Динамика-колебания точки_исп2

1.

Прямолинейные колебания материальной точки – Колебательное движение материальной точки происходит при условии: имеется
восстанавливающая сила, стремящая вернуть точку в положение равновесия при любом отклонении ее из этого положения.
y
N
x0=asin
a – амллитуда колебаний
N
N
N
R
x
G
R
O
G
T
2
.
Период
колебаний: T Восстанавливающей
Восстанавливающая
Восстанавливающей
k
сила есть,
силы нет,
силы нет,
положение равновесия положение равновесия положение равновесия
устойчивое
неустойчивое
безразличное
x
l
G
G
G
Восстанавливающая
сила есть,
положение равновесия
устойчивое
N
Необходим анализ
Сила упругости пружины – пример линейной восстанавливающей силы.
Причиной возникновения свободных колебаний
x
Направлена
всегда к свободных
положениюколебаний
равновесия,
величина
R cx
R cx
Итак, уравнение
имеет
вид: прямо
x x0 пропорциональна
cos kt 0 sin kt. линейному
является начальное смещениеx x0 и/или начальная
удлинению (укорочению) пружины, равному отклонению тела от положения
k равновесия:
v0.
Уравнение можно
представить
с – коэффициент
жесткости
пружины, численно равный силе, под действием которойскорость
пружина изменяет
свою длину на единицу,
x
a
sin(
kt
).
где
a
–
амплитуда,
начальная
фаза.
одночленным
выражением:
измеряется
в Н/м в
системе СИ.
C1
a sin
x0
kx0
tg .
tg
.
C1 a sin ; Определим a и : C1 a sin ;
Новые
a иматериальной
- связаны
Видыконстанты
колебаний
точки:
x 0
C2 a cos
x 0
с постоянными
и C2 соотношениями:
1. СвободныеC1колебания
(без учета сопротивления
C2 a cos . среды).
C22 a 2 cos 2 .
k
2
2. Свободные колебания с учетом сопротивления среды (затухающие колебания).
x 0
2
2
2
2
C1 C2 a .
a x0 .
3. Вынужденные колебания.
k
4. Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды.
■
Свободные колебания – происходят под действием только восстанавливающей силы.
Запишем основной закон динамики:
Корни характеристического уравнения мнимые и равные: z1, 2 ki.
2
2
2
ma G N R .
Выберем систему координат с центром в положении равновесия (точке O)
и спроецируем уравнение на ось x :
m x R cx.
c
Приведем полученное уравнение
2
2
к стандартному (каноническому) виду : x k x 0, где k m .
Данное уравнение является однородным линейным дифференциальным
уравнением II порядка, вид решения которого определяется корнями
характеристического уравнения, получаемое с помощью универсальной
подстановки:
zt
x e .
x z 2 e zt .
z 2 k 2 0.
Общее решение дифференциального
уравнения имеет вид:
Скорость точки:
Начальные условия:
x C1 cos kt C2 sin kt.
x kC1 sin kt kC2 cos kt.
t 0 x x0 , x x 0 .
Определим
x C1 cos k 0 C2 sin k 0 C11 C2 0.
постоянные: 0
x kC1 sin k 0 kC2 cos k 0 kC1 0 kC21.
C1 x0 .
C2
x 0
.
k
9

2.

y
Затухающие колебания материальной точки – Колебательное движение материальной точки происходит
при наличии восстанавливающей силы и силы сопротивления движению.
Зависимость силы сопротивления движению от смещения или скорости определяется физической природы
среды или связи, препятствующей движению. Наиболее простой зависимостью является линейная зависимость
от скорости (вязкое сопротивление):
Rc v ; Rcx x . - коэффициент вязкости
ma Fi G R N Rc .
c
x
Приведем уравнение к стандартному виду: x x
m
m
Основное уравнение динамики:
c
x 0
m
m
z1, 2 n n 2 k 2 .
z 2 2nz k 2 0 имеет корни:
Характеристическое уравнение
x
v
x
O
x
l
G
( x) : m x Rx Rcx cx x
Проекция уравнения динамики на ось:
x
N
R Rc
x 2nx k 2 x 0, где
2n
m
,k2
c
.
m
Общее решение данного дифференциального уравнения имеет различный вид в зависимости от значений корней:
1. n < k – случай малого вязкого сопротивления:
z1, 2 n i k 2 n 2
x e nt (C1 cos k 2 n 2 t C2 sin k 2 n 2 t )
x e nt a sin( k 2 n 2 t ).
Частота затухающих колебаний:
Декремент
колебаний:
ai 1
ai
n ( ti
T*
)
2
ae
ae nti
или
k k n
e
*
2
T*
n
2
.
2
2
Период: T
k*
*
- корни комплексные, различные.
x = ae-nt
2
k n
2
2
T*
n .
2
Логарифмический
декремент колебаний:
.
T*
x = -ae-nt
ai
ai+1
Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого
сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени.
2. n > k – случай большого вязкого сопротивления:
nt
x e (C1e
3. n = k :
n2 k 2 t
C2 e
n2 k 2 t
)
или
x
z1, 2 n n 2 k 2 - корни действительные, различные.
x e ash ( n k t ).
z1, 2 n - корни действительные, кратные.
nt
2
2
x e nt (C1t C2 )
- эти функции апериодические:
x 0 0
t
x
-эти функции также апериодические:
x 0 0
t
10

