евклидовом пространстве E . Для каждого элемента x E
существует единственный "многочлен" a1e1 ... anen степени n ,
отклонение которого от элемента x
min
a1 ,...,an R
будет наименьшим.
n
n
k 1
k 1
x ak ek x x, ek ek
2) В гильбертовом пространстве E x E ряд x, ek ek сходится
k 1
по норме E ; x x, ek имеет место равенство Парсеваля
k 1
x
2
x, ek
2
.
k 1
3) Для каждой функции f ( x) L2 (a, a 2l ) ее тригонометрический
a
k
k сходится к f ( x) в L (a, a 2l ) : среднеква0
ряд
ak cos x bk sin
x
2
2
k 1
l
l
a 2l
дратичное отклонение lim a
n
2
f ( x) S n ( x) 0 .
f ( x) Sn ( x) 2 dx nlim

26.

ЗАМЕЧАНИЕ (электротехнический смысл) Для функции
f ( x) L2 (a, a 2l ) равенство Парсеваля принимает вид
a 2l
2
1 2
1
1
2
a0
2
2
(
a
b
).
=
f 2
f
(
t
)
dt
k
k
2l
2l a
2 k 1 2
Для периодического с периодом T на [0, ) аналогового
сигнала f (t ) (тока, напряжения) величина A 1
T
a 2l
f 2 (t )dt
a
1
f 2 T
квадратическое (действующее) значение сигнала.
k
Для k -ой гармоники Ak cos x k квадрат действующего
l
2
1
ak2 bk2 Ak2 a0
значения равен
, A02 A2 A02 Ak2 - равенство
2
2 2
k 1 2
Парсеваля.
ВЫВОД Квадрат действующего значения сигнала равен сумме
квадратов действующих значений составляющих его гармоник.

27.

Суммируемая на некоторой окрестности точки x0 функция f ( x)
удовлетворяет условию Дини в точке x0 , если 0 существует
f ( x0 t ) f ( x0 )
интеграл в смысле Лебега
dt
t
(Дини, 1880).
ЗАМЕЧАНИЕ Дифференцируемая в точке x0 функция
удовлетворяет условию Дини, а непрерывная в этой точке
функция, вообще говоря, нет.
ТЕОРЕМА 8.2 (свойства поточечной сходимости ряда Фурье)
1) (Колмогоров, 1926) Существует суммируемая функция, ряд
Фурье которой расходится всюду на [a, a 2l ] .
2) Если f ( x) суммируема на отрезке [a, a 2l ] и удовлетворяет
условию Дини в точке x0 (a, a 2l ) , то ее тригонометрический ряд
Фурье сходится в этой точке к f ( x0 ) . ЛЕКЦИЯ 7 13.03.24
3) (Лузин-Карлесон, 1966) Тригонометрический ряд функции
f ( x) L2 (a, a 2l ) сходится к f ( x) почти всюду на [a, a 2l ] .

28.

Улисс Ди́ни (1845-1918) - итальянский матема
тик. Основные труды в области теории рядов,
теории функций вещественных переменных (в
частности, гармонического анализа) и
дифференциальной геометрии.
Работал в Пизанском университете, в 18801890 годах был его ректором. Его имя носит
факультет математики Флорентийского универ
ситета и факультет прикладной математики
Пизанского университета. С 1908 года занимал пост директора
в Высшей нормальной школе в Пизе. Занимался политикой,
был избран сенатором в Парламент Италии.
К наиболее известным математическим результатам Дини
относятся теорема Дини о равномерной сходимости последо
вательностей и рядов и условие Дини в теории рядов Фурье.
С его именем также связана задача о локальной классифика
ции геодезически эквивалентных метрик поверхности. В Ита
лии его именем часто называют теорему о неявной функции.

29.

4) (Дирихле, 1829-37) Пусть 2l -периодическая на всей оси функция f ( x)
имеет разрывы только первого рода и имеет правые и левые производные в каждой точке. Тогда ее тригонометрический ряд Фуре в
каждой точке x сходится к числу f ( x 0) f ( x 0) .
2
5) В условиях предыдущего пункта f ( x) представима в том же смысле
k
в виде ряда Фурье в комплексной форме ck e l xi , причем c k ck , и
k
коэффициенты ak , bk , ck связаны равенством ck ak bk i .
2
6) Если функция f ( x) четная (нечетная) на [ l , l ] и удовлетворяет условиям пункта 3), то k 1 bk 0 ( k 0 ak 0) , то есть она разлагается
в ряд по косинусам (по синусам) на оси. При этом
2
k
2
k
ak f (t ) cos( t )dt , bk f (t )sin( t )dt .
l0
l
l0
l
l
l
ЛЕКЦИЯ 7 9.02.2018
ЛЕКЦИЯ 11.04.201622.04.13ЛЕКЦИЯ 16
Ключевые понятия подкластера «Ортогональные системы
функций и ряды Фурье»: 1) Евклидово и гильбертово пространство,
2) ряд Фурье, 3) коэффициенты Фурье, 4) тригонометрический ряд
Фурье, 5) условие Дини.

30.

5)

31.

Пр. Разложить в тригонометрический ряд Фурье по синусам
кратных дуг функцию f ( x) x 2 , x [1,3]. ЛЕКЦИЯ 12 14.04.17 ЛЕКЦИЯ 3 21.02.19

32.

Никола́й Никола́евич Лу́зин (1883,Иркутск -1950,Москва)советский математик, академик АН СССР (1929). Отец Нико
лая Николаевича (как говорил сам Лузин) был наполовину
русский, наполовину бурят, мать русская. Л. - создатель мос
ковской математической школы. Среди его учеников – мате
матики М.А. Айзерман, Л.В. Келдыш, А.Н. Колмогоров
ров , А.С. Кронрод, М.А.Лаврентьев, Л.А. Люстерник
А.А. Ляпунов, и др.
В 1910 г. Л. работал в Гёттингене под руководством Э.
Ландау. Посетил Париж, в 1912 году участвовал в рабо
те семинара Ж. Адамара близко познакомился с Э. Боре
лем, Анри Лебегом и другими выдающимися учёными.
Вернулся в Москву 1914 г. С 1917 г. - профессор Московского универ
ситета. Публичная официальная политическая травля Лузина была начата
статьями в газете «Правда»: 2.07.1936 г. «Ответ академику Н. Лузину» и
3.07.1936 г «О врагах в советской маске».
Последнее место работы Л. с 1939 г.- это Институт автоматики и
телемеханики АН СССР. Здесь Н. Н. Лузин получает новые результаты
по матричной теории дифференциальных уравнений, непосредственно
связанные с теорией автоматического управления.

33.

Андре́й Никола́евич Колмого́ров (1903 - 1987) русский
математик, один из крупнейших математиков ХХ века
Профессор Московского государственного универси
тета (с 1931), доктор физико-математических наук,
академик Академии наук СССР (1939). Президент
Московского мат. общества (1964-1966 и 1974-1985).
Иностранный член Национальной академии наук
США (1967), Лондонского королевского общества
(1964), Французской академии наук (1968) и других.
Основатель большой научной школы: В.И.Арнольд,
И.М.Гельфанд, В.М.Алексеев, Г.И.Баренблатт, А.А.Боровков, А.Г.Витуш
кин, Б.В.Гнеденко, Р. Л. Добрушин, Е. Б. Дынкин, А.И.Мальцев,
М.Д.Миллионщиков, В.С.Михалевич, А.С.Монин, С.М.Никольский,
А.М.Обухов, Ю.В.Прохоров, Я.Г.Синай, В.М.Тихомиров, Ю. Н. Тюрин,
А. Н. Ширяев, В. А. Успенский, C. В.Фомин, А. М.Яглом.
« Каждый человек существует как бы в нескольких сферах:
1) он сам, 2) ближайшее окружение: семья, друзья, ученики,
3) работа, 4) Родина, 5) все человечество.
Долг каждого - наполнение своей жизни глубоким содержанием плодотворного труда, посвященного служению всем остальным сферам.»

34.

Один из основополож
ников современной те
ории вероятностей, им
получены фундамен
тальные результаты в
топологии, геометрии,
математической логии
ке, классической меха
нике, теории турбулен
тности, теории сложности алгоритмов, теории информации,
теории функций, теории тригонометрических рядов, теории
меры, теории приближения функций, теории множеств, тео
рии дифференциальных уравнений, теории динамических
систем, функциональном анализе и в ряде других областей
математики и её приложений. Известны его работы в стати
стической физике. К. - автор новаторских работ по филосо
фии, истории, методологии и преподаванию математики.

35.

§ 7.1 Введение ЛЕКЦИЯ 1 12.01.17
ЛЕКЦИЯ 5 15.03.15
Фильтр нижних частот - электрическая цепь,
которая пропускает синусоидальные колебания с
малыми частотами и сильно уменьшает амплитуды
колебаний с большими частотами. ЛЕКЦИЯ 6 03.14
Входной процесс - ЭДС ui источника, а выходной процесс uo падение напряжения на конденсаторе. i Cu .
uo
RCuo uo ui - уравнение фильтра нижних частот.
ui
C
R

36.

Дифференциальное уравнение (ДУ) - уравнение, содержащее
неизвестную функцию, независимые переменные и производные
этой функции.
Нормальная система обыкновенных дифференциальных
уравнений ( НСОДУ ) порядка n - система уравнений вида
x1 f1 (t1 , x1 ,..., xn )
............................ .
x f (t , x ,..., x )
n
1
n
n
Нормальная система линейных дифференциальных уравнений
x1 a11 (t ) x1 ... a1n (t ) xn b1 (t )
.............................
( НСЛДУ ) - система уравнений вида
.
x a (t ) x ... a (t ) x b (t )
n1
1
nn
n
n
n
Метод Эйлера приближенного решения задачи Коши
y x f ( x, y) , y( x0 ) y0 , на сетке x0 ,..., xN - нахождение сеточной
функции {yk } по формулам y0 : y0 , yn 1 : yn f ( xn , yn )h , n 0,.., N 1

37.

§ 7.2 Основные понятия
Дифференциальное уравнение (ДУ) - уравнение, содержащее
неизвестную функцию, независимые переменные и производные
этой функции.
ЗАМЕЧАНИЕ Термин -впервые в письме Лейбница к Ньютону,
1676. В печати - 1684 г.
Пр. Дифференциальное уравнение Риккати
y x a( x) y 2 b( x) y c( x) (1724).
Дифференциальное уравнение в частных производных (ДУЧП) –
ДУ, в котором независимых переменных
более одной;
обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) - ДУ, в
котором одна независимая переменная (термин на русском языке –
1869).
Пр. ДУЧП Лапласа
2u 2u 2u
2 2 0.
2
x
y
z

38.

Дифференциальное уравнение n-ого порядка - ОДУ, в котором
самый высокий порядок производной неизвестной функции равен
n (термин – Эйлер).
ОДУ вида yx( nn ) f ( x, y, y x ,..., yx( nn 11) ) - уравнение, разрешенное
относительно старшей производной yx( nn ) .
ОДУ вида F ( x, y, y x ... yx( nn ) ) 0 - уравнение общего вида.
Здесь f , F - известные функции.
Пр. y x 2 y 2 0 .

39.

Решение ОДУ n -ого порядка на интервале (a, b) это n раз
дифференцируемая на (a, b) функция, которая при подстановке в
уравнение обращает его в тождественное равенство.
Интегральная кривая - график решения
ОДУ. ЛЕКЦИЯ 8 14.03.19 ЛЕКЦИЯ 6
Пр.1. Если F ( x) - первообразная функции
f ( x) на (a, b) , то f ( x)dx F ( x) C : C R все решения ОДУ y f ( x) .
Пара чисел ( x0 , y0 ) , где x0 (a, b), y0 R ,
выделяют из этого семейства решений
одно со свойством y( x0 ) y0 : y0 F ( x0 ) C y( x) F ( x) ( y0 F ( x0 )) .
Пр.2 Произвольное решение ДУ y 2 есть двухпараметрическое
семейство функций y( x) x2 C1x C2 . Произвольная тройка чисел
( x0 , y0 , y1 ), x0 (a, b), y0 , y1 R определяет единственное решение
x02 C1 x0 C2 y0
y ( x0 ) y0
этого уравнения со свойством
.
2 x0 C1 y1
y ( x0 ) y1

40.

1
не имеет решения с условием y(0) y0 .
x
Кпр.2 ОДУ yy xy с условием y( x0 ) 0 имеем два решения в
1
окрестности точки x0 0 : y 0, y ( x 2 x02 ) .
2
Пусть дано ОДУ n -ого порядка и числа x0 , y0 , y1 ,..., yn 1 .
Кпр.1 ОДУ y
Задача Коши - задача нахождения решения ОДУ в окрестности
точки x0 , которое удовлетворяет равенствам y( x0 ) y0 ,..., y ( n 1) ( x0 ) yn 1
называемым условиями Коши. Числа x0 , y0 , y1 ,..., yn 1 - данные Коши.
1) Общее решение ОДУ n -ого порядка в окрестности точки x0 это
функция y y( x, C1 ,...Cn ) , зависящая от n параметров C1 ,..., Cn , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
2) Решение, получаемое из общего при конкретных значениях
параметров, называется частным (понятия – Эйлер, 1743).
3) Решение ОДУ, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым.
Пр. Решение y 0 из Кпр.2. является особым.

41.

Огюсте́н Луи́ Коши́ (1789 - 1857) - великий
французский математик.
К. написал свыше 800 работ. Много работал в обла
сти комплексного анализа, в частности, создал тео
рию интегральных вычетов. В математической фи
зике глубоко изучил краевую задачу с начальными
условиями, которая с тех пор называется «задача
Коши». Ему принадлежат также исследования по
геометрии (о многогранниках), по теории чисел,
алгебре, астрономии, механике и во многих других областях науки.
Впервые дал строгое определение основным понятиям математиче
ского анализа - предел, непрерывность, производная, дифференциал,
интеграл, сходимость ряда и т. д. Его определение непрерывности
опиралось на понятие бесконечно малого, которому он придал новый
смысл: у К. бесконечно малое — переменная величина, стремящаяся к
нулю. Ввёл понятие радиус сходимости ряда.
Учебники по анализу К., основанные на систематическом исполь
зовании понятия предела, послужили образцом для большинства
курсов позднейшего времени.

