5.3 таблица

1.

1. Производная
логарифмической
функции
Сначала
рассмотрим
частный
логарифмической функции:
y ln x
случай

2.

1
(ln x)
x
Для сложной функции:
1
(ln u ) u
u

3.

ПРИМЕР.
y 3ln x
2
1
6
y (3 ln x ) 3 2 2 x
x
x
2

4.

Найдем производную для общего случая
логарифмической функции:
y log a x

5.

1
(log a x)
x ln a
Для сложной функции:
1
(log a u )
u
u ln a

6.

ПРИМЕР.
y log5 ( x 3x)
2
1
1
y (log 5 ( x 3x)) 2
(2 x 3)
x 3x ln 5
2

7.

2. Производная
показательной
функции
Сначала
рассмотрим
показательной функции:
y e
частный
x
случай

8.

(e ) e
x
x
Для сложной функции:
(e ) e u
u
u

9.

ПРИМЕР.
y x e
5x
y ( x e ) e x 5 e e (1 5x)
5x
5x
5x
5x

10.

Найдем производную для общего случая
показательной функции:
y a
x

11.

(a ) a ln a
x
x
Для сложной функции:
(a ) a ln a u
u
u

12.

ПРИМЕР.
y (7
3 x3 x
7
y 7
3 x3 x
) 7
ln 7 3x x
3 x3 x
3 x3 x
3
ln 7 (9 x 1)
2

13.

3. Производная
степенной
функции
y x
n

14.

( x ) n x
n
n 1
Для сложной функции:
(u ) n u u
n
n 1

15.

(sin x) cos x
Для сложной функции:
(sin u ) cos u u

16.

(cos x) sin x
Для сложной функции:
(cos u ) sin u u

17.

1
(tgx)
cos 2 x
Для сложной функции:
1
(tgu)
u
cos2 u

18.

1
(ctgx) 2
sin x
Для сложной функции:
1
(ctgu) 2 u
sin u

19.

ПРИМЕР.
1
y tg 2
x 3x
1
2x 3
1
y tg 2
2
2
x 3x cos2 1 ( x 3 x)
2
x
3x

20.

Найдите производные функций:
1
а) f ( x) x
5
х
г) f ( x) x
2
б ) f ( x ) x (2 x 7)
5
7
д) f ( x ) 3 x 3
2
x
x
в) f ( x) 3
x 1
2

21.

22.

23.

24.

25.

f ( kx b ) kf kx b
y cos 4 x
y 4 ( sin 4 x)
/

26.

y 5 ln x3
y log 2 ( x 4 2 x)
y x 3 e
3 x3 x
5 x
y 3 x ln x
y 5
y log 3 (4 x 2 x )
6
5
1
y tg 4
2
x 3x
3
y cos x
2
y log 7 ( x 5)
y 10 ln x 1
2
y log 6 (5 x 3 8 x 2 )
1
y ctg 2
2x 3
y cos 4 x 5 x
3
3
y sin 4 x 5 x
y x 1 cos 4 x
y x 5x sin 4 x
2
2
3
2
3
3