Математическое ожидание случайной величины

1. Математическое ожидание случайной величины

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Вероятность и статистика
9 класс

2. Повторение

ПОВТОРЕНИЕ
В таблице дано распределение вероятностей некоторой
случайной
величины. Одна из вероятностей неизвестна.
Найдите ее.
Значение Х
1
2
3
Вероятность
1/9
1/3
1/6
Ответ: 1/72
4
5
6
1/4
1/8

3.

Для проведения лотереи изготовили 100 билетов.
Из них 1 билет с выигрышем в 500 р.,
10 билетов с выигрышем по 100 р.
и остальные 89 билетов без выигрыша.
Какой средний выигрыш соответствует 1 билету?
Выигрыш является случайной величиной Х, которая может принимать значение 0;100; 500, с
вероятностью 0,89; 0,1 и 0,01.
Выигрыш, Х
0
100
500
Вероятность
выигрыша, р
0,89
0,1
0,01
Если покупатель приобретает все 100 билетов, то выигрыш составит 1500 руб, следовательно
выигрыш, соответствующий одному билету в 100 раз меньше - 15 руб.
(0·89+10·100+1·500):100 = 0·0,89+100·0,1+500·0,01=15.
15 руб – это среднее значение случайной величины.
Оно и называется математическим ожиданием случайной величины.

4. Математическое ожидание

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
Рассмотрим случайную величину Х и ее распределение
Значение Х
х1
х2
х3
…
хn
Вероятность
p1
p2
p3
…
pn
Если мы умножим значения случайной величины на их вероятности и сложим эти
произведения, то получим некоторое среднее значение случайной величины.
Это среднее называют математическим ожиданием.
Обозначается математическое ожидание случайной величины Х, как ЕХ или Е(Х).
Математическое ожидание
случайной величины – это сумма
произведений значений этой величины и их вероятностей
ЕХ = х₁·р₁ + х₂·р₂ + х₃·р₃ + … + xₙ·pₙ
Говоря простым языком это «среднее значение» принимаемой
случайной величины

5. ТЕОРЕМА

Среднее арифметическое значений, принимаемых случайной величиной в
длинной серии опытов, приближенно равно ее математическому ожиданию.

6. Физический смысл математического ожидания

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ
Смысл
математического
ожидания
можно
проиллюстрировать
с
помощью
диаграммы
распределения вероятностей случайной величины.
Если представить, что диаграмма вырезана из листа
картона или металла, то математическое ожидание –
точка, в которую проектируется центр масс диаграммы
На рисунке показано распределение некоторой
случайной величины Х. Ее математическое ожидание
равно 5,09. Если «подставить» под точку с абсциссой
5,09 опору, то диаграмма будет находиться в
равновесии.
Математическое ожидание случайной величины –
теоретический аналог среднего арифметического набора
массива данных

7.

Математическое ожидание от постоянной величины равно этой постоянной величине:
ЕC=C, C=const
Математическое ожидание суммы случайных величин Х и У равно сумме математических
ожиданий этих величин: Е(X+Y)=ЕX+ЕY
Постоянную величину можно выносить за знак математического ожидания:
Е(с·X)=с·ЕX, где с=cоnst.
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и Y равно
произведению математических ожиданий этих величин: М(XY)=MX MY

8. Пример 2

ПРИМЕР 2
Пусть случайная величина Х равна числу очков, выпавших на одной игральной
кости. Вероятности выпадения каждой грани одинаковы и равны 1/6.
Поэтому:
ЕХ = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 =(1+2+3+4+5+6)/6 = 7/2 = 3,5
Что нам это дает?
То, что кидая кость много (например 100) раз, в среднем каждый раз будет выпадать
3,5, а в сумме выпадет примерно 100*3,5=350.

9.

Лотерея. В лотерее должны быть большие выигрыши для того, чтобы она была
привлекательной, поэтому определим, что 1% билетов с выигрышем в 2000 р.,
Выигрышных билетов должно быть немало. Пусть 10% билетов с выигрышем по 200 р.
Участник лотереи случайным образом выбирает один билет. Найдем математическое
ожидание случайной величины Х «выигрыш участника»
Выигрыш является случайной величиной Х, которая может принимать значение 0; 200; 2000, с
вероятностью 0,89; 0,1 и 0,01.
Выигрыш, Х
0
200
2000
Вероятность
выигрыша, р
0,89
0,1
0,01

10.