42.

Общий интеграл - решение, заданное в виде неявной функции
G( x, y, C1 ,..., Cn ) 0 , и зависящее от n произвольных параметров.
Пр. x 2 y 2 C - общий интеграл ОДУ yy x x 0.
Проинтегрировать ОДУ в явном виде - значит найти его общее
решение в виде элементарной функции.
Проинтегрировать ОДУ в квадратурах - найти его общее
решение в виде интегралов от элементарных функций.
y
sin x
x .
Пр.
ЗАМЕЧАНИЕ (Лиувилль) Уравнение Риккати
y x a( x) y 2 b( x) y c( x) не может быть решено в квадратурах.
Ключевые понятия подкластера «Основные понятия»:
1)Дифференциальное уравнение (ДУ), 2) ДУЧП, 3) ОДУ, 4)
интегральная кривая, 4) задача Коши, 5) общее, частное и особое
решение ОДУ, 6) общий интеграл.

43.

§ 7.3 Интегрируемые в квадратурах ОДУ
первого и второго порядков
ОДУ с разделяющимися переменными - ОДУ вида y x f ( x) g ( y)
или вида f1 ( x) g1 ( y)dx f2 ( x) g2 ( y)dy 0 .
ОДУ
dy
с разделенными переменными - ОДУ вида g ( y) f ( x)dx или
вида
f1 ( x)
g ( y)
dx 2
dy 0 .
f 2 ( x)
g1 ( y )
ЗАМЕЧАНИЕ Решения в квадратурах ОДУ с разделяющимися
dy
f 1 ( x)
g 2 ( y)
dy
f
(
x
)
dx
dx
g1 ( y) dy 0
переменными: g ( y)
, f 2 ( x)
(впервые –Лейбниц).

44.

ЗАДАЧА Скорость лодки в стоячей воде равна 10 км/час. Сила
сопротивления воды пропорциональна скорости. Через 20 сек.
после отключения мотора она равна 6 км/час. Какое расстояние
пройдет лодка через 1 минуту? vt 180ln(0.6) v , v(0) 10 .

45.

ЗАДАЧА Скорость лодки в стоячей воде равна 10 км/час. Сила
сопротивления воды пропорциональна скорости. Через 20 сек.
после отключения мотора она равна 6 км/час. Какое расстояние
пройдет лодка через 1 минуту?
vt 180ln(0.6) v , v(0) 10 .

46.

F ( x, y ) - однородная функция степени k , если ЛЕКЦИЯ 6 10.03.17
0 ( x, y) F ( x, y ) k F ( x, y ) .
Пр. F ( x, y )
x y
; F ( x, y ) x 2 xy y 2 .
x y
Однородное дифференциальное уравнение - ОДУ вида y x f ( x, y) ,
если f ( x, y) есть однородная функция нулевой степени, или вида
M ( x, y)dx N ( x, y )dy 0 , если M ( x, y ), N ( x, y) - однородные
функции одинаковой степени.
ЗАМЕЧАНИЕ (И.Бернулли, 1693) Замена зависимой переменной по
формуле y x z преобразует однородное ОДУ в ОДУ с
разделяющимися переменными.

47.

Иоганн Бернулли (1667 - 1748) - швейцарский математик, самый знаменитый
представитель семейства Бернулли,
младший брат Якоба Бернулли, отец
Даниила Бернулли.
Один из первых разработчиков матема
тического анализа, после смерти Ньютона
(1727) лидер европейских математиков.
Вместе с братом Якобом изучает первые статьи
Лейбница о методах дифференциального и интегрального
исчисления (1684-1686), начинает собственные глубокие
исследования.
Работал в университете г. Базеля. После смерти
старшего брата заведовал кафедрой.

48.

ЗАДАЧА Найти форму отражателя в прожекторе, при которой
лучи точечного источника, отразившись от него, образуют
параллельный пучок.
y x ( x x y ) y ,
2
2 15.01.18
2
y x z
1 1 z2
z 1 z
2
dz
dx
x
ЛЕКЦИЯ 7 ЛЕКЦИЯ

49.

ОДУ в полных дифференциалах - дифференциальное уравнение
вида P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 , если функции P( x, y), Q( x, y) имеют
непрерывные частные производные и
P Q
(определение
y x
полного дифференциала, термин и метод – Клеро,1739).
ЗАМЕЧАНИЕ Последнее условие равносильно существованию
функции U ( x, y) с дифференциалом dU Pdx Qdy 0 . U ( x, y) C общий интеграл ОДУ.
ЛЕКЦИЯ 2 17.02.21
Пр. 3 y 2 2 xy 2 x dx 6 xy x 2 3 dy 0 .
ЛЕКЦИЯ 15.03.23

50.

ОДУ вида y x p( x) y q( x) y , 0,1 - уравнение Бернулли. Здесь
функции p( x), q( x) заданы и непрерывны (Я.Бернулли, 1695).
ОДУ вида y x p( x) y q( x) - линейное уравнение (ЛДУ).
ЗАМЕЧАНИЕ (метод вариации произвольной постоянной, в
общем случае - Эйлер, 1739, Лагранж, 1775).
1) Сначала решается ОДУ с разделяющимися переменными
y ' p( x) y 0 y Ce P ( x ) , где P ( x) p( x) .
2) Общее решение исходного уравнения y x p( x) y q( x) y ищется в
виде y C ( x)e P ( x ) ,( C ( x) - искомая функция - вариация постоянной C )
ЛЕКЦИЯ 7 20.05.15
ЛЕКЦИЯ 2 17.02.20 УТС-11, 11.02.22

51.

Я́коб Берну́лли (1654, Базель- 1705, там же) швейцарский математик, профессор математики Базельского университета (с 1687 года).
Один из основателей теории вероятностей и
математического анализа.
Б. решает (1690) задачу Лейбница о форме
кривой, по которой тяжелая точка опускается
за равные промежутки времени на равные вер
тикальные отрезки (полукубическая парабола)
Доказательство проведено интегрированием
дифференциального уравнения. При этом
впервые появился в печати термин «интеграл».
Монография «Искусство предположений»,1713
Закон больших чисел. Распределение Б. Числа
Б. Лемниската Б.

52.

Пр. Уравнение фильтра нижних частот
ЛЕКЦИЯ 7, 2014, 2016
uo
1
A
uo
uo
sin t . ЛЕКЦИЯ 9 21.03.19 ЛЕКЦИЯ 2 УА11 17.02.22
RC
RC
C
ui
u0 (t ) C (t ) e
t
RC
A
1 ( RC )
2
R
sin( t 0 ) C0e
t
RC

53.

uo
1
A
uo
sin t
RC
RC
Случай 1.
A R C 1, 0,2 T 10 .
Желтый цвет - напряжение источника
u (t ) A sin t .
Красный цвет - напряжение на
обкладках конденсатора uo (t ) .
Случай 2. A R C 1, 5 T 0,4 .
uo
C
ui
R

54.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Решение ОДУ второго порядка вида y '' f ( x, y ')
сводится к решению ОДУ первого порядка z ' f ( x, z ) с помощью
замены z y ' .
Пр. yt 2 yt t 3 5 .
ЗАМЕЧАНИЕ 2 (метод Я.Бернулли) Решение ОДУ второго
порядка вида y '' f ( y, y ') сводится к решению ОДУ первого
порядка с помощью замены y ' на зависимую переменную p : y ' .
Пр. l '' g sin - уравнение математического маятника.
Ключевые понятия подкластера «Интегрируемые ОДУ
первого и второго порядков»: 1) ОДУ с разделяющимися
переменными, 2) уравнение Бернулли и линейное уравнение.

55.

ЗАДАЧА Вывести уравнение колебаний маятника.
Материальная точка массы m подвешена на
X нерастяжимой нити длины l . На неё действуют
(t )
две силы: вертикальная сила тяжести m g и сила
реакции нити. AB mg sin (t ) .
A
По второму закону Ньютона m a
B
Y
C
mg
m xt 2 , yt 2 F AB mg sin (t )cos (t ), mg sin 2 (t )
xt 2 g sin cos
2
y
g
sin
2
t
x cos y sin g sin .
Запишем закон колебаний маятника в виде
x l sin 2 l cos
x(t ) l sin (t )
x (t ) l cos (t )
2
y
(
t
)
l
cos
(
t
)
y
(
t
)
l
sin
(
t
)
y l cos l sin
l '' g sin x cos y sin l
- уравнение колебаний математического маятника.

56.

§ 7.4 Нормальная система обыкновенных
дифференциальных уравнений
Пр. Рассмотрим RLC -цепь. Закон
изменения напряжения источника e(t )
считаем известным, а ток в катушке
индуктивности iL (t ) и падение напряжения на конденсаторе uC (t ) - искомыми.
Применяя закон Кирхгофа для напряжений к контуру с учетом
uL = LiLў: e = RiL + LiLў + uC .
Применяя закон Кирхгофа для тока – к узлу между емкостью и
индуктивностью с учетом iL = iC = CuCў.
м
R
1
1
п
ў
п
i
=
i
u
+
e
L
C
пL
L
L
L
Получаем такое уравнение RLC -цепи пн
.
п
1
п
ў
u
=
iL
п
C
п
C
п
о

57.

Нормальная система обыкновенных дифференциальных
уравнений (НСОДУ) порядка n это система уравнений вида
x1 f1 (t , x1 ,..., xn )
............................ ,
x f (t , x ,..., x )
n
1
n
n
где функции f1 (t ),..., f n (t ) непрерывны на открытом множестве
G R n 1 , а последовательность неизвестных функций x1 (t ),..., xn (t ) решение системы.
xt a11 x a12 y f1 (t )
- НСОДУ второго порядка.
Пр.
)
t
(
f
y
a
x
a
y
2
22
21
t
Если x1 (t ),..., xn (t ) - решение НСОДУ в окрестности точки t0 , то
кривая l : t , x1 (t ),..., xn (t ) R n 1 : t (t0 , t0 ) в R n 1 - интегральная
кривая.

58.

0
0
(
t
,
x
,...,
x
Пусть 0 1
n ) G . Задача Коши для НСОДУ с начальными
x1 (t0 ) x10
условиями . . . - задача нахождения решения системы в
x (t ) x 0
n
n 0
окрестности точки t0 , которое удовлетворяет этим условиям.
(n)
( n 1)
Пр. Решение задачи Коши для ОДУ n -го порядка y f (t, y,..., y )
с начальными условиями y(t0 ) x10 ,..., y ( n 1) (t0 ) xn0 равносильно
нахождению решения задачи Коши для НСОДУ
x1 x2
...........
xn 1 xn
xn f (t , x1 ,..., xn )
с начальными условиями x1 (t0 ) x10 ,..., xn (t0 ) xn0 . ЛЕКЦИЯ 8,9
27.02.15

59.

Функция f (t , x1 ,..., xn ) удовлетворяет условию Липшица по
переменным x1 ,..., xn на множестве K R n 1 , если
C 0 (t , x1 ,..., xn ), (t , y1 ,..., yn ) K
f (t , x1 ,..., xn ) f (t , y1 ,..., yn ) C ( x1 y1 ) 2 ... ( xn yn ) 2
ЗАМЕЧАНИЕ 1) Если функция f (t , x1 ,..., xn ) дифференцируема в
каждой точке области G R n 1 , то она удовлетворяет условию
Липшица на любом ограниченном замкнутом множестве
(компакте) из G .
2) Обратно, если f (t , x1 ,..., xn ) удовлетворяет условию Липшица,
то она непрерывна по совокупности переменных x1 ,..., xn в каждой
точке из G .
Кпр. Функция f (t , x) t ln x на K : (0,1] (0,1] R 2 не удовлетворяет
условию Липшица. ЛЕКЦИЯ 3 21.02.20 18.02.21 УТС-11 17.02.22

60.

ТЕОРЕМА 7.1 (теорема существования и единственности
решения)
Пусть функции f1 (t , x1 , ... , xn ),..., f n (t, x1, ... , xn )
непрерывны на открытом множестве G R n 1 и удовлетворяют
условию Липшица по x1 ,..., xn на любом замкнутом ограниченном
подмножестве ( компакте) в G . Тогда (t0 , x10 ,..., xn0 ) G в окрестности точки t0 существует единственное решение x1 (t ),..., xn (t ) задачи
Коши для НСОДУ с начальным условием x1 (t0 ) x10 ,..., xn (t0 ) xn0 .
Если отказаться от условия Липшица, то решение задачи Коши
существует, но оно, вообще говоря, неединственное.
ЗАМЕЧАНИЕ Коши, 1844; Липшиц; Пикар, 1890.
Кпр. Правая часть ОДУ xt 2 | x | непрерывна при всех t , x . Но не
удовлетворяет условию Липшица на компактах K , содержащих
окрестность нуля: | f (t , x) f (t ,0) | 2 | x | 0 2 для x K , x 0 .
| x 0|
| x|
| x|
Задача Коши с начальным условием x(t0 ) 0 имеет два решения:
x1 (t ) 0 и
(t t0 )2 , t t0
.
x2 (t )
2
(t t0 ) , t t0
ЛЕКЦИЯ 8

61.

Ру́дольф О́тто Си́гизмунд Ли́пшиц(1832-1903) немецкий математик. Был учеником Дирихле.
Профессор Боннского университета с 1864.
Основные работы в области математического
анализа, теории дифференциальных уравнений,
теоретической механики и алгебры.
Его учеником был Ф. Клейн.
Шарль Эми́ль Пика́р ( 1856-1941) –французский
математик. Иностранный чл.-корр. Петербургской
Академии наук (1895), почётный член АН СССР
(1925). Внёс существенный вклад в теорию диффе
ренциальных уравнений, теорию функций, тополо
гию, теорию групп. Для линейных дифференциаль
ных уравнений разработал аналог теории Галуа.
Результаты П. нашли широкое применение в прик
ладных науках: теория упругости,телеграфия и др.
Классический учебник анализа (Traité d'Analyse).

62.