3.

Способы соединения пружин. Эквивалентная жесткость.
y
y
N
N
R1
R1 R2
с1
с1
F с2
F
x
x
с2 O R
O
2
l
f
l1
G
с1
с2
y
R
f
G l2
l1
l2
f1
f
f2
i
1
2
F c1 f c2 f (c1 c2 ) f cэкв f
cэкв (c1 c2 )
N
F
x
O
X 0; F R R .
X 0; F R.
f f1 f 2
i
G
cc
R R
c c
F
R 1 2
. cэкв 1 2 .
c1 c2
c1 c2
c1c2
cэкв
Классификация решений свободных колебаний.
Дифф.
уравнение
Характер.
уравнение
x k 2 x 0
k2
c
m
Корни характ.
уравнения
z1, 2 ik
z2 k 2 0
n
<
k
z1, 2
n
i k 2 n2
x 2nx k 2 x 0
2n
m
,k2
c
.
m
z 2 2nz k 2 0 n
>
k
z1, 2
n
n2 k 2
n
=
k
z1, 2 n
Решение дифференциального
уравнения
График
x C1 cos kt C2 sin kt.
x a sin( kt ).
x e nt (C1 cos k 2 n 2 t C2 sin k 2 n 2 t )
x e nt a sin( k 2 n 2 t ).
x e nt (C1e n k t C2e n k t )
2
2
2
2
x
x
x 0 0
x e nt ash ( n 2 k 2 t ).
x e nt (C1t C2 )
x 0 0
t
t
11

4.

Вынужденные колебания материальной точки – Наряду с восстанавливающей силой действует периодически изменяющаяся сила,
называемая возмущающей силой.
Возмущающая сила может иметь различную природу. Например, в частном случае инерционное воздействие неуравновешенной массы m1
вращающегося ротора вызывает гармонически изменяющиеся проекции силы:
y
Fi G R N .
Основное уравнение динамики: ma
m1a oc m1 2OA
N
y
Проекция уравнения
( x) : m x Rx x cx H sin pt
R
x
m1 p 2OA H
динамики на ось:
A
t pt.
x
O
c
H
Приведем уравнение
H
x x sin pt.
x k 2 x sin pt.
O
x H sin pt.
к стандартному виду:
m
m
l
x
m
G
Решение этого неоднородного дифференциального уравнения состоит их двух частей x = x1 + x2 : x1 – общее решение соответствующего
однородного уравнения x k 2 x 0 и x2 – частное решение неоднородного уравнения:
Общее решение:
x1 C1 cos kt C2 sin kt.
x2 A sin pt.
x 2 pA cos pt.
Частное решение подбираем в форме правой части:
x 2 p 2 A sin pt.
Ap 2 sin pt k 2 A sin pt
H
sin pt.
m
Полученное равенство должно удовлетворяться при любом t .
Тогда:
A( p 2 k 2 )
H
или
m
A
H
.
m(k p 2 )
2
В итоге полное решение: x x x
1
2
Таким образом, частное решение:
C1 cos kt C2 sin pt
H
sin pt. или
m(k p 2 )
x2
H
sin pt.
m(k p 2 )
2
x a sin( pt )
2
H
sin pt.
m( k p 2 )
2
Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!):
Таким образом, при одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает сложное колебательное
движение, представляющее собой результат сложения (наложения) свободных (x1) и вынужденных (x2) колебаний.
1.
Если p < k (вынужденные колебания малой частоты),
2.
Если p > k (вынужденные колебания большой частоты),
то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы:
то фаза колебаний противоположна фазе возмущающей силы:
x2
H
sin pt.
m(k p 2 )
2
x2
H
H
sin pt
sin( pt ).
2
2
m( p k )
m( p k 2 )
2
12

5.

