Тригонометическая окружность

1.

2
3
3
4
5
6
p
p
p
2
p
900
3
600
1200
00 0;
3600
1800
7
6
p
6
300
1500
p
4
450
1350
p
p
3300
2100
p
11
6
3150
5
4
p
2250
3000
2400
4
3
2p
p
Автор: учитель математики шк.№ 364
Хробостова И.В.
3
2
2700
p
5
3
p
7
4
p
p

2.

Ты уже знаком с градусной мерой измерения углов. В математике и физике часто
пользуются так же радианной мерой. Для того, чтобы познакомиться с таким
способом измерения углов и дуг рассмотрим окружность радиуса R.
Построим угол МОР, такой что дуга МР, на
которую он опирается, равна радиусу R
окружности.
МР = R
М
Величина угла МОР равна 1 радиану.
0
0
180
360
=
1рад
=
p
p
2
R
1 радиан
О
R
Р
запиши
p = 3,1459…
1рад. 57 017’
МР 57017’ =1рад.
МОР 57017’ = 1рад.

3.

Окружность, радиус которой равен 1, называется единичной.
p = 3,1459…
Y
Построим две взаимно перпендикулярных оси:
ось абсцисс и ось ординат.
Ты помнишь, что длина окружности
выражается формулой :
p
М
l = 2 p R,
p
2
А
N
где R – радиус окружности.
3 p
Длину единичной окружности удобно
измерять в радианах, т.к.
В 4
p
С 6
Р 0
p
2p
если R=1, то:
X
3
2
p
(рад.)
Тогда длина дуги половины окружности
равна:
p (рад.)
p
К
l = 2p
(рад.) - четверть длины окружности,
2
3p (рад.) - три четверти длины окружности.
2
Наименование радиан обычно опускают.
Точки М,Р,К,N – назовем узловыми.
Отметим так же точки: А,В,С.

4.

Рассмотри рисунки 1 и 2 единичной окружности.
Из рисунков видно, что величину угла поворота шарика вокруг точки О, а так же
величину дуги единичной окружности, можно задавать двумя способами:
II четверть
900
I четверть
p
II четверть
600
3
450
О
p
00
2700
IV четверть
О
0
2p
3p
2
III четверть
Рис.1
p
6
3600
III четверть
p
4
300
1800
I четверть
p
2
IV четверть
Рис.2
Теперь можно составить таблицу измерения углов в градусной и радианной мерах.
Выучи!
Градусная мера
00
Радианная мера 0
300 450
600
900 1800
p
p
p
p
6
4
3
2
p
2700
3p
2
3600
2p

5.

Рассмотри, как можно установить соответствие между множеством
действительных чисел на числовой прямой и точками единичной окружности.
p = 3,1459…
Y
π
2
2
Координатный луч с началом в точке 0
«намотаем», как нить, на окружность
сначала в положительном направлении –
против хода часовой стрелки, потом в
отрицательном направлении – по ходу
часовой стрелки.
Щелкни для этого
точку.
1
7
π
2π
3
p
0
6
4
3p
2
2
1
3p
2
p
2
3
4
2π
5
6
Х
7
5
Понятно, что «наматывание»
можно продолжать бесконечно.

6.

p = 3,1459…
Y
«Наматываем» в отрицательном направлении.
Покажем только узловые точки.
π (- 3p )
2
2
1
Щелкни для этого
точку.
2
7
3
0
(-p) p
(- π2 )
2 π (-2π)
6
4
(-p)
3p
(- 2 )
(-2π)
Х
5
3p
π
(- 2 )
2
Рассмотри, как расположены числа на единичной окружности.

7.

•При рассмотрении единичной окружности удобно
использовать радианную меру, т.к. при этом числа,
выражающие длину дуги и длину окружности кратные числа.
•Каждой точке окружности соответствует не одно, а
бесконечное множество действительных чисел.
•Каждому числу на окружности соответствует одна
(единственная) точка.
Например, точке М,
p + 2p = 5p
кроме числа p ,
2
2
( - 112p ) ( 92p )
( - 72p ) ( 52p )
(- 32p ) p2
900 М
(-p) p
p
3
p
600
4
0
45
300
2
соответствуют числа :
p
6
00 0
1800
Р 2 p (-2π)
N
p + 4p = 9p
2
2
p -2p =- 3p
2
2
p - 4p = - 7p
2
2
p - 6p = -11p
2
2700 К
(- π2 ) 32 p
Задание выполни письменно!
-Назови, кроме отмеченных, еще по одному
положительному и отрицательному числу,
которые соответствуют выделенным точкам
окружности.
2

8.

Будем рассматривать все точки единичной окружности как точки, полученные
поворотом точки Р0 вокруг начала координат на некоторый угол.
a0 = 60
0
(Р0
Щелкни по точке Рt
Рt).
Рt
Проследи, как будет меняться угол поворота
для точки Рt :
600 (4200) (-3000)
(7800) (-6600)
(11400) (-10200)
a
1 поворот: 600 -+360
36000==-420
30000
.36000=
2 поворот: 600 -+22.360
66000
=-780
.36000=
=-1020
114000
3 поворот: 600 -+33.360
* * * * * * * * * * * * * * *
Р0
.36000
k поворот: 600 -+kk.360
Вращаться можно как в положительном,
так и в отрицательном направлениях.
Для точки Рt все углы поворота
можно записать так:
запиши
a = a + 360 k ,где k = 1, 2 , 3 ...
или в радианной мере:
a = a + 2p k ,где k = 1, 2 , 3 ...
0
0
0

9.

Найди ошибку в записи чисел, соответствующих
выделенным точкам единичной окружности.
a = a + 2p k ,где k = 1, 2 , 3 ...
Задание выполни письменно!
0
p
p 2 + 2p k, k Ζ
2p
p
2
0
3
90
3
3
0
0
p
120
60
p
4
4
5p + 2p k, k Ζ
450
1350
p p +2p , k Ζ
5p
6
6
1500
π+ 2 πk, k Ζ p
1800
7
6
3p
p
- 4 +2p k, k Ζ 54 p
6
00
0 2 πk , k Ζ Щелкни по точке.
2p
3600
2100
3300
3150
2250
4
3
p
2400
2700
3000
3
2
p
5
3
p
6
300
11
6
7
4
p
p
Если запись неверна,
сделай верную
запись.
p + p k, k Ζ
2
4
3p
- 2 + 2p k, k Ζ

10.

3
4
5
6
2
3
p
p
p
p 150
p
2
900
1200
3
600
0
1800
0
p
4
p
300
6
00
0
2p
3600
p 210
5
4
p
450
1350
p
7
6
-Найди на единичной
окружности точки,
соответствующие числам:
3300
3150
2250
4
3
p
2400
2700
3000
3
2
p
5
3
p
11
6
7
4
p
p
Щелкни по точке .
π + 2π
3
3π +6π
2
4π - 5π
4
π - 2π
6
_ 8π
3
π
-3
2
8π
3
7π
3