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений
x1 a11 (t ) x1 ... a1n (t ) xn b1 (t )
(НСЛДУ) - система уравнений вида
. . . . .
x a (t ) x ... a (t ) x b (t )
n1
1
nn
n
n
n
или в матричной форме X t A(t ) X B(t ) , где
x1 (t )
xt (t )
X (t ) : .... - искомое решение на ( , ) ,
X t : ..... ,
x (t )
x (t )
n
t
a11 (t ) ... a1n (t )
-матрица непрерывных на ( , ) коэффициентов,
A(t ) :
......
a (t ) ... a (t )
nn
n1
b1 (t )
B (t ): ..... - матрица непрерывных на ( , ) свободных членов.
b (t )
n
НСЛДУ однородная, если t ( , ) B(t ) 0 , и неоднородная в
противном случае. ЛЕКЦИЯ 10,11 25.03.18
ЛЕКЦИЯ 8.14

63.

Пр. Рассмотрим RLC -цепь. Закон
изменения напряжения источника e(t )
считаем известным, а ток в катушке
индуктивности iL (t ) и падение напряжения на конденсаторе uC (t ) - искомыми.
Применяя закон Кирхгофа для напряжений к контуру с учетом
uL = LiLў: e = RiL + LiLў + uC .
Применяя закон Кирхгофа для тока – к узлу между емкостью и
индуктивностью с учетом iL = iC = CuCў.
м
R
1
1
п
ў
п
i
=
i
u
+
e
L
L
C
п
L
L
L
Получаем такое уравнение RLC -цепи пн
.
п
1
п
uCў = iL
п
п
C
п
о

64.

x11 (t )
x1n (t )
Последовательность n решений X 1 (t ) ... ,..., X n (t ) ...
x (t )
x (t )
n1
nn
однородной НСЛДУ называется фундаментальной системой,
если t0 ( , ) векторы X1 (t0 ),..., X n (t0 ) линейно независимы.
dx
dt 2 x y
Пр.
.
dy 3 x 4 y
dt
et
X 1 (t ) t ,
e
e5 t
X 2 (t ) 5t - решения НСЛДУ.
3e
x11 (t ) ... x1n (t )
W (t ) :
- определитель Вронского (вронскиан),
xn1 (t ) ... xnn (t )
x11 (t ) ... x1n (t )
- фундаментальная матрица НСЛДУ.
W (t ) :
x (t ) ... x (t )
nn
n1

65.

Ю́зеф Вро́ньский (1776 - 1853), польский
математик и философ-мистик. Современник
К.Ф.Гаусса.
Математические работы В. отмечены
широтой охвата материала и общностью
постановки задач. Лагранж был того мнения,
что теории В. могут произвести переворот в
науке. Но болезненная гордость В., его склонность к мистицизму
и, наконец, сложность обозначений, использованных в его сочинениях, привели к тому, что его труды остались незамеченными
современниками. Уже после смерти В. исследователи его трудов
во второй половине XIX века обнаружили, что ему принадлежит
авторство значительного числа методов и некоторых
утверждений, которые к тому времени были заново открыты
другими математиками.
В. ввел функциональный определитель (вронскиан) в 1812 году.

66.

Производная функциональной матрицы A(t ) : (ai j (t )) -это
функциональная матрица At (t ) : (ai j (t )) . ЛЕКЦИЯ 10 25.03.19
Интеграл функциональной матрицы A(t ) : (aij (t )) на отрезке [ , ]
- числовая матрица вида A(t )dt : ai j (t )dt .
Пр.
1 2t
0 0 cos t dt
1
ЗАМЕЧАНИЕ 1) Постоянную матрицу-множитель C можно
выносить за знак интеграла и производной: CA(t )dt C A(t )dt ,
(CA(t )) CA (t ) . 2) ( A(t ) B(t )) A (t ) B(t ) A(t ) B (t ) .

67.

ТЕОРЕМА 7.2 (свойства решений НСЛДУ)
x10
1) t0 ( , ) X 0 ... R n существует единственное решение на
x0
n
( , ) задачи Коши с начальным условием x1 (t0 ) x10 ,..., xn (t0 ) xn0 .
2) Систем n решений-столбцов X1 (t ),..., X n (t ) фундаментальная на
( , ) t0 ( , ) W (t0 ) 0 ;
3) Если система решений X1 (t ), ... , X n (t ) фундаментальная на ( , ) ,
то общее решение однородной НСЛДУ X t/ A(t ) X имеет вид
c
c1 X 1 ... cn X n W C , где C : ... c1 ,..., cn R .
c
1
n
4) Если X 0 (t ) - какое-либо (частное) решение неоднородной
НСЛДУ, то общее (любое) решение этой НСЛДУ имеет вид
X 0 (t ) c1 X1 (t ) .... cn X n (t ) c1 ,...., cn R ,
где X1 (t ),..., X n (t ) - фундаментальная система.

68.

5) (Лагранж) Если известна фундаментальная система X1 (t ),..., X n (t ) ,
то частное решение неоднородной НСЛДУ X A(t ) X B(t ) находится
методом вариации произвольных постоянных X (t ) : W (t ) C (t ) из
системы уравнений W C B , и имеет явный вид
t
0
t
t
X 0 (t ) W (t ) W 1 ( ) B( ) d ,
ЛЕКЦИЯ 7 15.03.2017
t0
а решение задачи Коши с начальным условием X (t ) X имеет вид
0
t
0
X (t ) W (t ) W 1 (t0 ) X 0 W (t ) W 1 ( ) B ( )d - формула Коши,
t0
x10
где X 0 : ... .
xn0
ЛЕКЦИЯ 3 18.02.2022

69.

2) (о противного) Пусть t0 ( , ) W (t0 ) 0 и t1 ( , ) X1 (t1 ),..., X n (t1 )
линейно зависимы, то есть W (t1 ) 0 . 10 ,..., 0n R , не все из которых
равны нулю, X 0 : 10 X1 (t1 ) ... 0n X n (t1 ) 0 .
Образуем вспомогательную функцию X (t ) : 10 X1 (t ) ... 0n X n (t ) .
Она есть решение задачи Коши с условием X (t1 ) 0 по теореме
единственности X (t ) 0 10 X1 (t0 ) ... 0n X n (t0 ) X (t0 ) 0 W (t0 ) 0 ,
так как столбцы линейно зависимы. Противоречие с условием.

70.

Если W (t ) - фундаментальная матрица НСЛДУ X t/ A(t ) X , то
(t , ) : W (t )W 1 ( ) - переходная матрица этой системы.
ЗАМЕЧАНИЕ (свойства переходной матрицы)
1) ( , ) : E .
2) Переходная матрица является решением задачи Коши для
матричного уравнения Zt (t ) A(t )Z (t ) с функциональной матрицей
Z (t ) ( zij (t )) размера n n и начальным условием Z ( ) E .
3) Переходная матрица не зависит от выбора фундаментальной
системы и полностью определяется матрицей коэффициентов
A(t ) НСЛДУ.
4) В обозначениях переходной матрицы формула Коши принимает
t
вид X (t ) (t , t0 ) X 0 (t , ) B( )d .
t0

71.

1
x
x
y sin t
Пр. Найти решение задачи Коши для НСЛДУ t
t
y 1 x y cos t
t t
с начальным условием x( 2 ) 0 .
y( ) 0
2
tet
W (t ) t
te
et / t
- фундаментальная матрица
t
e / t

72.

Линейное дифференциальное уравнение n -го порядка (ЛДУ) ОДУ вида
y0( n ) a1 ( x) y ( n 1) .... an ( x) y f ( x) ,
(1)
где функции a1 ( x) ,..., an ( x), f ( x) непрерывны на ( , ) .
ЛДУ однородное, если x ( , ) f ( x) 0 и ЛДУ неоднородное в
противном случае.
Последовательность решений y1 ( x) ,..., yn ( x) однородного ЛДУ n го порядка линейно независимая на ( , ) , если не существует такой
ненулевой n -ки чисел 1 ,..., n , что на ( , ) 1 y1 ( x) ... n yn ( x) 0 .
y1 ( x)
...
yn ( x )
- определитель Вронского однородного ЛДУ
W ( x)
y1( n 1) ( x) ... yn( n 1) ( x)
Здесь y1 ( x),..., yn ( x) - последовательности линейно независимых решений
(фундаментальная последовательность решении ЛДУ) (Вронский,
1812).

73.

yn ( x )
...
y1 ( x)
- фундаментальная матрица
W ( x)
(
n
1)
(
n
1)
y ( x) ... y ( x)
n
1
(матрица Вронского) однородного ЛДУ.
ЗАМЕЧАНИЕ Последовательность n решений ЛДУ (1) линейно
независима последовательность соответствующих решений
yn ( x )
y1 ( x)
. . . , ..., . . . ассоциированной с (1) НСЛДУ
(
n
1)
y ( n 1) ( x)
y
1
n ( x)
y1 y2
. . .
yn 1 yn
yn an ( x) y1 ... a1 ( x) yn 1 f ( x)
фундаментальная.

74.

ТЕОРЕМА 7.3 (свойства решений ЛДУ n -го порядка)
1) x0 ( , ) { y10 ,..., yn0 } R n задача Коши с начальным условием
y ( x0 ) y10 ,..., y ( n 1) ( x0 ) yn0 имеет единственное решение на ( , ) .
2) Решения y1 ( x)1 ,..., yn ( x) однородного ЛДУ линейно независимы
на ( , ) x0 ( , ) W ( x0 ) 0 .
3) Если y1 ( x),..., yn ( x) - фундаментальная последовательность
решений однородного ЛДУ, то любое (общее) его решение
имеет вид c1 y1 ( x) ... cn yn ( x) .
4) Если y0 ( x) -какое-либо решение ЛДУ (1) и y1 ( x),..., y n ( x) фундаментальная последовательность решений, то любое
(общее) решение ЛДУ можно записать в виде
y0 ( x) c1 y1 ( x) ... cn yn ( x) .

75.

5) Если известна фундаментальная последовательность
y1 ( x),..., y n ( x) , то решение задачи Коши для уравнения (1)
можно искать по формуле Коши для этого уравнения
n x W ( )
n 0 W j i ( x0 )
ni
y ( x) y j
y
(
x
)
f ( )d yi ( x) ,
i
W ( x0 )
i 1 j 1
i 1 x0 W ( )
n
где Wij ( ) есть алгебраическое дополнение соответствующе
го элемента фундаментальной матрицы W ( ) .
◄ 3) Пусть y0 ( x) - какое-либо решение. Найдем C0 из уравне
c1 y11 ( x0 ) ... cn y1n ( x0 ) y0 ( x0 )
y11 ( x0 )
y1n ( x0 )
ния W ( x0 )C
.
.
.
.
.
.
c
.
.
.
...
c
.
.
.
1
n
c y ( n 1) ( x ) ... c y ( n 1) ( x ) y ( n 1) ( x )
y ( n 1) ( x )
y ( n 1) ( x )
0
n nn
0
0
0
0
1 n1
0
n1
nn
В силу этого равенства функции y0 ( x) и c10 y1 ( x) ... cn0 yn ( x)
удовлетворяют одному и тому же начальному условию. По
теореме единственности y0 ( x) c10 y1 ( x) ... cn0 yn ( x) .

76.

ЗАМЕЧАНИЕ ( алгоритм решения ЛОДУ y x py x qy f ( x) )
2
1) Найти фундаментальную систему решений однородного ЛОДУ
y x py x qy 0 .
2 p q 0 - характеристическое уравнение с корнями 1 , 2 .
а) 1 , 2 R , 1 2 yo ( x) : C1e x C2e x - общее решение
однородного ЛОДУ. h1 ( x) : e x , h2 ( x) : e x .
ЛЕКЦИЯ 9. 2016
2
1
2
1
2
б) 1 2 : R yo ( x) : C1e x C2 xe x .
1
2
h1 ( x) : e x , h2 ( x) : xe x .
в) 1,2 i, i : 1 yo ( x) e x (C1 cos x C2 sin x) .
h1 ( x) : e x cos x, h2 ( x) : e x sin x .
2) Общее решение методом вариаций ищется в виде
y( x) : C1 ( x)h1 ( x) C2 ( x)h2 ( x) ,
h C h C 0
2 2
где C1 ( x), C2 ( x) есть общее решение СЛДУ 1 1
.
h1 C1 h2 C2 f

77.

Харакеристический многочлен матрицы A M n ,n - многочлен n ой степени p( ) : det( E A) (ввел Коши,1826; термин Фробениус, 1896).
Нули этого многочлена 1 ,..., r порядков p1 ,..., pr соответственно
называются собственными числами матрицы A .ЛЕКЦИЯ 4 28.02.20
Ненулевые решения СЛАУ ( A i E ) X 0 называются собственны
ми векторами матрицы A , соответствующими собственному
числу i .
1 2
1 2
Пр. A
E A 2 1
2
1
1 2
det E A
1 3 0 1 1, 2 3 .
2 1
1
2 2
2 x 2 y 0
X1 .
1 1 E A
1
2 2
2 x 2 y 0
1
2 2
2 x 2 y 0
X
.
2 3 3E A
2
1
2 2
2 x 2 y 0
ЗАМЕЧАНИЕ 1 ,..., k попарно различны X1 ,..., X k лин. независимы.

78.

Фердина́нд Гео́рг Фробе́ниус (1849 -1917) немецкий математик.
Известный за вклад в теорию эллиптических
функций, дифференциальных уравнений и
теории групп.
Был первым, кто ввёл понятие рациональной
аппроксимации функций (ныне известный
как аппроксимации Паде).
Дал первое полное доказательство теоремы
Гамильтона-Кэли.
Ф. внёс свой вклад в определение дифферен
циально-геометрических объектов в совре
менной математической физики, известных ныне как
многообразия Фробениуса. ЛЕКЦИЯ 4 24.02.21

79.