Коэффициент динамичности – отношение амплитуды вынужденных колебаний
к статическому отклонению точки под действием постоянной силы H = const:
Амплитуда
вынужденных колебаний:
Таким образом, при p < k
(малая частота
вынужденных колебаний)
коэффициент динамичности:
A
H
2
m( k p 2 )
k2
2
k p2
1
.
p2
1 2
k
A
Aст
Статическое отклонение можно найти из уравнения равновесия:
Здесь:
R cx cAст mk 2 Aст H .
X i 0; R H 0.
Отсюда:
При p > k
k2
1
(большая частота
2
2
.
2
вынужденных колебаний)
p k
p
1
коэффициент динамичности:
2
k
Aст
H
.
mk 2
n
0
k
n
0.2
k n
0 .3
k
p
3
2
k
3
2
Резонанс – возникает, когда частота вынужденных колебаний совпадает с частотой собственных
1
колебаний (p = k). Это наиболее часто происходит при запуске и остановке вращения плохо
сбалансированных роторов, закрепленных на упругих подвесках.
0
H
1
x k 2 x sin kt.
Дифференциальное уравнение колебаний при равенстве частот:
m
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
Делением второго уравнения
2np
x
C
cos
kt
C
sin
kt
.
Общее
решение:
Частное
решение
в
форме
правой
1
1
2
тригонометрических функциях получаем систему на первое получаем сдвиг фазы части
tg x22 A2sin
. kt взять нельзя, т.к. получится
линейно
зависимое решение (см. общее
k p
уравнений:
вынужденных
колебаний:
H x2 Bt cos kt.решение).
решение
Возьмем частное
и вычислим производные
:
2
2 в виде
Таким образом, уравнение
движения при вынужденных
колебаний с учетом
Ac (k p ) m cos ;
2
2
x 2 Bk sin ktсопротивления
x 2 B cos kt Btk sin kt.
Bk sin kt Btkдвижению,
cos kt например
2 Bk sin kt при
Btk
kt. сопротивление):
n < kcos
(малое
H
H
2npAc sin .
nt
H k 2 n 2 t C sin k 2 n 2 t ) H
Подставим в дифференциальное
x1 kt
x2k 2 Bt
e cos
(Ckt1 cos
.
2 2 Bk sin kt A
c sin(
sin
kt. pt ). B
m 2 Bk sin kt Btkx2 cos
sin
kt.
уравнение:
2km
m
m
Возведением в степень обоих
Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и
уравнений
и сложением
Ht
Таким образом,
полученоихрешение:
или колебаний равны частоте
периодHt
вынужденных
и периоду
изменения
x a sin( kt динамичности
)
sin( ktпри
резонансе
).
x x1 H
x 2 C1 cos kt C 2 sin
kt
cos kt
.
получаем амплитуду
возмущающей
силы.
Коэффициент
имеет
A
.
2mk
2
2mkвеличину и зависит от соотношения
вынужденных колебаний: c
2
2 2
2 2
конечную
n
и
к.
m (k имеют
p ) амплитуду
4n p
Вынужденные колебания при резонансе
неограниченно возрастающую пропорционально времени.
Влияние сопротивления движению при вынужденных колебаниях.
Дифференциальное уравнение при наличии вязкого сопротивления имеет вид:
x 2nx k 2 x
H
sin pt.
m
Общее решение выбирается из таблицы (Лекция 3, стр. 11) в зависимости от соотношения n и к (посмотреть).
Частное решение возьмем в виде
x2 Ac sin( pt ) и вычислим производные :
x 2 Ac p cos( pt ).
x 2 Ac p 2 sin( pt ).
Подставим в дифференциальное уравнение:
Ac p 2 sin( pt ) 2nAc p cos( pt ) k 2 Ac sin( pt )
H
H
H
sin( pt ) sin( pt ) cos cos( pt ) sin .
m
m
m
13