Dokument

1. Примеры применения математического ожидания (страхование, лотерея)

2.

Задание 1
Найдите вероятности:
А) Р(z = 4) = 0;
Б) ) Р(z < 6) = 0,1 + 0,25 = 0,35;
В) Р(9 ≤ z < 12) = 0,17;
Г) Р(z = 8) = 1 – 0,1 – 0,25 – 0,29 – 0,17 = 0,19.

3. Историческая справка

Термин
«математическое
ожидание» введён Пьером
Симоном маркизом де Лапласом
(1795г.) и произошёл от понятия
«ожидаемого значения выигрыша»,
впервые появившегося в 17 веке в теории азартных игр в
трудах Блеза Паскаля и Христиана Гюйгенса.
Первоначально термин «математическое ожидание»
был введен для определения ожидаемого (среднего)
выигрыша в многократно повторяемой игре. В
дальнейшем оказалось, что это понятие подходит и для
характеристики положения «центра» распределения
многих случайных величин.

4.

Пусть распределение вероятностей случайной величины
Х задано таблицей
Математическим ожиданием дискретной
случайной величины называется сумма
произведений ее возможных значений на
соответствующие им вероятности.
ЕХ = х1 • p1 + х2 • p2 + х3 • p3 + … + хn • pn

5.

6. Задание 2. Лотерея.

Решение:
ЕХ = х1 • p1 + х2 • p2 + х3 • p3
ЕХ = 500 • 0,01 + 100 • 0,1+ 0 •0,89 = 5 +10 = 15 (р.)
Ответ: 15 рублей

7. Задание 3. Страхование.

Страховая компания К предлагает владельцам автомобилей страхование по
риску «Ущерб в ДТП». Аналитики компании провели исследование и оценили
вероятности попадания автомобиля в ДТП в течение года и средние
страховые выплаты для страховых случаев, указанных в таблице.
Из-за конкуренции в страховом бизнесе компания К хочет установить
наименьшую цену страхового полиса, при которой средняя прибыль от
продажи одного страхового полиса будет 500 рублей. Найдите эту цену.

8.

Решение
ЕХ = х1 • p1 + х2 • p2 + х3 • p3
ЕХ = 35 000 • 0,11 + 150 000 • 0,038 + 650 000 • 0,002 = 3850 + 5700 +
+ 1300 = 10850 (р)
10850 + 500 = 11 350 (р.)
Ответ: 11 350 рублей.

9.

Задание 4. В таблице показано количество билетов и возможные выигрыши
беспроигрышной денежной лотереи. Цена билета лотереи равна 100 рублей.
Всего билетов выпущено 1000 штук. Участник покупает один случайный билет.
На сколько рублей цена билета выше, чем математическое ожидание
выигрыша?
Выигрыш
10
100
500
10000
Количество
билетов
980
10
7
3

10.

Задание 5. Пусть лотерейные билеты продаются по 2 $ за штуку, и по ним
можно выиграть автомобиль, который стоит 4000 $. Общее число
лотерейных билетов равно 8000 и предполагается, что все они будут
проданы. Какой доход принесёт лотерея своим учредителям.