Колебания

1.

Прямолинейные колебания материальной точки – Колебательное движение материальной точки происходит при условии: имеется
восстанавливающая сила, стремящая вернуть точку в положение равновесия при любом отклонении ее из этого положения.
y
N
x0=asin
N
R
a – амллитуда колебаний
G
N
x
G
T
Период
колебаний: T
Восстанавливающая
Восстанавливающей
сила есть,
силы нет,
положение равновесия положение равновесия
устойчивое
неустойчивое
N
l
G
2
Восстанавливающей
.
k
силы нет,
положение равновесия
безразличное
O
x
R
G
G
Восстанавливающая
сила есть,
положение равновесия
устойчивое
N
Необходим анализ
Сила упругости пружины – пример линейной восстанавливающей силы.
Причиной возникновения свободных колебаний
x
Направлена
всегда к положению
равновесия,
величина
R cx
R c x
Итак, уравнение
свободных колебаний
имеет
вид: прямо
x x0пропорциональна
cos kt 0 sin kt. линейному
является начальное смещениеx x0 и/или начальная
удлинению (укорочению) пружины, равному отклонению тела от положения
k равновесия:
v0.
Уравнение можно
представить
с – коэффициент
жесткости
пружины, численно равный силе, под действием которой скорость
пружина изменяет
свою длину на единицу,
x
a
sin(
kt
).
где
a
–
амплитуда,
начальная
фаза.
одночленным
измеряется
в Н/м ввыражением:
системе СИ.
C1
a sin
x0
tg .
tg
C1 a sin ; Определим a и : C1 a sin ;
Новые
a иматериальной
- связаны точки:
Видыконстанты
колебаний
x 0
C2 a cos
2
2
2
с 1.
постоянными
и
C
соотношениями:
СвободныеCколебания
(без
учета
сопротивления
среды).
C2 a cos .
1
2
C2 a cos .
k
2
2. Свободные колебания с учетом сопротивления среды (затухающие колебания).
x 0
2
2
2
2
C1 C2 a .
a x0 .
3. Вынужденные колебания.
k
4. Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды.
■
Свободные колебания – происходят под действием только восстанавливающей силы.
Запишем основной закон динамики:
Корни характеристического уравнения мнимые и равные:
2
2
2
ma G N R .
Выберем систему координат с центром в положении равновесия (точке O)
и спроецируем уравнение на ось x :
m x R cx.
Приведем полученное уравнение
к стандартному (каноническому) виду :
c
x k 2 x 0, где k 2 .
m
Данное уравнение является однородным линейным дифференциальным
уравнением II порядка, вид решения которого определяется корнями
характеристического уравнения, получаемое с помощью универсальной
подстановки:
zt
2
2
x e .
x z 2 e zt .
z k 0.
Общее решение дифференциального
уравнения имеет вид:
Скорость точки:
Начальные условия:
Определим
постоянные:
kx0
.
x 0
z1, 2 ki.
x C1 cos kt C2 sin kt.
x kC1 sin kt kC 2 cos kt.
t 0 x x0 , x x 0 .
x0 C1 cos k 0 C2 sin k 0 C11 C2 0. C1 x0 .
x
x kC1 sin k 0 kC2 cos k 0 kC1 0 kC21. C2 0 .
k

2.

y
Затухающие колебания материальной точки – Колебательное движение материальной точки происходит
при наличии восстанавливающей силы и силы сопротивления движению.
Зависимость силы сопротивления движению от смещения или скорости определяется физической природы
среды или связи, препятствующей движению. Наиболее простой зависимостью является линейная зависимость
от скорости (вязкое сопротивление):
Rc v ; Rcx x . - коэффициент вязкости
R Rc
ma Fi G R N Rc .
c
Приведем уравнение к стандартному виду: x m x m x
Основное уравнение динамики:
Характеристическое уравнение z 2
c
x x 0
m
m
z1, 2 n n 2 k 2 .
корни:
2nz k 2 имеет
0
x
v
x
G
( x) : m x Rx Rcx cx x
Проекция уравнения динамики на ось:
x
l
O
N
x 2nx k 2 x 0, где
c
2n , k 2 .
m
m
Общее решение данного дифференциального уравнения имеет различный вид в зависимости от значений корней:
z1, 2 n i k 2 - корни
n 2 комплексные, различные.
1. n < k – случай малого вязкого сопротивления:
x e nt (C1 cos k 2 n 2 t C2 sin k 2 n 2 t )
*
или
2
Частота затухающих колебаний:
k k n
Декремент
колебаний:
n
ai 1
ai
n ( ti
T*
)
2
ae
ae nti
e
T*
2
.
2
x e nt a sin( k 2 n 2 t ).
2
2
Период: T
.
*
k
k 2 n2
*
T*
n .
2
Логарифмический
декремент колебаний:
x = ae-nt
T*
x = -ae-nt
ai
ai+1
Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого
сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени.
2. n > k – случай большого вязкого сопротивления:
x e
3. n = k :
nt
(C1e
z1, 2 n
n2 k 2 t
C2e
n2 k 2 t
)
или
x
z1, 2 n n 2 k 2 - корни действительные, различные.
nt
2
2
- эти функции апериодические:
x e ash ( n k t ).
- корни действительные, кратные.
x e nt (C1t C2 )
-
эти функции также апериодические:
x 0 0
t
x
x 0 0
t

3.

Способы соединения пружин. Эквивалентная жесткость.
y
y
N
N
R1
R1 R2
с1
с1
F с2
F
x
x
с2 O R
O
2
l
f
l1
G
с1
с2
y
R
N
f
l1
l2
f1
f
f2
i
0; F R1 R2 .
F c1 f c2 f (c1 c2 ) f cэкв f
cэкв (c1 c2 )
G l2
F
x
O
X
X
i
0; F R.
f f1 f 2
G
cc
R R
c c
F
R 1 2
. cэкв 1 2 .
c1 c2
c1 c2
c1c2
cэкв
Классификация решений свободных колебаний.
Дифф.
уравнение
Характер.
уравнение
x k 2 x 0
k2
c
m
Корни характ.
уравнения
z1, 2 ik
z 2 k 2 0
n
<
k
z1, 2
n
i k 2 n 2
x 2nx k 2 x 0
c
2n , k 2 .
m
m
n
z1, 2
k
n
z 2 2nz k 2 0 >
n2 k 2
n
=
k
z1, 2 n
Решение дифференциального
уравнения
График
x C1 cos kt C2 sin kt.
x a sin( kt ).
x e nt (C1 cos k 2 n 2 t C2 sin k 2 n 2 t )
x e nt a sin( k 2 n 2 t ).
x e nt (C1e
n2 k 2 t
C2e
n2 k 2 t
)
x
x
x 0 0
x e nt ash ( n 2 k 2 t ).
x e
nt
x 0 0
(C1t C2 )
t
t