Similar presentations:
лекция 2 СЛУ
1.
2.
Системой n линейных уравнений с nнеизвестными называется система вида
3.
Матрицу коэффициентов при неизвестныхобозначим
неизвестные переменные системы
свободными коэффициентами считаем
4.
Решить систему линейных уравнений(СЛУ), значит, найти такие значения
,
которые при подстановке в уравнения
системы дают верное равенство.
СЛУ может иметь единственное решение,
множество решений или не иметь
решения.
5.
СЛУ называется совместной, если она имеетхотя бы одно решение.
СЛУ называется несовместной, если она не
имеет решений.
Совместная СЛУ называется определенной, если
она имеет единственное решение.
Совместная СЛУ называется неопределенной,
если она имеет более одного решения.
6.
Матрица А называется невырожденной,если ее определитель не равен нулю.
Если матрица коэффициентов при
неизвестных является невырожденной,
то СЛУ имеет единственное решение.
7.
В противном случае СЛУ может иметьмножество решений (является
неопределенной) или не иметь решения
(является несовместной).
8.
Если свободные коэффициенты СЛУравны нулю, то она называется
однородной (ОСЛУ).
9.
Если матрица коэффициентов принеизвестных ОСЛУ является
вырожденной, то система имеет
множество решений.
Если матрица коэффициентов при
неизвестных является невырожденной,
то ОСЛУ имеет единственное нулевое
решение , т.е.
х1=0, х2=0, … хn=0.
10.
Решение систем линейныхуравнений методом Крамера
11.
Рассмотрим алгоритм метода Крамера наданной СЛУ
12.
Пусть определитель матрицыкоэффициентов при неизвестных
т.е. матрица А –невырожденная.
Значит, система имеет единственное
решение.
13.
Вычислим определители:
14.
Можно доказать, что решение даннойсистемы линейных уравнений будет
единственным и вычисляется по
формулам:
15.
ПримерРешить СЛУ
Решение:
Вычислим определитель коэффициентов
при неизвестных
16.
Вычислим определители17.
Тогда решение СЛУ имеет вид18.
При подстановке полученных значений взаданную
систему
получаем
верное
тождество:
Значит, решение найдено верно.
Ответ:
19.
Решение системы линейныхуравнений с помощью
обратной матрицы
20.
СЛУ можно представить в матричномформе
что легко проверить
21.
Здесь А - невырожденная матрицакоэффициентов при неизвестных Х;
Х - столбец неизвестных переменных;
В - столбец свободных коэффициентов.
Так как матрица А - невырожденная, то
обратная к ней существует.
22.
Тогда из матричного уравненияследует
или
или
Таким образом решение СЛУ, равно
произведению обратной матрицы
коэффициентов при неизвестных на
столбец свободных коэффициентов.
23.
ПримерРассмотрим решение предыдущей СЛУ с
помощью обратной матрицы:
Решение:
Как было показано в предыдущем
решении определитель
24.
Так как определитель матрицы не равеннулю, можно найти обратную к исходной
матрице
Находим союзную матрицу, вычислив
алгебраические дополнения элементов
матрицы А.
25.
26.
Союзная матрица имеет видОбратная матрица
27.
Тогда решение заданной СЛУ имеет видОтвет:
28.
Решение системы линейныхуравнений методом Гаусса
29.
Метод Гаусса - это классический методрешения СЛУ.
Назван в честь немецкого математика
Карла Фридриха Гаусса.
Он представляет собой итерационный
(пошаговый) процесс.
30.
На каждом шаге производятсяпоследовательные исключения
неизвестных переменных.
С помощью элементарных преобразований
система уравнений приводится к
равносильной системе треугольного вида,
из которой последовательно, начиная с
последних (по номеру), находятся все
искомые переменные системы.
31.
Пусть дана система n-уравнений с nнеизвестными
В матричной форме:
Решение существует и единственно
тогда и только тогда, когда
32.
Метод Гаусса: прямой ходПусть
, тогда ко всем уравнениям,
начиная со второго прибавим первое,
умноженное на
, где i=2,3, …n
33.
Получим систему34.
Повторяем предыдущий шаг суравнениями i=3,4,…n и получаем
систему линейных уравнений в верхнетреугольном виде:
Теперь можно выразить
35.
Метод Гаусса: обратный ход36.
ПримерРешить СЛУ методом Гаусса
Решение
Для удобства, запишем все коэффициенты данной
системы в, так называемую, расширенную матрицу
37.
Выполняем элементарные преобразования надэлементами расширенной матрицы, чтобы
привести исходную матрицу к треугольному виду
(прямой ход)
Переписываем первую строку без изменения.
Чтобы получить ноль под элементом а11=1 во
второй строке, необходимо все элементы первой
строки умножить на (-2) и прибавить ко второй
строке.
38.
В результате получаемДалее переписываем первую и вторую строки
без изменения.
Чтобы получить ноль под элементом а11=1 в
третьей строке необходимо все элементы
первой строки умножить на (-1) и прибавить к
третьей строке.
39.
В результате получаемРазделим вторую строку на 7
Теперь получаем ноль в третьей строке под
диагональным элементом второй строки а22=1
40.
Для этого все элементы второй строкинеобходимо умножить на (-1) и прибавить к
третьей строке.
Перейдем из матричной формы к обычному
виду СЛУ
41.
Получаем систему в видеПрименяем обратный ход.
Из последнего уравнения х3 = -0,4. Подставляем во
второе уравнение, получаем х2 = -0,6. Подставляем в
первое уравнение найденные решения, получаем
х1 = 0,2.
42.
Пример 2Решить СЛУ