ТЕОРЕМА 7.4 (решение НСЛДУ с постоянными коэффициента
ми методом вариаций. Д’Аламбер, Л.Эйлер, 1743; Лагранж, 1762)
Пусть собственные числа 1 ,..., n матрицы коэффициентов НСЛДУ
x1k
X ' AX B(t ) попарно различны, X k . . . - соответствующие им соб
x
nk
ственные векторы, и элементы матрицы B(t ) непрерывны. Тогда:
1) общее решение однородной НСЛДУ имеет вид c1 X1e 1t ... cn X ne nt ;
2) матрица W (t ) : ( xij e j t ) является фундаментальной, и решение
задачи Коши однородной НСЛДУ находится по формуле
W (t ) W 1 (t0 ) X 0 ;
3) общее решение НСЛДУ ищется методом вариаций в виде
c1 (t )
X 0 W (t )C (t ) c1 (t ) X 1 (t ) ... cn (t ) X n (t ) , где C (t ) . . . есть общее
c (t )
n
t
t
x11e 1 c1 ... x1n e n cn b1 (t )
решение СЛДУ
. ЛЕКЦИЯ 9. 2014
nt
1t
xn1e c1 ... xnn e cn bn (t )
~

80.

Леона́рд Э́йлер (Базель,1707 - Санкт-Петер
бург,1783) - выдающийся швейцарский,
российский, немецкий математик. Автор
более чем 800 работ по математическому
анализу, дифференциальной геометрии, те
ории чисел, приближённым вычислениям,
небесной механике, математической физи
ке, оптике, баллистике, корабле строению,
теории музыки и др.
Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный
вклад в становление российской науки. Первые русские
академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы
(С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его
потомков до сих пор живут в России.

81.

Степа́н Я́ковлевич Румо́вский (1734-1812) - русский астро
ном и математик, один из первых русских академиков(1767)
Иностранный член Стокгольмской Академии наук.
С пяти лет начал обучение в Александро-Невской семина
рии. В 12-летнем возрасте был выбран М. В. Ломоносовым
для обучения в гимназии при академическом университете.
В 1753 г. - адъюнкт по астрономии Петербургской Академии наук, а в 1754-1756 г.г. изучал математику у Л. Эйлера (в Берлине).
Заведовал географическим департаментом, был директором астрономической обсерватории Петербургской академии наук, руководил картографическими работами, готовил астрономо-метеорологические календари
(1766-1803). Вице-президент Петербургской академии наук (1800-1803).
Попечитель Казанского учебного округа (1803-1812) и инициатор открытия университета. Руководил созданием системы образования Сибири и
Востока Европейской части России с опорой на Казанский университет,
гимназий, приходских и уездных училищ в крупных городах округа.
Преподавательский состав Казанского университета был подобран им
столь тщательно, что за короткое время университет стал одним из
ведущих в России, подготовив в том числе первоклассных математиков
(Н. И. Лобачевский, А.Ф.Попов).

82.

Жан Леро́н Д’Аламбе́р (1717-1783)- французский
учёный-энциклопедист, член Петербургской(1764)
В трактате «Трактат о динамике» (1743) сформули
рован:1) «принцип Д’Аламбера», сводящий динами
ку несвободной системы к статике, 2) общие правила составления дифференциальных уравнений
движения любых материальных систем.
Д. назвал одну величину пределом другой, если
вторая, приближаясь к первой,отличается от неё менее чем на любую
заданную величину. В 1752 году, при решении дифференциального
уравнения с частными производными (модель обтекания тела). Д. дал
метод решения волнового уравнения. Впервые применил функции
комплексного переменного. У Д. и Эйлера встречаются уравнения,
связывающие действительную и мнимую части аналитической функции. В теории рядов – достаточный признак сходимости.
Опираясь на систему Ф. Бэкона, Д. классифицировал науки, положив
начало понятию «гуманитарные науки».
Из философских работ -вступительная статья к «Энциклопедии» и др
Работайте, работайте - а понимание придёт потом.
Истинное равенство
граждан состоит в том, чтобы все они одинаково были подчинены законам.

83.

Лагранж Жозеф Луи (1736-1813), французский
математик и механик, член Парижской АН (1772).
Родился в семье обедневшего чиновника.
Самостоятельно изучал математику.
Наиболее важные труды Лагранжа относятся к 1)
вариационному исчислению, 2) аналитической и
теоретической механике. Опираясь на результаты Л.
Эйлера, разработал основные понятия вариацион
ного исчисления и предложил общий аналитический
метод (метод вариаций) для решения вариационных задач.
Выдающиеся исследования в следующих разделах математики:
математический анализ (формула остаточного члена ряда Тейлора,
формула конечных приращений, теория условных экстремумов,
формула интерполяции),
теории чисел, алгебра (симметрической функции корней уравнения,
теория и приложения непрерывных дробей),
дифференциальные уравнения (теория особых решений, метод вариации постоянных), математическая картографии, астрономии и пр.

84.

Пр. Рассмотрим RLC -цепь. Закон
изменения напряжения источника e(t )
считаем известным, а ток в катушке
индуктивности iL (t ) и падение напряжения на конденсаторе uC (t ) - искомыми. ЛЕКЦИЯ 4 УТС-11 24.02.22
Применяя закон Кирхгофа для напряжений к контуру с учетом
uL = LiLў: e = RiL + LiLў + uC .
Применяя закон Кирхгофа для тока – к узлу между емкостью и
индуктивностью с учетом iL = iC = CuCў.
м
R
1
1
п
ў
п
i
=
i
u
+
e
L
L
C
п
L
L
L
Получаем такое уравнение RLC -цепи пн
.
п
1
п
uCў = iL
п
п
C
п
о

85.

xt x 2 y et
Пр. Найти общее решение НСЛДУ
.Подробно решен
yt 2 x y 2t
1 2
1
1
A
1 1, 2 3 X 1 , X 2 .
2 1
1
1

86.

87.

Задача простой интерполяции на последовательности попарно
различных узлов 1 ,..., n C - это задача нахождения многочлена
p( z ) , принимающего в этих узлах наперед заданные значения
a1 ,..., an : p( i ) ai , i 1,..., n .
ЗАМЕЧАНИЕ Многочленом наименьшей степени, решающим
задачу простой интерполяции, является интерполяционный
ai ( z )
, где
(
)
z
i 1
i
i
n
многочлен в форме Лагранжа p( z )
( z) : ( z 1 ) ... ( z n ) .

88.

Пр. Построить интерполяционный многочлен
Лагранжа по таблице
( z) : ( z 1 ) ... ( z 4 )
ai ( z )
i 1 ( i ) z i
4
p( z )
1
9
p( z ) z 3 z 2 12 z 9
2
2
ЛЕКЦИЯ 10 3.04.15 18.04.16 17.03.17
ЛЕКЦИЯ 12 4.04.19
УА-11 ЛЕКЦИЯ 4 24.02.22
i
1
2
3
4
ai
1
-1
0
1

89.

Сплайн от англ. spline — гибкое лекало, полоса металла, используемая для черчения кривых линий. Термин –А. Шонберг, 1946.
Используется в системах автоматизированного проектирования.
Сетка { k } с узлами на отрезке [a, b] это разбиение отрезка
T : { k }: a : 0 1 ... n : b . ЛЕКЦИЯ 10. 2014
Сплайн степени m на сетке T это функция S ( x) Sm (T , x) :
1) имеющая на [a, b] непрерывные производные до (m 1) -го порядка
включительно, 2) совпадающая на каждом отрезке [ i 1 , i ] с какимлибо многочленом степени m и 3) хотя бы на одном отрезке - с
многочленом степени m .

90.

Пр.1 S1 (T , x) - линейный сплайн. Его график
есть ломаная.
Пр.2 S3 (T , x) - кубический сплайн.
Это дважды непрерывно дифференцируемая
на [a, b] функция, а его график составлен из
кубических парабол.
Во многих случаях он является решением дифференциальных
уравнений, описывающих вполне реальные физические процессы.

91.

Моделирование головы при помощи модуля Surfacetools
Необходимо обладать двумя фотографиями головы: в фас и профиль
Автор Владимир Верстак
AutoCAD
3DS MAX

92.

АЛГОРИТМ (построения кубического сплайна) Пусть заданы
узлы, соответствующие значения в узлах a0 , a1 , ..., an и два значения
a , a первой или второй производной на каком-либо из концов.
1) Обозначим hi : i i 1 , bi : S ( i ) , i 1,..., n . Тогда из определения
кубического сплайна следует S ( x)
bi 1 ( i x) bi ( x i 1 )
на [ i 1, i ] .
hi
Отсюда и из условий S ( i 1 ) ai 1, S ( i ) ai , 1 i n находим рабочую
ai bi hi
bi 1 ( i x)3 bi ( x i 1 )3 ai 1 bi 1hi
S
(
x
)
(
x
)
i
( x i 1 ),
6hi
6
формулу
hi
hi 6
x [ , ], i 1,..., n.
i 1 i
2) Из условий S ( i 0) S ( i 0), i 1,..., n 1, получаем основную СЛАУ
a1 a0
a2 a1
h
b
2(
h
h
)
b
h
b
6
6
1
0
1
2
1
2
2
h2
h1
c n 1 уравнениями и n 1
.
.
.
a an 1
a an 2
hn 1bn 2 2(hn 1 hn )bn 1 hnbn 6 n
6 n 1
hn
hn 1
неизвестными b0 ,..., bn . Добавляем к ним два уравнения с a , a .
3) Решаем СЛАУ, и решение подставляем в рабочую формулу.

93.

Кубический сплайн называется естественным, если два дополнительных условия имеют вид S ( 0 ) S ( n ) 0 , и периодическим,
если они имеют вид S ( 0 ) S ( n ), S ( 0 ) S ( n ) и a0 an .
Пр. По таблице построить естественный куби 0 1 2
ческий сплайн. Сравнить 1) с интерполяцией ai 1 -2 1
мночленом Лагранжа, 2) с
аппроксимацией по методу
наименьших квадратов
многочленами второй и
третьей степеней.
i
3
4
2
0

94.

i
0
1
2
3
4
ai 1 -2 1
2
0
bi 1 ( i x) bi ( x i 1 )
.
S ( 0 ) b0 0, S ( n ) bn 0 .
hi
a1 a0
a2 a1
h
b
2(
h
h
)
b
h
b
6
6
b0 4b1 b2 36
1
2 1
2 2
1 0
h2
h1
b 4b b 48
2
3
1
a3 a2
a2 a1
6
b2 4b3 b4 18
h2b1 2(h2 h3 )b2 h3b3 6
h
h
3
2
b 0
0
a4 a3
a3 a2
6
h3b2 2(h3 h4 )b3 h4b4 6
b4 0
h4
h3
S ( x)
ai bi hi
bi 1 ( i x)3 bi ( x i 1 )3 ai 1 bi 1hi
S
(
x
)
(
x
)
i
( x i 1 ),
6
h
h
6
h
6
i
i
i
x [ , ], i 1, 2,3, 4.
i 1
i
2 18 x3 5 18 x 1,
x [0,1]
5 3
2
4 8 x 20 14 x 25 83 x 7 34 , x [1, 2]
S ( x)
, x [2,3]
, x [3, 4]
b0 0
b 12 3
4
1
b2 15
b 3
4
3
b4 0

95.

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть матрица A M n ,n имеет попарно различные
собственные числа 1 ,..., n . Найдем соответствующие им
собственные векторы и составим из последних как из столбцов
матрицу S A : xi j . Тогда имеет место равенство J ( A) S A 1 A S A , где
1 0 . . . 0
0 ... 0
2
-жорданова нормальная форма матрицы A ,
J ( A) :
.
. ... 0
0
0
0
n
S A - матрица перехода от A к J ( A) . ЛЕКЦИЯ 5 2.03.20
Многочлен от матрицы p( A) : a0 An a1 An 1 ... an E , где A -
квадратная, а E - единичная матрицы.
ak ( x)
x A , где ( x) : x 1 ... x n .
k 1 ( k ) x k
n
e k t ( x)
k t
tA
В случае ak e , k 1,..., n , положим e : p( A)
.
k 1 ( k ) x k x A
n
Пр. p( A)
Несложно показать, что e t A etA и e0 A E .
tA
'

96.

ТЕОРЕМА 7.4 (решение задачи Коши для НСЛДУ с постоянными
коэффициентами. Д’Аламбер, Эйлер, 1743; Лагранж, 1762)
Пусть в НСЛДУ n -го порядка X ' AX B(t ) матрица коэффициентов
A (aij ) M n ,n и элементы матрицы B(t ) (b1 (t ),..., bn (t ))T
непрерывны на [ , ]. Тогда:
1) матрица exp{(t ) A} является переходной матрицей НСЛДУ,
то есть фундаментальной матрицей со свойством e(t ) A t E ;
C1
2) X (t ) etAC , C ... , - общее решение однородной НСЛДУ X AX ;
C
n
3) решение задачи Коши X (t0 ) X 0 для однородной НСЛДУ имеет
вид e
( t t0 ) A
X0 ;
4) решение задачи Коши X (t0 ) X 0 для неоднородной НСЛДУ
t
имеет вид X (t ) e(t t ) A X 0 e(t ) A B( )d (- формула Коши).
0
t0

97.

§ 7.5 Численное решение задачи Коши для ОДУ
Сетка с шагом h и узлами xk - это разбиение отрезка [x0 , x0 + l ]
l
, n = 0,..., N - 1. ЛЕКЦИЯ 11. 2014, 2015
N
Сеточная функция – это функция, определенная на сетке x0 ,..., xN .
Пусть правая часть ОДУ yxў= f ( x, y ) имеет непрерывные частные
точками xn+ 1 := xn + h, h :=
производные в точке ( x0 , y0 ) .Тогда по формуле Тейлора в окрестно
сти точки ( x0 , y0 ) для решения y (t ) задача Коши: yxў= f ( x, y), y( x0 ) = y0
Метод Эйлера приближенного решения задачи Коши на сетке
x0 ,..., xN это нахождение сеточной функции {yk } по формулам
y0 := y0 , yn+ 1 := yn + f ( xn , yn )h , n = 0,.., N - 1 (Эйлер, 1768).
ЗАМЕЧАНИЕ Локальная погрешность метода Эйлера, то есть
погрешность на одном шаге, y( x1 ) - y1 = y( x0 + h) - y0 + f ( x0 , y0 )h = O(h2 ) .
Глобальная погрешность max y( xn ) - yn = O(h) . ЛЕКЦИЯ 13. 2019
nЈ N

98.

Пр. Решить задачу Коши y x
h 0,2 .
y
, y (0) 1 на отрезке [0,1] с шагом
x 1

99.

Метод Рунге-Кутта приближенного решения задачи Коши
yxў= f ( x, y ), y ( x0 ) = y0 , на сетке x0 ,..., xn это нахождение
сеточной функции {yk } по формулам
y0 := y0 ,
yn+ 1 := yn +
1
(k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ),
6
м
k1 := f ( xn , yn ) h
п
п
п
п
h
п
k
:
=
f
(
x
+
, yn + k1 ) h
n
где ппп 2
2
,
н
п
h
п
k3 := f ( xn + , yn + k2 ) h
п
п
2
п
п
п
п
о k4 := f ( xn + h, yn + k3 ) h
.
n = 0,..., N - 1
ЗАМЕЧАНИЕ Локальная погрешность метода Рунге-Кутта на
одном шаге равна O(h5 ) . Глобальная погрешность равна O(h4 ) .
Кпр. Задачу Коши yxў= y 2 , y (0) = 1 можно решить приближенно
методом Рунге-Кутта на любом отрезке [0,l ] . Однако точное
решение единственно и имеет вид y ( x) =
1
.
1- x

100.

ЗАМЕЧАНИЕ Методы Эйлера и Рунге-Кутта имеют место и для
НСОДУ.
м
x(t0 ) = x0
xtў= f (t , x, y ) м
п
п
п
п
, н
Пр Для задачи Коши н
формула метода
п
п
ў
y
(
t
)
=
y
0
о 0
п
о yt = f (t , x, y ) п
Рунге-Кутта имеет вид
м
1
п
п
x
:
=
x
+
(k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )
n+ 1
n
п
м
x
:
=
x
п
6
0
0
п
,
, п
н
н
п
п
1
п
о y0 := y0 п
y
:
=
y
+
(l1 + 2l2 + 2l3 + l4 )
п
n+ 1
n
п
6
п
о
м
ппk1 := f1 (tn , xn , yn ) h
пп
пп k := f (t + h , x + k , y + l ) h
1 n
n
1
n
1
пп 2
2
,
где нп
ппk := f (t + h , x + k , y + l ) h
1 n
n
2
n
2
пп 3
2
пп
по k4 := f1 (tn + h, xn + k3 , yn + l3 ) h
м
ппl1 := f 2 (tn , xn , yn ) h
пп
пп l := f (t + h , x + k , y + l ) h
2 n
n
1
n
1
пп 2
2
н
.
пп
h
ппl3 := f 2 (tn + , xn + k 2 , yn + l2 ) h
2
пп
ппо l4 := f 2 (tn + h, xn + k3 , yn + l3 ) h
Ключевые понятия подкластера «Численное решение задачи
Коши»: 1) Сеточная функция, 2) метод Эйлера, 3) метод РунгеКутта. ЛЕКЦИЯ 7 24.3.17

101.

§ 7.6 Динамические системы и траектории
Динамическая система - (ДС) в первоначальном значении термина
механическая система с конечным числом степеней свободы.
Состояние такой системы обычно характеризуется 1) ее расположением (конфигурацией) и 2) скоростью изменения этого расположения.
Закон движения указывает, с какой скоростью изменяется состояние системы. В простейших случаях состояние можно охарактеризо
вать посредством величин x1,..., xn , которые могут принимать произвольные значения, причем двум различным наборам величин x1,..., xn
и x11,..., x11 отвечают различные состояния, и обратно, а близость двух
наборов означает близость соответствующих состояний системы.
Закон движения описывается автономной системой дифференци
м
п
x1ўt = f1 ( x1 ,..., xn )
п
п
...
альных уравнений пн
, (X tў= F ( x) ), правая часть которой
п
п
ў
п
п
о xnt = f n ( x1 ,..., xn )
задана на открытом множестве G Н R n и удовлетворяет условиям
существования и единственности решения задачи Коши.

102.

103.

Динамическая система - система взаимосвязанных процессов, для
которой однозначно определено его состояние и задан закон изменения начального состояния с течением времени.
Содержательная (феноменологическая, концептуальная) модель
- модель, полученная на начальной стадии изучения ДС. В технике
она называется техническая постановка задачи, а для представле
ния используют графическую функциональную схему. На этой ста
дии формируются наборы величин: воздействия внешней среды,
внутренние переменные, выходные переменные, параметры, пере
менные, которые принимают в качестве управляющих воздействий
На основании содерж. модели переменные связывают в уравнения.
Математическая модель (ММ) – это приближенное количественное описание функционирования системы в определенных условиях и при принятых допущениях, выраженное с помощью математической символики. В зависимости от вида ДС и степени приближе
ния (адекватности) уравнения ММ могут быть линейными и нели
нейными, дифференциальными, разностными и т.д.
(Душин)

104.

Рассматривая значения x1 ,..., xn как координаты точки xx О R%n , можно
геометрически представить соответствующее состояние ДС
посредством этой точки x . Последнюю называют изображающей
(фазовой) точкой. ЛЕКЦИЯ 6 3.03.20
Движение ДС - решение x(t ) автономной системы.
Траектория в R%n - множество точек {x(t ) = ( x1 (t ),..., xn (t )) : t О (a , b )},
где x(t ) - решение автономной системы.
Фазовый портрет ДС это множество ее траекторий.
Фазовое пространство ДС это пространство R%n , в котором
изображен фазовый портрет.
ЗАМЕЧАНИЕ В силу теоремы единственности траектории между
собой не пересекаются. Траектории, определяемые решениями
x(t ), x(t + a ), a ОR , совпадают.

105.

2
xt a1 x a2 xy a3 x
Пр.
- математическая модель ДС «караси-щуки»
yt b1 y b2 xy
x(t ), y (t ) - количество карасей и щук в пруду в момент времени t.
a1 - естественный прирост, создаваемый одним карасем в единицу
времени, a1 x(t ) - естественный прирост, даваемый всеми карасями
a2 - доля одного карася, съеденная в единицу времени при его кон
такте с одной щукой, a2 x y количество съеденных карасей в
единицу времени, когда в водоеме находится x карасей и y щук;
a3 -коэффициент, характеризующий пищевой ресурс водоема.
b1 - естественная смерть в единицу времени, приходящаяся на одну
щуку при отсутствии карасей, b1 y - естественная смерть в единицу
времени y щук;
b2 - коэффициент прироста в единицу времени, приходящегося на
1 щуку при наличии 1 карася; b2 x y - количество родившихся щук в
единицу времени, если в водоеме находится x карасей и y щук.

106.

Джоза́йя Уи́ллард Гиббс (1839 - 1903) – американский
физик, физикохимик, математик и механик, один из созда
телей векторного анализа, статистической физики, матема
тической теории термодинамики, что во многом предопре
делило развитие современных точных наук и естествозна
ния в целом. Ввел понятие фазового пространства (1884)
Леоте (1985) впервые использовал фазовый портрет системы для
изучения характера возможных в системе движений и еще до Пуанкаре
показал типичную картину фазового портрета, содержащего предельный
цикл.

107.

ПУАНКАРЕ, ЖЮЛЬ АНРИ (1854 - 1912)
французский математик, физик, астроном.
С решением проблем небесной механики, в частности, проблемы трех тел,
связаны фундаментальные открытия П.,
касающиеся поведения интегральных
кривых дифференциальных уравнений.
Опубликовал большое число работ по
теории автоморфных функций, дифференциальным уравнениям,
топологии, теории вероятностей.
10-томный «Курс математической физики» (1889 и далее).
П. использовал методы математической физики для решения задач
теплопроводности, электромагнетизма, гидродинамики, теории
упругости.
В 1904 г. сформулировал принцип относительности.
Предложил первый вариант релятивистской теории гравитации.
Монография «Теория Максвелла и колебания Герца» (1907). Научнопопулярные работы «Ценность науки» (1905), «Наука и Метод» (1908).

108.

Положение (состояние) равновесия –траектория, порождаемая постоянным решением x(t ) є a О R%n ДС. Это точка в R%n .
м
п
xtў= x(1п
2
п
%
Пр. x(t ) є (0,0) О R - положение равновесия ДС н
п
п
п
о ytў= y (1-
x2 + y 2 ) - y
x2 + y 2 ) + x
ЗАМЕЧАНИЕ Точка a О R%n является положением равновесия ДС
n -ка чисел a является решением системы
м
f1 ( x) = 0
п
п
п
н . . . .
п
п
п
п
о f n ( x) = 0

109.

Решение x(t ) на (- Ґ , + Ґ ) ДС периодическое, а соответствующая траектория в R%n замкнутая (цикл), если
$ T > 0 " t О R x(t + T ) = x(t ) .
м
п
xtў= x(1п
п
Пр.н
п
п
п
о ytў= y (1-
x2 + y 2 ) - y
2
.
2
x + y )+ x
м
x(t ) = cos t
п
п
- 2 -периодическое решение, S (0,0),1 - цикл.
н
п
п
о x(t ) = sin t
ЗАМЕЧАНИЕ Если траектория ДС сама себя пересекает хотя бы
в одной точке, то она необходимо является либо положением
равновесия, либо циклом (в силу теоремы единственности).

110.

м
п
ў= x(1- x 2 + y 2 ) - y
x
п
t
Пр. Построить фазовый портрет ДС с пн
.
2
2
п
п
п
о ytў= y (1- x + y ) + x
dr
м
м
м
п
x
(
t
)
=
r
(
t
)cos
j
(
t
)
r
'
=
(1
r
)
r
п
п
(1- r ) r = d j
п
п
п
Ю н
Ю r = 0, н
н
п
п
п
п y (t ) = r (t )sin j (t )
пr j ' = r
о
о
п
оj ' = 1
1) r О (0,1) ,
м
пп r
C2
пнln 1- r = j + ln C2 Ю 1 - 1 = exp{- t - C1} Ю r =
пп
r
C2
C2 + exp{- t - C1}
j
=
t
+
C
по
1
2) r = 1 ЛЕКЦИЯ 12. 2014
3) r > 1
ЛЕКЦИЯ 14 11.04.19

111.

Цикл ДС предельный, если во множестве траекторий, проходящих через точки, достаточно близкие к этому циклу, нет замкнутых
траекторий.
Цикл ДС устойчивый (притягивающий), если он является
асимптотой для всех траекторий, проходящих через достаточно
близкие к этому циклу точки, при t .
Цикл неустойчивый (отталкивающий), если он является
асимптотой для всех близких траекторий при t .
Пр. Цикл S (0,0),1 предыдущего примера притягивающий.
Существуют альбомы фазовых портретов динамических систем.
Автоколебания - это движения x(t ) ДС, изображаемые на фазовой
плоскости (в случае систем с одной степенью свободы) устойчивыми предельными циклами.
Пр. Часы.

112.

Пр. Исследуем фазовый портрет однородной НСЛДУ
xt a11 x a12 y
yt a21 x a22 y
X t A X
det E A 2
жa11
Пусть l 1,l 2 - собственные числа матрицы A = ззз
иa21
1) l 1,l 2 О R , l 1 №l 2 .
ASk = l k Sk
Ю
a12 ц
ч
ч.
a22 ч
ш
(Sk el t )tў = l k Sk el t = A(Sk el t ) Ю
k
k
Ю X (T ) = C1el 1t S1 + C2el 2t S2 - общее решение.
1.1) l 1 , l 2 < 0 . Соответствующее поведение
траекторий вблизи положения равновесия (0,0)
называется устойчивым узлом.
1.2) l 1 , l 2 > 0 . Соответствующее поведение
траекторий вблизи положения равновесия (0,0)
называется неустойчивым узлом
1.3) l 1 < 0 < l 2 . Соответствующее
поведение траекторий вблизи
положения равновесия (0,0)
называется седлом (0,0) .
k

113.

2) l 1 = l 2 = : l .
2.1) Если матрица A имеет два линейно независимых
собственных вектора S1 , S2 , то X (T ) = (C1 + C2t ) S1el t + C2 S2el t
В зависимости от знака l соответствующее
поведение траекторий вблизи (0,0) называется устойчивым или
неустойчивым дикритическим узлом.
2.2) Если матрица A имеет один линейно независимый собствен
ный вектор S1, то X (T ) = C1el t S1 + C2tel t S2 , где S2 есть решение СЛАУ
(A - l E ) X = S1 . В зависимости от знака l соответствующее поведе
ние траекторий вблизи (0,0) называется устойчивым или неустойчивым вырожденный узлом

114.

3) l 1 = l 2 = : a + b i О C .
X (t ) = (C1 cos bt + C2 sin bt )ea t h1 + (- C1 sin bt + C2 cos bt )ea t h2
3.1) Re a < 0 . Поведение траекторий
вблизи положения равновесия (0,0)
называется устойчивым фокусом.
3.2) Re a > 0 . Поведение траекторий
вблизи положения равновесия (0,0)
называется неустойчивым фокусом.
3.3) Re a = 0 . Поведение
траекторий вблизи поло
жения равновесия (0,0)
называется центром.
Траектории являются
циклами с периодом
2p
=
.
|b |

115.

Сепаратриса (от лат. separatus) - траектория ДС в 2-мерном фазовым
пространстве, стремящаяся к седловому состоянию равновесия при
времени
(устойчивая С.) или при
(неустойчивая С.).
Если С. стремится к седлу при
, то её (вместе с седлом)
называют петлей.
Пр. На фазовом портрете ДС, описываемой уравнением математического маятника, j tў2ў= - g sin j
m
Ю
м
xtў= y
п
м
п
x
:
=
j
п
п
п
Ю н
н
g
п
п
ytў= sin x
п
оy = j ў
п
п
m
о
две сепаратрисы отделяют область колебательных движений от об
ласти вращательных движений маятника.
ЛЕКЦИЯ 5 29.01.18

116.

