sistemy_lineynyh_uravneniy

1. Системы линейных уравнений.

2.

Основные понятия.
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений
и n неизвестных, называется система вида:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
...........................................
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
где
aij , bi R
aij коэффициенты при неизвестных,
bi свободные коэффициенты.

3. Х- вектор- столбец из неизвестных хi, В- вектор-столбец из свободных членов bi.

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме
A X B
Здесь А- матрица коэффициента системы, называемая основой
матрицей:
a11 a12
a
a
21
22
À
... ...
am1 am 2
... a1n
b1
x1
... an
b
x
2
2
, B=
, X
...
...
... ...
... amn
bm
xn
Х- вектор- столбец из неизвестных хi,
В- вектор-столбец из свободных членов bi.

4.

Расширенной матрицей системы называется матрица системы,
дополненная столбцом свободных членов
Решением системы называется n значений неизвестных х1=с1, х2=с2,…,
хn=cn,
при подстановки которых все уравнения системы обращаются в верные
равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицыстолбца

5.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы
одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет
единственное решение, и неопределенной, если она имеет более
одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется
частным решением системы. Совокупность всех частных решений
называется общим решением.
Решить систему- это значить выяснить, совместна она или несовместна.
Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они
имеют одно и то же общее решение.
СЛУ называется однородной, если все свободные члены равны нулю.
Однородная система всегда совместна, так как х1=х2=…=хn=0
является решением системы. Это решение называется нулевым или
тривиальным.

6.

Решение систем линейных уравнений. Теорема
Кронекера- Капелли.
Пусть дана произвольная система m линейных уравнений с n
неизвестными
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1
22 2
2n n
2
...........................................
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn
Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой ситемы дает
теорема Кронекера- Капелли.

7.

Теорема 1: Система линейных алгебраических уравнений совместна
тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен
рангу основной матрицы.
Теорема 2: Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то
система имеет единственное решение.
Теорема 3: Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных,
то система имеет бесчисленное множество решений.

8.

Решение невырожденных линейных систем. Формулы
Крамера.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестных
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1
22 2
2n n
2
...........................................
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn
Или в матричной форме АХ=В.
Основная матрица А такой системы квадратная.
Определитель этой матрицы называется определителем системы. Если
определитель системы отличен от нуля, то система называется
невырожденной.
Найдем решение данной системы уравнений в случае 0
Отыскание решения системы по формуле Х=А-1В называют матричным
способом решения системы.

9.

a11
an1
a11
a1n
a21
, ki
...
ann
an1
ki
i 1, n
, где k
xki
...
...
...
...
b1
b2
...
bn
... a1n
... a2 n
... ...
... ann
-Формула Крамера.
Итак, невырожденная система n линейных уравнений c n неизвестными
имеет единственное решение, которое может быть найдено
матричным способом либо по формулам Крамера.

10.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений
линейных алгебраических систем является метод Гаусса,
состоящий в последовательном исключении неизвестных. Пусть
данна система уравнений
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2
2n n
...........................................
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
Данный метод применим к СЛУ любой размерности.

11.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов:
На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в
частности, треугольному) виду.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение
неизвестных из этой ступенчатой системы.

12.

Опишем метод Гаусса подробнее:
Будем считать, что элемент а11 не равно нулю(если а11 равен нулю, то
первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при х1
отличен от нуля.)
Преобразуем систему, для этого умножаем обе части
первого уравнения на a21 и сложим почленно со
a11
вторым уравнением системы. Затем умножим обе части
a31
первого уравнения на и тд.
a11
Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему.

13.

Продолжая этот процесс получим эквивалентную систему:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 ,
a22 x2 a23 x3 ... a2 n xn b2 ,
...........................................
a x ... a x b
mn n
m
kk k
Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся
нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если
же появится уравнение вида 0= bi, а bi не равно 0,то это
свидетельствует о несовместности системы.
Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой
системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет
бесчисленное множество решений.

14.

Замечания:
1.
Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. k=n, то
исходная система имеет единственное решение. Из последнего
уравнения находим хn , из предпоследнего уравнения xn-1 , далее
поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (
xn-2 ,…, x1).
2.
На практике удобнее работать с расширенной системой ее
матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее
строками.

15.

Системы линейных однородных уравнений.
Однородная система всегда совместна, она имеет нулевое
(тривиальное) решение x1=x2=…=xn=0.
Теорема 1: Для того, чтобы система однородных уравнений имела
ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее
основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r<n.
Необходимость: так как ранг не может превосходить размера матрицы,
то, очевидно, r меньше или равен n. Пусть r=n, тогда один из
миноров отличен от нуля. Поэтому соответствующая система
линейных уравнений имеет единственное решение. Значит, других,
кроме отрицательных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное
решение, то r<n.
Достаточность: пусть r<n, тогда однородная система, будучи
совместной, является неопределенной. Значит, она имеет
бесчисленное множество решений, т.е. имеет и ненулевые решения.

16.

Теорема 2: Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений
с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и
достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.
Если система имеет ненулевые решения, то определитель равен нулю.
Ибо определитель не равен нулю система имеет только единственное,
нулевое решение. Если же определитель равен нулю, то ранг
основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r<n. И,
значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений.