Лекция_7_Производные_и_дифференциалы_высших_порядков_Производные

1. Производная функции

Производные высших порядков
Дифференциалы высших порядков
Производные от функций, заданных
параметрически
Производные от неявно заданной функции
Механический смысл первой и второй
производной

2. Производные высших порядков

Производная y f (x ) функции y f (x ) есть также функция
от x и называется производной первого порядка.
Если функция f (x )
дифференцируема, то ее производная
называется производной второго порядка и обозначается:
y ;
f ( x );
d 2y
dx 2
Итак: y ( y )
Производная от производной второго порядка, если она существует
называется производной третьего порядка и обозначается:
y ;
f ( x );
d 3y
dx 3
Итак:
y ( y )
Производной n – ого порядка (или n – ой производной)
называется производная от производной n -1 - ого порядка.
y ( n ) ( y ( n 1) )

3. Производные высших порядков

Начиная с производной 4 порядка, производные обозначаются
римскими цифрами или арабскими цифрами в скобках:
или
y (5)
yv
- производная пятого порядка.
Вычислить производную n – ого порядка от функции: y ln( x 1)
x
1
y ln( x 1)
1
( x 1) 1
x 1
x 1
2
3
1
2
y
x
1
1
2
x
1
y x 1 1 x 1 ;
y 1 2 x 1 1 2 3 x 1
y 1 2 3 x 1 1 2 3 4 x 1
4
5
3
4
4
5
y n 1
n 1
n 1 ! x 1 n

4. Производные высших порядков

Свойства производных высших порядков:

5. Производные высших порядков

Вычислить производную 4 – ого порядка от функции:
y x 2 x ln(1 2 x)
Положим u x x 2 x, v x ln 1 2 x
и применим формулу Лейбница при n = 4.
Оформим в виде таблицы результаты вычисления u k x ,v k x , Cnk
k
0
1
2
3
4
Cnk
1
4
6
4
1
u k x
x2 x
2x 1
2
0
0
v k x
ln 1 2 x
2 / 1 2 x
4 / 1 2 x
2
16 / 1 2 x
3
96 / 1 2 x
4
y IV C40u x v 4 x C41u x v x C42u x v x C43u x v x C44u 4 x v x

6. Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом n-го порядка (или n-м дифференциалом) функции
y=f(x) называется дифференциал от дифференциала рассматриваемой
функции порядка (n - 1)
d n y d (d n 1 y )
Найдем выражение для d 2 y. По определению d 2 y d dy d f x dx .
Так как dx не зависит от x, то есть по отношению к x является постоянной
величиной, то множитель dx можно вынести за знак дифференциала, т.е.
2
d 2 y dx df x dx f x dx f x dx
Итак, d 2 y f x dx2 , где dx2 dx 2
В общем случае d n y f n x dxn , где dxn dx
n
Отсюда следует, что
d2y
f x 2 ,
dx
n
d
y
f n x n
dx

7.

Дифференциалы высших порядков
Замечание
Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают
свойством инвариантности формы в отличие от дифференциала
первого порядка.

8. Дифференциалы высших порядков

Найти дифференциал второго порядка для функции: y x e
e x 2xe
y x e
x2
y x 2 xe
2e
x2
x2
x2
2
x2
x2
x2
x2
2 x e 2 x e
2e 4x e 2e 2 x 1
2 x 2 x e
x2
x2
Тогда
d y 2e
2
x2
2 x2
2x 1 dx
2
2
x2
2

9. Производные от функций, заданных параметрически

10. Производные от функций, заданных параметрически

11. Производные от функций, заданных параметрически

12. Производные от функций, заданных параметрически

13. Производные от функций, заданных параметрически

Пусть функция y = f(x) задана параметрически уравнениями:
x x (t )
y y (t )
Производная первого порядка от этой функции
находится по формуле:
yt
y x
xt
Найдем производную второго порядка:
x ) t
(
y
y xx ( y x ) x
xt
Аналогично получаем:
( y xx ) t
( y xx ) x
y xxx
xt
y
( 4)
x
) t
( y xxx
) x
( y xxx
xt
и т. д.

14. Производные от функций, заданных параметрически

Вычислить производную 3 – ого порядка от функции:
x t
3
y
1
t
2
3t
(1 t )
1,5t
y x
2
(t )
2t
3
2
1,5
( 1,5t )
( y x ) t
1
0,75t
y xx
2
2t
(t )
xt
0,75t
( y xx ) t ( 0,75t )
y xxx
2
(t )
2t
xt
1
2
3
3
8t

15. Производные от неявно заданной функции

Если функция задана уравнением y = f(х) , разрешенным
относительно y, то говорят, что функция задана в явном виде.
Под неявным заданием функции понимают задание функции в
виде уравнения не разрешенного относительно y:
F ( x; y ) 0
Для нахождения производной неявно заданной функции
необходимо продифференцировать уравнение по х, рассматривая
при этом y как функцию от х, и полученное выражение разрешить
относительно производной.
( x ) ( y ) 3( xy ) 0
3 x 3y y 3( x y xy ) 0
x 3 y 3 3 xy 0
2
3
3
2
x 2 y 2 y y xy 0
y x2
y 2
y x

16. Производные от неявно заданной функции

17. Производные от неявно заданной функции

18. Механический смысл первой и второй производной

19. Механический смысл первой и второй производной

Ранее