Ляпунов Александр Михайлович (1857 1918), русский математик, механик.
Ученик П.Л.Чебышёва. Создал современную
строгую теорию устойчивости равновесия и
движения механических систем, определяемых конечным числом параметров. Построил
общий метод решения задач об устойчивости. Основной
труд – докторская диссертация «Общая задача об устойчивости движения» (1892). Цикл исследований по фигу
рам равновесия вращающихся жидкостей, частицы
которой притягиваются по закону всемирного тяготения.
Цикл работ по математической физике: потенциал
двойного слоя; поведение производной решения задачи
Дирихле при приближении точки к поверхности, на
которой задано граничное условие; доказана симметрия функции
Грина задачи Дирихле; формула решения задачи Дирихле в виде
интеграла по поверхности (для поверхностей Ляпунова)
В теории вероятностей - метод характеристических функций;
доказана центральная предельная теорема при весьма общих условиях.

117.

§ 7.7 Понятия устойчивости и линеаризации
Обозначение
жx1 (t ) ч
ц
зз
ч
, x(t ) := (x1 (t ),..., xn (t )).
X (t ) := зз. . .ч
ч
ч
зз
ч
зи x (t ) ч
ш
ЛЕКЦИЯ 13.2014
n
Пусть НСОДУ X tў= F (t , x(t ))
удовлетворяет условию
теоремы единственности
на множестве точек (t , x) ,
t > a , x ОG Н R n.
Решение j (t ) :[t0 , Ґ ) ® R%n
устойчиво по Ляпунову,
если " e> 0 $d> 0 " x0 О G с
условием r (j (t0 ), x0 ) < d
решение y (t ) задачи Коши с начальным условием y (t0 ) = x0
удовлетворяет условию " t і t0 r (y (t ), j (t )) < e . Решение j (t )
асимптотически устойчиво, если кроме того lim r (y (t ), j (t )) = 0 .
t® + Ґ

118.

ЗАМЕЧАНИЕ Устойчивость
решения j (t ) для НСОДУ X tў= F (t , x)
равносильна устойчивости нулевого
решения для НСОДУ
Ytў= F (t , y1 (t ) + j 1 (t ) ,..., yn (t ) + j n (t )) - F (t , j (t ))
СЛЕДСТВИЕ Произвольное
решение НСЛДУ X tў= A(t ) X + B(t ) устойчиво тогда и только тогда,
когда устойчиво нулевое решение однородного уравнения
X tў= A(t ) X . Поэтому для таких систем корректно говорить об
(асимптотической) устойчивости НСЛДУ, а проверять ее
только на нулевом решении однородной НСЛДУ.

119.

ЛДУ с постоянными коэффициентами x( n) + a1x( n- 1) + .. + an x = f
устойчивое, если " t0 , x10 ,..., xn0 О R решение x(t ) однородного ЛДУ
с начальными данными x(t0 ) = x10 , ..., x( n- 1) (t0 ) = xn0 ограничено на
[t0 , + Ґ ) и lim x(t ) = 0 . ЛЕКЦИЯ 7 6.03.20
t® + Ґ
ЗАМЕЧАНИЕ Первая статья по теории
устойчивости А.М.Ляпунова - 1888 г.
Диссертация, 1892 г.
УТС-11 ЛЕКЦИЯ 6 3.03.22
ЗАМЕЧАНИЕ Пуанкаре. Максвелл.
Вышнеградский. Стодола. Раусс. Гурвиц.

120.

ТЕОРЕМА 7.8 (критерии устойчивость ДУ)
1) Пусть элементы функциональных матриц A(t ), B(t ) НСЛДУ
X t A(t ) X B(t ) непрерывны на [t0 , ) . Система устойчива
элементы ее фундаментальной матрицы ограничены на [t0 , ) .
2) НСЛДУ с постоянными коэффициентами X t A X B(t ) устойчива собственные числа матрицы A имеют неположительные
вещественные части, а для чисто мнимых собственных чисел
i выполняется равенство rang ( A iE ) rang ( A iE ) 2 .
3) В условиях предыдущего пункта НСЛДУ асимптотически устой
чива все собственные числа матрицы A имеют отрицательные
вещественные части.
4) (критерий Рауса-Гурвица) ЛДУ с постоянными коэффициентами
жa1 a3 a5 ... 0 ц
x( n) + a1x( n- 1) + ... + an x = f устойчиво все
чч
зз
зз 1 a2 a4 ... 0 чч
чч
главные миноры матрицы положительны:
зз
a1 a3
d1 := a1 > 0, d2 :=
> 0, ... , dn := det R > 0 .
1 a2
R = зз 0
зз
зз .
ззи0
0 ччч
ч
... . ччч
чч
... an ш
a1
a3 ...
.
0
.
0

121.

Адольф Гурвиц (1859 - 1919) - немецкий математик.
Докажем 4) для xtў2ў+ a1xtў+ a2 x = f .
a a ( ) .
2
2
1
2
1
2
1
2
x(t ) C e C e .
1t
2t
1
2
a 0
x(t ) 0 , 0 a 0 a 0 a 0
a a 0 .
1 a
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
Пр. Проверить на устойчивость дифференциального уравнения
yiv 3 y y 5 y 0

122.

Пусть x0 (t ) - решение НСОДУ
жf1 ч
ц
зз ч
, которое назовем
X tў= F (t , x ) = зз ... ч
ч
ч
зз ч
зи f ч
ш
n
опорным (рабочим). Для "близкого" решения x(t ) положим
D X := X (t ) - X 0 (t ) . Разложим функции fi (t , x(t )) в окрестности x0 (t )
по формуле Тейлора
n
¶ fi
(t , x0 (t )) ЧD x j (t ) + Ri (t , D x1,..., D xn ) , i = 1,...n , или
j= 1 ¶ x j
ж¶ f
ц
з
i
в матричной форме F (t , x(t )) = F (t , x0 (t )) + зз (t , x0 (t )чччD X + R(t , D x1,..., D xn )
ч
зи¶ x j
ш
ж¶ f
ц
ч
з
i
Тогда (D X )ўt = X tў- X 0ўt = F (t , x(t )) - F (t , x0 (t )) = зз (t , x0 (t )ччD X + R(t , D x1 (t ),..., D xn (t ))
ч
зи¶ x j
ш
fi (t , x(t )) = fi (t , x0 (t )) + е
Отбрасывая "малое" последнее слагаемое, получим НСЛДУ
ж¶ f
ц
ч
з
(D X )ўt = зз i (t , x0 (t )ч
чD X ,
¶
x
ч
зи j
ш
которая называется линеаризацией НСОДУ в окрестности
опорного решения x0 (t ) .

123.

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть a = (a1,..., an ) - положение равновесия динажx1 - a1 ч
ц
зз
ч
мической системы с X tў= F ( X ) , то есть F (a) = 0 . Тогда D X = зз ... ччч
зз
ч
зиx - a ч
ш
n
n
(D X )tў= X tў, и потому линеаризацией динамической системы в окре
ж¶ f
ц
ч
з
i
стности положения равновесия a будет НСЛДУ X tў= зз (a)ччD X .
ч
зи¶ x j ш
с постоянными коэффициентами. Решение последней находится
по формуле Коши. ЛЕКЦИЯ 8 29.03.17
м ў
Пр. Линеаризовать уравнение маятника ппнx1t = x2
, k > 0, в
п
п
о x2ўt = - k Чsin x1
окрестности положений равновесия 0,0 , ,0 .

124.

ТЕОРЕМА 7.9 Пусть x0 є a - положение равновесия НСОДУ
X tў= F (t , x) , то есть F (t , a) є 0 .
1) (теорема Ляпунова) Если линеаризация в окрестности имеет
постоянную матрицу коэффициентов
ж¶ f
ц
ч
з
i
B := зз
(t , a)ччє const
ч
зи¶ x j
ш
и
F (t , x) - B ЧD X
lim
= 0,
X® A
r ( x, a )
где F (t , x) непрерывна в цилиндрической области
G := {(t , x) : t і t0 , r ( x, a ) < e},
то:
а) если собственные числа B имеют отрицательные вещественные
части, то положение равновесия a асимптотически устойчиво;
б) если хотя бы одно собственное число имеет положительную
вещественную часть, то положение равновесия неустойчиво.

125.

2) (лемма Ляпунова) Пусть НСОДУ X tў= F удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности в "трубе"
%n : r ( x, a) < e}
G := {(t , x) : t і t0 , r ( x, a ) < e}. Пусть на шаре D(a, e) := {x О R
существует непрерывно дифференцируемая функция Ляпунова
n
v( x) со свойством: " x О D(a, e) \{a} v( x) > 0, v(a) = 0, " (t , x) О G е ¶ v fi (t , x) Ј 0
i= 1 ¶ xi
Тогда есть a есть устойчивое положение равновесия. ЛЕКЦИЯ14
Пр. Исследовать на устойчивость положение равновесия математического маятника с уравнением xtў2ў + k sin x = 0 , k > 0 , x(t ) - угол от
м
м
x1 := x
пп x1ў= x2
п
п
н
клонения. Введем новые переменные н
ў
п
п
ў
п
о x2 := xt
поx2 := - k sin x1
автономная система. a = (0,0), (p ,0) - положения равновесия.
ЛЕКЦИЯ 14. 2014 v(x , x ) = 12 x + k (1- cos(x ))
1
2
2
2
1

126.

СЛЕДСТВИЕ (теорема Ляпунова об устойчивости по первому
приближению) Пусть x0 є a - положение равновесия АС X tў= F ( x) ,
ж¶ f
ц
ч
з
i
то есть F (a) = 0 . Пусть A := зз (a)чч - матрица Якоби отображения
ч
зи¶ x j
ш
F = ( f1 ,..., f n ) в точке a . Тогда:
а) если собственные числа A имеют отрицательные вещественные
части, то положение равновесия a асимптотически устойчиво;
б) если хотя бы одно собственное число A имеет положительную
вещественную часть, то положение равновесия неустойчиво.
Лекция 15 18.04.19

127.

Схема горизонтальной одноцилиндровой паровой машины высокого давления,
двойного действия. Отбор мощности осуществляется приводным ремнём:
1 – Поршень 2 – Поршневой шток 3 – Подшипник 4 – Шатун 5 – Кривошип 6 –
Движение эксцентрикового клапана 7 – Маховик 8 – Скользящий клапан 9 –
Центробежный регулятор

128.

Вращение вала двигателя передаётся
через передачу на вал регулятора. Во
время вращения вала регулятора под действием центробежной силы грузики откло
няются от оси, причём чем быстрее враща
ется вал, тем дальше расходятся грузики.
При этом рычаги взаимодействуют
через тяги с муфтой и перемещают её по
оси вала. Поступательное движение муфты через коромысло передаётся на тягу, соединённую с дроссельной
заслонкой таким образом, чтобы при повышении скорости вращения вала
заслонка закрывалась, а при уменьшении – открывалась.

129.

,
W - угловая скорость вращения маховика с моментом си
лы M1; M 2 - момент внешней нагрузки относительно оси;
j -угол между рычагом и осью, связанный определённой
формулой с углом наклона заслонки; b выражается через
коэффициент трения; k - через термодинамические
характеристики пара. Пусть w:= j tў.
уравнение движения
паровой машины,
-
регулируемой ценробежным регулятором.

130.

Джеймс Клерк Ма́ксвелл (1831-1879) британский физик,
математик и механик. Заложил основы современной классической электродинамики (уравнения Максвелла), ввёл в
физику понятия тока смещения и электромагнитного
поля.
Один из основателей кинетической теории газов
(установил распределение молекул газа по скоростям).
Одним из первых ввёл в физику статистические
представления.
Среди других работ М.- исследования по механике (теорема
Максвелла в теории упругости, работы в области теории устойчивости
движения), оптике, математике.
В статье «О регуляторах», 1868, 1) обобщает результаты Лагранжа, относящие
ся к малым колебаниям консервативной системы вокруг положения равновесия,
на малые колебания дискретных систем общего типа (неконсервативных)
вокруг установившегося движения; 2) сводит вопрос об устойчивости установившегося движения к алгебраической задаче об условиях отрицательности
вещественных частей корней характеристического уравнения.

131.

Ива́н Алексе́евич Вышнегра́дский (1831-1895). Ученик
М.В.Остроградского. 1869-72 – стажировка за границей.
Основоположник теории автоматического регулирования: в рабо
те «О регуляторах прямого действия» (1877) представил метод
расчёта регуляторов этого типа. Сформулировал условие устой
чивости системы регулирования (критерий Вышнеградского).
Создал русскую научную школу инженеров-машиностроителей
Ввёл преподавание курса теоретических основ машиностроения.
Читал курсы прикладной механики, термодинамики, теории
упругости, грузоподъёмных машин, токарных станков,
паровых машин и др.
Ввёл для студентов курсовое и дипломное проектирование.
Автор руководства «Элементарная механика», в течение
многих лет считавшееся лучшим в России в данной области.
Выдающийся инженер-конструктор: автоматический пресс для изготовления
призматического пороха, подъёмные машины, пресс для испытания материалов,
механический перегружатель грузов.
Участвовал в строительстве Охтинского порохового завода, механических
мастерских Петербургского арсенала, патронных, пороховых и оружейных заводов.
В 1887-1892 - министр финансов России.
С 1881 - председатель Общества Юго-Западных железных дорог.
Как крупный предприниматель нажил миллионное состояние.
По сути это становится началом российской школы инженерной автоматики и сти
мулом к глубоким теоретическим исследованиям в области устойчивости динамиче
ских систем, — страна становится ведущей в связанных областях на долгие годы.

132.

Аурель Болеслав Стодола (Aurel Stodola,
1859—1942) - словацкий учёный, педагог,
инженер-конструктор.
Основатель прикладной термодинамики,
турбиностроения. В 1892 году С. создал
турбомашинную лабораторию, известную в
настоящее время как en: Laboratory for
Energy Conversion.
Был профессором в области машиностроения в швейцарском политехническом
институте (в настоящее время -швейцарская
высшая техническая школа Цюриха).
Преподавал. Одним из его студентов был Альберт Эйнштейн.

133.

Серге́й Ю́льевич Ви́тте (1849-1915)-русский государственный
деятель, министр путей сообщения(1892), министр финансов
(1892-1903), председатель Комитета министров (1903-06),
граф (1905), председатель Совета министров (1905-06).
По окончании университета… министр путей сообщения
А.Бобринский, знавший его отца, предложил работу в
качестве специалиста по эксплуатации железных дорог. В
течение полугода Витте стажировался на различных
должностях службы эксплуатации. В «Воспоминаниях»
Витте писал: «Так, я сидел в кассах станционных, грузовых и билетных, затем
изучал должности помощника начальника станции и начальника станции, потом
контролёра и ревизора движения затем занимал должности на различных станциях,
где преимуществен но было гру зовое движение, и на станциях, где было
преимущественно пассажирское движ-е».
И.А.Вышнеградский, будущий министр финансов России, был на протяжении 15
лет непосредственным начальником Витте. В. опубликовал книгу «Принципы
железнодорожных тарифов по перевозке грузов», которая получила известность
среди специалистов. Работая в правительстве, добился права назначать сотрудни- ков
в зависимости от их эффективности, а не близости к правящим кругам. Резко ускорил
сооружение Транссиба. Летом 1905 года направлен императором в США для
заключения Портсмутского мирного договора с Японией. Находясь в зарубеж ных
странах, особое внимание уделял общественному мнению и освещению в печа ти
России и действий её правительства.

134.

Андронов Александр Александрович(1901-1952)
А. первый (1928) указал эффективный математический аппарат для рассмотрения задач теории нелинейных колебаний и его помощью создал
основы строгой теории автоколебаний.
Автоколебания— колебания системы, период которых определяется параметрами самой системы.
Распространил развитые им методы теории
нелинейных колебаний на проблемы автоматического регулирования,
решил ряд важных нелинейных задач 1) теоретической радиотехники, в
области 2) регулирования и 3) общей динамики машин.
В 1937 опубликовал классическую монографию «Теория колебаний»
(совместно с А. А. Виттом и С. Э. Хайкиным). Создал школу специалис
тов в области нелинейных колебаний и смежных проблем.
Депутат Верховного Совета СССР. ЛЕКЦИЯ 7 УТС-1110.03.21-22

135.

136.

137.

ЗАМЕЧАНИЕ (свойства измеримых множеств)
1)( s -аддитивность семейства множеств) Семейство измеримых
множеств замкнуто относительно операций взятия конечных и
счетных объединений и пересечений.
2) ( s -аддитивность меры) Если множества A1, A2 ,... измеримы и
Ґ
Ґ
k= 1
k= 1
попарно не пересекаются, то m( U Ak ) = е m( Ak ) .
3) Если S измеримо, а m(S0 ) = 0 , то множества S U S0 , S \ S0
измеримы и m(S ) = m(S U S0 ) = m(S \ S0 ) .
Свойство выполняется почти всюду на множестве, если
оно выполняется во всех точках этого множества за исключением
его подмножества точек меры 0.
Пр. Функция Дирихле d ( x) почти всюду равна нулю.

138.

Множество S измеримо (по Лебегу), если m* (S ) = m* ( S ) (1902г.).
Число m(S ) := m* ( S ) = m* ( S ) - мера Лебега множества S .
Пр. m(I I [0,1]) = 1, m(Q I [0,1]) = 0 . ЛЕКЦИЯ 8 1.03.20
Анри Леон Лебе́г (1875 - 1941) – французский
математик. Наиболее известен как автор теории
интегрирования (интеграл Лебега), обобщающей
обычное определение интеграла на более широкий класс функций. Интеграл Лебега нашёл
широкое применение в теории вероятностей.
Л. решал проблему определения траектории
снаряда.

139.

Кпр. (неизмеримое по Лебегу множество, Дж. Витали, 1905)
Рассмотрим отношение эквивалентности
на отрезке [0,1] :
если разность x y Q . Из каждого класса эквивалентности
выберем по представителю - одной точке (здесь используется
аксиома выбора). Полученное множество E представителей
будет неизмеримым.
Образуем E0 :
E x . [0,1] E0 [ 1,2] 1 ( E0 ) ( E0 ) 3
x
y
x [ 1,1] Q
По построению
и E x, y [ 1,1] Q E x E y .
Если бы E было измеримым, то в силу - аддитивности меры
Лебега ( E0 ) ( E x) . Тогда в случае ( E) 0 ( E0 ) 0 , а
x [ 1,1] Q
в случае ( E) 0 ( E0 ) . Противоречие.

140.

Кпр. (неизмеримое по Лебегу множество, Дж. Витали, 1905)
Рассмотрим отношение эквивалентности
x
на отрезке [0,1] :
y если разность x y Q . Из каждого класса эквивалентности
выберем по представителю - одной точке (здесь используется
аксиома выбора). Полученное множество E представителей
будет неизмеримым.
Образуем E0 :
E x . [0,1] E0 [ 1,2] 1 ( E0 ) ( E0 ) 3
x [ 1,1] Q
По построению
и E x, y [ 1,1] Q E x E y .
Если бы E было измеримым, то в силу - аддитивности меры
Лебега ( E0 ) ( E x) . Тогда в случае ( E) 0 ( E0 ) 0 , а
x [ 1,1] Q
в случае ( E) 0 ( E0 ) . Противоречие.
ЛЕКЦИЯ 6 5.03.24

141.

Функция f ( x) измерима на
отрезке [a , b], если она конечна
почти всюду на [a , b] и " c О R
измеримо множество
{x О [a , b] : f ( x) Ј c}.
Пр. Непрерывная на [a , b]
функция измерима.
Кпр. Строится с помощью индикатора неизмеримого множества.
ЗАМЕЧАНИЕ (свойства измеримых функций)
1) Функция f ( x) измерима | f ( x) | измерима. ЛЕКЦИЯ 1.04.2016
Обратное, вообще говоря, не верно (индикатор неизмеримого
множества).
2) Если функции f1, f2 измеримы, то измеримы a f1 + b f2 , f1 Чf2 , f1 f2 .
В последнем случае предполагается x , f 2 ( x) 0 .

142.

3) (теорема Егорова) Пусть последовательность измеримых на
[a , b] функций f k ( x) сходится почти всюду к почти всюду конечной на [a , b] функции f ( x) . Тогда f ( x) измерима на [a , b] и " e > 0
найдется измеримое подмножество Ee с мерой m( Ee ) і b- a - e , на
котором { fk ( x)} сходится к f ( x) равномерно. ЛЕКЦИЯ 9, 31.03.17
4) (теорема Лебега) Если последовательность измеримых на [a , b]
функций fk ( x) сходится почти всюду к почти всюду конечной на
[a , b] функции f ( x) , то она сходится к f ( x) по мере: " e > 0
lim m({x : f k ( x) - f ( x) і e)= 0 . Обратное, вообще говоря, не верно.
k® Ґ
5)(теорема Рисса) Если последовательность измеримых функций
f k ( x) сходится к f ( x) по мере, то ${kn} подпоследовательность
{ f kn ( x)} сходится к f ( x) почти всюду на [a , b] .
6) (теорема Фреше) Измеримая функция совпадает почти всюду
с пределом некоторой последовательности многочленов.

143.

Дми́трий Фёдорович Его́ров (1869-1931) –россий
ский и советский математик. Учитель Лузина.
Работы Е. относятся к дифференциальной геометрии,
теории интегральных уравнений, вариационному исчис
лению, теории функций действительного переменного.
Начиная с 1910 года Е. стал систематически вести мате
матический семинар; с тех пор математические семина
ры постепенно стали обычной формой учебной работы
в вузах. Семинар Е. по математическому анализу, положил начало моско
вской школе теории функций вещественной переменной (ученики Е.:
Н. Н. Лузин, П. С. Александров, И. Г. Петровский, И. И. Привалов,
В. В. Степанов, В. В. Голубев, Л. Н. Сретенский, Д. Е. Меньшов).
В мае 1917 г. избран на 4 года помощником ректора Московского уни
верситета. Участвовал в основании в 1921 г. НИИ математики и механи
ки МГУ (1924-1930 его директор). В 1924 г. возобновил издания «Мате
матического сборника», прерванное в 1919 г. В 1929 г. был подвергнут
гонениям по религиозным убеждениям и в 1930 году арестован. Умер 10
сентября 1931 года в больнице, после голодовки, объявленной в тюрьме.

144.

Пусть функция f ( x)
измерима и
ограничена
на [a , b];
A := inf f ( x) ;
[ a ,b ]
B := sup f ( x) .
[ a ,b ]
Разобьем отрезок [ A, B] точками T := { yk : A = : y0 < ... < yn := B}, и обозначим измеримые множества Sk := {x О[a , b]: yk- 1 < f ( x) Ј yk }, k = 1,2,..., n .
Выберем произвольно точки E := {h k : h k О[ yk- 1, yk ]}, и образуем
n
интегральную сумму S (T , E ) := е h k m( Sk ) . Тогда конечный предел
k= 1
b
S (T , E ) (можно показать, что он существует)
т f ( x)dx := d (lim
T )® 0
a
называется интегралом Лебега функции f ( x) , а сама функция –
суммируемой (интегрируемой по Лебегу) на отрезке [a , b].

145.

ТЕОРЕМА (свойства интеграла Лебега) ЛЕКЦИЯ 6. 5.02.18
1) Измеримая функция f ( x) суммируема суммируема | f ( x) | .
2) Если f1( x), f2 ( x) суммируемы и совпадают почти всюду на измери
мом множестве S (-эквивалентные функции), то тS f1( x)dx = тS f2 ( x)dx
3) " a , b ОR , для любых суммируемых функций f1( x), f2 ( x) на измеримом множестве S тS (a f1( x) + bf 2 ( x))dx = a тS f1( x)dx + bтS f 2 ( x))dx .
4) Если f ( x) интегрируема по Риману на [a , b], то она измерима,
интегрируема по Лебегу и эти интегралы равны.
5) (теорема Лебега) f ( x) интегрируема по Риману на [a , b] она
ограничена на [a , b] и непрерывна почти всюду на нем.
ЗАМЕЧАНИЕ Определение интегрируемости по Лебегу обобщается на неограниченные функции на [a, b] и на неограниченные
множества S : тS f ( x)dm.
ЛЕКЦИЯ 15. 2014, 2015

146.

Пр. Функция Дирихле d ( x) не интегрируема по Риману на [0,1] , так
как разрывна в каждой точке.
Неинтегрируемость по Риману была доказана в первом семестре.
Докажем интегрируемость по Лебегу.
Для разбиения T := {yk : 0 = : y0 < ... < yn := 1}
S1 = I I [[0,1] , S2 = ... = Sn- 1 = Ж, Sn = Q I [[0,1] Ю S (T , E ) := h1 m(S1) + h n m(Sn ) = h1 Ю
1
т0 d ( x)dx = 0 .
Пусть комплекснозначная функция f ( x) = u ( x) + v( x)i имеет
измеримые вещественную и мнимую части. Она называется
суммируемой в квадрате, если суммируемы квадраты u 2 ( x), v 2 ( x)
её вещественной и мнимой частей.
ЗАМЕЧАНИЕ Суммируемая в квадрате функция будет
суммируемой. Обратное, вообще говоря, неверно.

147.

Комплексное евклидово пространство - пара E, , , состоящая
из векторного пространства E над полем комплексных чисел C , и
билинейной формы , : E 2 C со свойствами: x, y E y, x x, y ,
x 0 x, x 0 . Скалярное произведение определяет на E норму
x 2 : x, x (- норма, порожденная скалярным произведением).
Гильбертово пространство это полное евклидово пространство:
каждая фундаментальная последовательность xn : n n( )
p N xn p xn , сходится к некоторому элементу: lim xn x0 E .
n
Пр.1 Множество суммируемых с квадратом на [ , ] функций L [2 , ]
является гильбертовым пространством со скалярным
произведением f , g : f ( x) g ( x) dx .
Пр.2 Множество l2 последовательностей со скалярным произведе
нием x, y : xk yk является гильбертовым пространством. ЛЕКЦИЯ 15
k 1

148.

Последовательность элементов {ek } в E ортонормирована, если ее
элементы попарно ортогональны: i j ei , e j 0 , и нормированы:
i ei 1. То есть i, j xi , x j i , j .
1 kl xi
Пр.1 Последовательность функций e ортонормирована в
2l
k
пространстве комплекснозначных функций. ЛЕКЦИЯ 9 13.03.20
1
1
1
1
2
Пр.2 Последовательность
,
cos x,
sin x,
cos
x,...
2l
l
l
l
l
l
l
ортонормирована в пространстве вещественных функций.
Пусть {ek }- ортонормированная последовательность в евклидовом
пространстве E . Числа x, ek , k 1, 2,... - коэффициенты Фурье эле
n
мента x по системе {ek }. Sn ( x) : x, ek ek - n -ая частичная сум
k 1
ма. x, ek ek - ряд Фурье элемента x E .ЛЕКЦИЯ 10 7.04.16 ЛЕКЦИЯ 2 14.2.19
k 1

149.

Пр. (Фурье, 1805) Коэффициенты Фурье f ( x) на отрезке [a, a 2l ]
по системе 1 , 1 cos x, 1 sin x,... имеют вид , ЛЕКЦИЯ 8 17.03.21
2l
1
1
k
f,
cos
t
l
l
l
a 2l
a
l
l
k
f (t ) cos
t dt ,
l
a0
k
k
ak cos x bk sin
x
2 k 1
l
l
l
l
1
1
k
f,
sin
t
l
l
l
a 2l
f (t )sin
a
k
t dt .
l
- тригонометрический ряд Фурье
функции f ( x) по ортогональной системе 1, cos x, sin x,... с ко
a 2l
эффициентами a0 , a1, b1,... , где ak 1 f (t )cos k t dt ,
l a
l
k
k
xi
l
ck e
l
a 2l
k
1
bk f (t )sin
t dt
l a
l
- ряд Фурье в комплексной форме функции f ( x) по
ортогональной системе
где ck 1
2l
l
a 2l
a
k
ti
l
f (t )e
dt
k
xi
l
{e
}|
k
. ЛЕКЦИЯ 8.04.16
с коэффициентами {c0 , c1,...},
УА-11 ЛЕКЦИЯ 6 4.03.22

150.

Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830)
- французский математик и физик.
Родился в семье портного. В 9 лет потерял обоих родителей. Окончил военную
школу при монастыре. В 1795-1798годах
преподавал в Политехнической школе.
Ф. получает от Наполеона титул барона,
награжден орденом Почётного легиона.
Свои методы (ряды и интегралы Фурье) Ф. использовал
в теории распространения тепла. Доказал, что всякую
произвольно начерченную линию, составленную из отрез
ков дуг разных кривых, можно представить единым аналитическим выражением - рядом Фурье
a0
k
k
ak cos x bk sin
x
2 k 0
l
l
Имя Ф. внесено в список величайших учёных Франции,
помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.

151.

k
k
x bk sin
x - k -ая гармоника тригонометрического ряда.
l
l
cos k : ak Ak
k
2
2
x k
Для Ak : ak bk и угла k ( , ] :
Ak cos
l
sin k : bk Ak
k
k
k
k
Ak cos k cos
x Ak sin k sin
x ak cos
x bk sin
x - k -ая гармоника.
l
l
l
l
ak cos
k
k
xi
l
ck e
Ak ck - амплитуда; k arg ck - фаза.
a0
a0
k
k
k
Пусть ak cos x bk sin x = Ak cos x k есть три2 k 1
l
l
2 k 1
l
гонометрический ряд Фурье T : 2l - периодической функции f ( x) .
{ak , bk }, { Ak , k } или {ck ,arg ck } - спектр периодической функции f ( x) ;
Ak - амплитуда k -ой гармоники; k - фаза k -ой гармоники;
k k
1 1
:
основная
частота;
- k -ая гармоническая
0 :
k
T 2l
T 2l
частота; 0 : 2 - основная круговая частота; k : 2 k k - k T
l
T
l
ая круговая частота функции f ( x) .ЛЕКЦИЯ 11 12.04.17

152.

Пр. График и спектр ряда Фурье
функции
bk
2
1 sin kx dx
0
N
2
1 ( 1) k .
k
2
1 ( 1)k sin kx .
k 1 k
S N ( x)
2
1 ( 1)k ikt
k
S ( x)
1 ( 1) sin kx
e
k 1 k
k , k 0 ki
2
2
cos (2l 1) x
cos (2l 1) x
2 l 0 ( 2l 1)
2
l 0 (2l 1)

153.

154.

155.

ТЕОРЕМА 8.1 (свойства сходимости ряда Фурье по норме)
1) Пусть {ek } ортонормированная последовательность в веществен
ном евклидовом пространстве E . Для каждого элемента x E
существует единственный "многочлен" a1e1 ... anen степени n ,
отклонение которого от элемента x
min
a1 ,...,an R
будет наименьшим.
n
n
k 1
k 1
x ak ek x x, ek ek
2) В гильбертовом пространстве E x E ряд x, ek ek сходится
k 1
по норме E ; x x, ek имеет место равенство Парсеваля
k 1
x
2
x, ek
2
.
k 1
3) Для каждой функции f ( x) L2 (a, a 2l ) ее тригонометрический
a
k
k сходится к f ( x) в L (a, a 2l ) : среднеква0
ряд
ak cos x bk sin
x
2
2
k 1
l
l
a 2l
дратичное отклонение lim a
n
2
f ( x) S n ( x) 0 .
f ( x) Sn ( x) 2 dx nlim

156.

ЗАМЕЧАНИЕ (электротехнический смысл) Для функции
f ( x) L2 (a, a 2l ) равенство Парсеваля принимает вид
a 2l
2
1 2
1
1
2
a0
2
2
(
a
b
).
=
f 2
f
(
t
)
dt
k
k
2l
2l a
2 k 1 2
Для периодического с периодом T на [0, ) аналогового
сигнала f (t ) (тока, напряжения) величина A 1
T
a 2l
f 2 (t )dt
a
1
f 2 T
квадратическое (действующее) значение сигнала.
k
Для k -ой гармоники Ak cos x k квадрат действующего
l
2
1
ak2 bk2 Ak2 a0
значения равен
, A02 A2 A02 Ak2 - равенство
2
2 2
k 1 2
Парсеваля.
ВЫВОД Квадрат действующего значения сигнала равен сумме
квадратов действующих значений составляющих его гармоник.

157.

Суммируемая на некоторой окрестности точки x0 функция f ( x)
удовлетворяет условию Дини в точке x0 , если 0 существует
f ( x0 t ) f ( x0 )
интеграл в смысле Лебега
dt
t
(Дини, 1880).
ЗАМЕЧАНИЕ Дифференцируемая в точке x0 функция
удовлетворяет условию Дини, а непрерывная в этой точке
функция, вообще говоря, нет.
ТЕОРЕМА 8.2 (свойства поточечной сходимости ряда Фурье)
1) (Колмогоров, 1926) Существует суммируемая функция, ряд
Фурье которой расходится всюду на [a, a 2l ] .
2) Если f ( x) суммируема на отрезке [a, a 2l ] и удовлетворяет
условию Дини в точке x0 (a, a 2l ) , то ее тригонометрический ряд
Фурье сходится в этой точке к f ( x0 ) . ЛЕКЦИЯ 7 13.03.24
3) (Лузин-Карлесон, 1966) Тригонометрический ряд функции
f ( x) L2 (a, a 2l ) сходится к f ( x) почти всюду на [a, a 2l ] .

158.

Улисс Ди́ни (1845-1918) - итальянский матема
тик. Основные труды в области теории рядов,
теории функций вещественных переменных (в
частности, гармонического анализа) и
дифференциальной геометрии.
Работал в Пизанском университете, в 18801890 годах был его ректором. Его имя носит
факультет математики Флорентийского универ
ситета и факультет прикладной математики
Пизанского университета. С 1908 года занимал пост директора
в Высшей нормальной школе в Пизе. Занимался политикой,
был избран сенатором в Парламент Италии.
К наиболее известным математическим результатам Дини
относятся теорема Дини о равномерной сходимости последо
вательностей и рядов и условие Дини в теории рядов Фурье.
С его именем также связана задача о локальной классифика
ции геодезически эквивалентных метрик поверхности. В Ита
лии его именем часто называют теорему о неявной функции.

159.

4) (Дирихле, 1829-37) Пусть 2l -периодическая на всей оси функция f ( x)
имеет разрывы только первого рода и имеет правые и левые производные в каждой точке. Тогда ее тригонометрический ряд Фуре в
каждой точке x сходится к числу f ( x 0) f ( x 0) .
2
5) В условиях предыдущего пункта f ( x) представима в том же смысле
k
в виде ряда Фурье в комплексной форме ck e l xi , причем c k ck , и
k
коэффициенты ak , bk , ck связаны равенством ck ak bk i .
2
6) Если функция f ( x) четная (нечетная) на [ l , l ] и удовлетворяет условиям пункта 3), то k 1 bk 0 ( k 0 ak 0) , то есть она разлагается
в ряд по косинусам (по синусам) на оси. При этом
2
k
2
k
ak f (t ) cos( t )dt , bk f (t )sin( t )dt .
l0
l
l0
l
l
l
ЛЕКЦИЯ 7 9.02.2018
ЛЕКЦИЯ 11.04.201622.04.13ЛЕКЦИЯ 16
Ключевые понятия подкластера «Ортогональные системы
функций и ряды Фурье»: 1) Евклидово и гильбертово пространство,
2) ряд Фурье, 3) коэффициенты Фурье, 4) тригонометрический ряд
Фурье, 5) условие Дини.

160.

5)

161.

Пр. Разложить в тригонометрический ряд Фурье по синусам
кратных дуг функцию f ( x) x 2 , x [1,3]. ЛЕКЦИЯ 12 14.04.17 ЛЕКЦИЯ 3 21.02.19

162.

Никола́й Никола́евич Лу́зин (1883,Иркутск -1950,Москва)советский математик, академик АН СССР (1929). Отец Нико
лая Николаевича (как говорил сам Лузин) был наполовину
русский, наполовину бурят, мать русская. Л. - создатель мос
ковской математической школы. Среди его учеников – мате
матики М.А. Айзерман, Л.В. Келдыш, А.Н. Колмогоров
ров , А.С. Кронрод, М.А.Лаврентьев, Л.А. Люстерник
А.А. Ляпунов, и др.
В 1910 г. Л. работал в Гёттингене под руководством Э.
Ландау. Посетил Париж, в 1912 году участвовал в рабо
те семинара Ж. Адамара близко познакомился с Э. Боре
лем, Анри Лебегом и другими выдающимися учёными.
Вернулся в Москву 1914 г. С 1917 г. - профессор Московского универ
ситета. Публичная официальная политическая травля Лузина была начата
статьями в газете «Правда»: 2.07.1936 г. «Ответ академику Н. Лузину» и
3.07.1936 г «О врагах в советской маске».
Последнее место работы Л. с 1939 г.- это Институт автоматики и
телемеханики АН СССР. Здесь Н. Н. Лузин получает новые результаты
по матричной теории дифференциальных уравнений, непосредственно
связанные с теорией автоматического управления.

163.

Андре́й Никола́евич Колмого́ров (1903 - 1987) русский
математик, один из крупнейших математиков ХХ века
Профессор Московского государственного универси
тета (с 1931), доктор физико-математических наук,
академик Академии наук СССР (1939). Президент
Московского мат. общества (1964-1966 и 1974-1985).
Иностранный член Национальной академии наук
США (1967), Лондонского королевского общества
(1964), Французской академии наук (1968) и других.
Основатель большой научной школы: В.И.Арнольд,
И.М.Гельфанд, В.М.Алексеев, Г.И.Баренблатт, А.А.Боровков, А.Г.Витуш
кин, Б.В.Гнеденко, Р. Л. Добрушин, Е. Б. Дынкин, А.И.Мальцев,
М.Д.Миллионщиков, В.С.Михалевич, А.С.Монин, С.М.Никольский,
А.М.Обухов, Ю.В.Прохоров, Я.Г.Синай, В.М.Тихомиров, Ю. Н. Тюрин,
А. Н. Ширяев, В. А. Успенский, C. В.Фомин, А. М.Яглом.
« Каждый человек существует как бы в нескольких сферах:
1) он сам, 2) ближайшее окружение: семья, друзья, ученики,
3) работа, 4) Родина, 5) все человечество.
Долг каждого - наполнение своей жизни глубоким содержанием плодотворного труда, посвященного служению всем остальным сферам.»

164.

Один из основополож
ников современной те
ории вероятностей, им
получены фундамен
тальные результаты в
топологии, геометрии,
математической логии
ке, классической меха
нике, теории турбулен
тности, теории сложности алгоритмов, теории информации,
теории функций, теории тригонометрических рядов, теории
меры, теории приближения функций, теории множеств, тео
рии дифференциальных уравнений, теории динамических
систем, функциональном анализе и в ряде других областей
математики и её приложений. Известны его работы в стати
стической физике. К. - автор новаторских работ по филосо
фии, истории, методологии и преподаванию математики.

165.

Виктор Фёдорович Шаталов (1.05.1927)
педагог- новатор.
Народный учитель СССР (1990).
Почётный доктор АПН Украины.
Создатель нового направления в педагогике
« педагогика сотрудничества ».
Разработал систему обучения с использованием опорных сигналов – взаимосвязанных
1) ключевых слов, 2) условных знаков,
3) рисунков, 4) формул с кратким выводом.

166.

Оригинальная система интенсивного обучения Шаталова, разработанная
для средних и старших классов общеобразовательной школы включает
около 200 педагогических открытий, самые важные из которых:
1) Авторские учебные пособия, представляющие программный материал
главным образом в вербально-графических формах, упрощающих процесс
изложения, восприятия и запоминания.
2) Принцип открытых перспектив, ориентированный на развитие творческого мышл-я
3) Принцип систематической обратной связи, на базе разнообразных нестандартных
форм объективного учёта и контроля знаний каждого учащегося на каждом уроке,
позволяющий отказаться от ученических дневников и классных журналов.
4) Вместо домашних заданий учащиеся получают обширные «предложения», объём и
сложность которых варьируются на этапах обучения с учётом индивидуальных
особенностей, а к окончанию курса приближаются к конкурсным и олимпиадным.
5) Практикуются оригинальные формы взаимопроверки учащихся, в том числе в интере
сах увеличения времени для решения задач высокой сложности и развития продуктив
ного мышления.
6) Традиционные экзамены заменены работами по «листам группового контроля» и так
называемыми релейными, выявляющими результат самостоятельной деятельности над
всеми видами заданий.
7) Устранению дидактических противоречий способствует принцип бесконфликтности
учебной ситуации, то есть создание при участии родителей школьников соответствую
щих условий для занятий. 8) Широко используются игровые формы учебных занятий.
Многие находки Шаталова используются не только школьными учителями, но и
педагогами вузов и при обучении некоторым сложным профессиям.

167.

Эпиграф к книге
Т. Брекер и Л. Ландер "Дифференцируемые ростки и катастрофы".
Перевод под редакцией В.И. Арнольда. Москва, Мир, 1977.
Жил некогда Чжу, который учился убивать драконов. И
отдал все, что имел, чтобы овладеть этим искусством.
Через три года он достиг мастерства, но, увы, ему так и не
представился случай проявить свое умение.
(Чжуан Цзы)
И тогда он начал учить других искусству убивать
драконов.
(Рене Том)
Ньютон (1643-1727), Эйлер (1707-1783), Гаусс
(1777-1855), Пуанкаре (1854-1912), Колмогоров
(1903–1987) – всего пять жизней отделяют нас от
истоков нашей науки.
(В.И. Арнольд)

168.

Динамическая система также может представлена как система, обладающая
состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику
некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в
другое. Фазовое пространство системы — совокупность всех допустимых состояний
динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется 1)
своим начальным состоянием и 2) законом, по которому система переходит из
начального состояния в любое наперед заданное.
Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) часто
описывается автономной системой дифференциальных уравнений, заданной в
некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и
единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия
динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а
замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям.
Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых,
определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит 1) разбиение фазового
пространства на траектории и 2) исследование предельного поведения этих траекторий:
поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих
(аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий).
Важнейшие понятия теории динамических систем — 1) устойчивость (способность
системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном
многообразии) и 2) грубость или структурная устойчивость (сохранение свойств при
малых изменениях структуры динамической системы; «грубая система — это такая,
качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом
изменении параметров».