Неопределенный интеграл

1.

Неопределенный
интеграл

2.

Функция F(x) называется первообразной
функции f(x) на промежутке Х, если в
каждой точке х этого промежутка
F ( x) f ( x)

3.

4
x
F ( x)
4
Например, функция
является первообразной для функции f ( x) x
поскольку
4
x
x3
4
Для заданной функции f(x) ее первообразная
определена не однозначно.
Например, функции
4
x
1;
4
4
4
x
x
2 ; ...
const
4
4
тоже являются
функции х3.
первообразными
для
3

4.

В общем случае, если F(x) – первообразная
для функции f(x), то функция вида
F(x)+С тоже является первообразной
для f(x), поскольку
( F ( x) C ) F ( x) f ( x)

5.

Из геометрического смысла производной
вытекает, что
F (x)
есть угловой коэффициент касательной к
кривой y=F(x) в точке х.
Найти первообразную для функции f(x),
значит найти такую кривую y=F(x),
что угловой коэффициент
касательной к ней в произвольной
точке х равен значению f(x).

6.

Если F1(x) и F2(x) - первообразные
функции f(x) на некотором
промежутке Х, то найдется
такое число С, что будет
справедливо равенство:
F2 ( x) F1 ( x) C

7.

Найдем производную разности первообразных:
F2 ( x) F1 ( x) F2 ( x) F1 ( x)
f ( x) f ( x) 0
Тогда по следствию из теоремы Лагранжа
найдется число С, такое что
F2 ( x) F1 ( x) C
F2 ( x) F1 ( x) C

8.

Из этой теоремы следует, что если F(x) –
первообразная для функции f(x), то
выражение
F ( x) C
задает все возможные первообразные для
функции f(x).

9.

Совокупность всех первообразных для
функции f(x) на промежутке Х
называется неопределенным
интегралом от функции f(x).
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
C
Функция f(x) называется
подынтегральной функцией.
Выражение f(x)dx называется
подынтегральным выражением.

10.

4
x
x dx 4 C
3
Интегрирование
является
операцией,
обратной дифференцированию.
Для проверки правильности результата
интегрирования надо продифференцировать
результат и получить подынтегральную
функцию.

11.

1
Производная от неопределенного интеграла
равна подынтегральной функции.
f ( x)dx f ( x)

12.

2
Дифференциал от неопределенного интеграла
равен подынтегральному выражению.
d f ( x)dx f ( x)dx

13.

3
Неопределенный интеграл от дифференциала
некоторой функции равен этой функции с
точностью до постоянного слагаемого.
dF
(
x
)
F
(
x
)
C

14.

4
Постоянный множитель можно выносить за
знак неопределенного интеграла.
k f ( x)dx k f ( x)dx

15.

5
Интеграл от алгебраической суммы
(разности) двух функций равен сумме
(разности) интегралов от этих функций:
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx