Производные элементарных функций

1.

2. Новый материал

К элементарным функциям относятся функции:
f(x) xp
степенная
показательная
f ( x ) ех
f ( x ) ах
логарифмическая
f ( x ) ln x
f ( x ) log a x
тригонометрическая
f ( x ) sin x ; f ( x ) cos x ;
f ( x ) tgx ; f ( x ) ctgx
В курсе высшей математики доказывается, что
эти функции дифференцируемы в каждой точке,
где они определены.

3.

1. Производная
логарифмической
функции
Сначала
рассмотрим
частный
логарифмической функции:
y ln x
случай

4.

1
(ln x)
x
Для сложной функции:
1
(ln u ) u
u

5.

ПРИМЕР.
y 3ln x
2
1
6
y (3 ln x ) 3 2 2 x
x
x
2

6.

Найдем производную для общего случая
логарифмической функции:
y log a x

7.

1
(log a x)
x ln a
Для сложной функции:
1
(log a u )
u
u ln a

8.

ПРИМЕР.
y log5 ( x 3x)
2
1
1
y (log 5 ( x 3x)) 2
(2 x 3)
x 3x ln 5
2

9.

2. Производная
показательной
функции
Сначала
рассмотрим
показательной функции:
y e
частный
x
случай

10.

(e ) e
x
x
Для сложной функции:
(e ) e u
u
u

11.

ПРИМЕР.
y x e
5x
y ( x e ) e x 5 e e (1 5x)
5x
5x
5x
5x

12.

Найдем производную для общего случая
показательной функции:
y a
x

13.

(a ) a ln a
x
x
Для сложной функции:
(a ) a ln a u
u
u

14.

ПРИМЕР.
y (7
3 x3 x
7
y 7
3 x3 x
) 7
ln 7 3x x
3 x3 x
3 x3 x
3
ln 7 (9 x 1)
2

15.

16.

5. Производные
тригонометрических
функций
y sin x

17.

(sin x) cos x
Для сложной функции:
(sin u ) cos u u

18.

(cos x) sin x
Для сложной функции:
(cos u ) sin u u

19.

ПРИМЕР.
sin 6 x
y
cos(x 2 1)
2
2
(sin 6 x) cos( x 1) sin 6 x (cos( x 1))
y
2
2
(cos( x 1))
6 cos 6 x cos( x 2 1) sin 6 x sin( x 2 1) 2 x
(cos( x 2 1)) 2

20.

Найдем производную функции
y tgx

21.

sin x
y (tgx)
cos x
Находим производную дроби:
(sin x) cos x sin x (cos x)
2
cos x
1
cos 2 x sin 2 x
1
2
2
cos x
cos x

22.

1
(tgx)
cos 2 x
Для сложной функции:
1
(tgu)
u
cos2 u

23.

Аналогично
функции
можно
найти
производную
y ctgx

24.

1
(ctgx) 2
sin x
Для сложной функции:
1
(ctgu) 2 u
sin u

25.

ПРИМЕР.
1
y tg 2
x 3x
1
2x 3
1
y tg 2
2
2
x 3x cos2 1 ( x 3 x)
2
x
3x