Лотерея. В лотерее должны быть большие выигрыши для того, чтобы она была
привлекательной, поэтому определим, что 1% билетов с выигрышем в 2000 р.,
Выигрышных билетов должно быть немало. Пусть 10% билетов с выигрышем по 200 р.
Участник лотереи случайным образом выбирает один билет. Найдем математическое
ожидание случайной величины Х «выигрыш участника»
Выигрыш является случайной величиной Х, которая может принимать значение 0; 200; 2000, с
вероятностью 0,89; 0,1 и 0,01.
Выигрыш, Х
0
200
2000
Вероятность
выигрыша, р
0,89
0,1
0,01
Математическое ожидание выигрыша равно
ЕХ= 0·0,89+200·0,1+2000·0,01 = 40(р.)

11.

Выигрыш, Х
0
200
200
Вероятность
выигрыша, р
0,89
0,1
0,01
Математическое ожидание выигрыша равно
ЕХ= 0·0,89+200·0,1+2000·0,01 = 40(р.)
Чтобы лотерея приносила доход, цена билета должна быть больше, чем средний выигрыш.
Если назначить цену билета 50 р., то средний доход от продажи одного билета будет равен
50-40=10 (р.)
Так устроены все лотереи: математическое ожидание выигрыша на
один билет меньше цены билета.
Это условие является непременным, оно обеспечивает доход организаторам лотереи.
Человек, который решил сыграть в лотерею, должен это понимать. Никакие стратегии,
которые якобы позволяют выиграть в лотерею, на самом деле не работают- математическое
ожидание выигрыша меньше цены билета.

12.

В лотерее 100 билетов, из которых 2 выигрышных по 110 руб. и 10 выигрышных по 20 руб.
Стоимость билета 10 руб. Х - чистый выигрыш для человека, купившего 1 билет.
Найдем математическое ожидание случайной величины Х «выигрыш участника»
Выигрыш, Х
Вероятность
выигрыша, р
0,02
0,1
0,88

13.

В лотерее 100 билетов, из которых 2 выигрышных по 110 руб. и 10 выигрышных по 20 руб.
Стоимость билета 10 руб. Х - чистый выигрыш для человека, купившего 1 билет.
Найдем математическое ожидание случайной величины Х «выигрыш участника»
Выигрыш, Х
100
10
-10
Вероятность
выигрыша, р
0,02
0,1
0,88

14.

В лотерее 100 билетов, из которых 2 выигрышных по 110 руб. и 10 выигрышных по 20 руб.
Стоимость билета 10 руб. Х - чистый выигрыш для человека, купившего 1 билет.
Найдем математическое ожидание случайной величины Х «выигрыш участника»
Выигрыш, Х
100
10
-10
Вероятность
выигрыша, р
0,02
0,1
0,88
ЕХ= 100·0,02+10·0,1-10·0,88 = -5,8(р.)
При многократной покупке билетов на таких условиях
будем терять в среднем 5,8 рубля на билете.

15.

Игрок бросает 2 игральные кости. Если на костях выпадает разное число очков, то он
проигрывает а рублей, а если одинаковое , то выигрывает 4а рублей.
Стоит ли играть в эту игру многократно?
Пусть X – выигрыш игрока в одной игре. X может принимать значения -а и 4а.
1
P ( X 4a )
6
Выигрыш, Х
Вероятность
выигрыша, р
4а
5
P( X a)
6
-а

16.

Игрок бросает 2 игральные кости. Если на костях выпадает разное число очков, то он
проигрывает а рублей, а если одинаковое , то выигрывает 4а рублей.
Стоит ли играть в эту игру многократно?
Пусть X – выигрыш игрока в одной игре. X может принимать значения -а и 4а.
1
P ( X 4a )
6
5
P( X a)
6
Выигрыш, Х
4а
-а
Вероятность
выигрыша, р
1/6
5/6
ЕХ= 1/6·4а+5/6·(-а) = -а/6˂0

17.

В страховой компании застраховано 10 тысяч человек.
Каждый застрахованный выплачивает в год 1 тыс. рублей.
Вероятность наступления страхового случая в течение года для одного застрахованного 0,01.
Выплата при наступлении страхового случая равна 50 тыс. рублей.
Пусть X – прибыль страховой компании за год. Найти ЕX.
Прибыль от
застрахованного, Х₁
Вероятность прибыли, р
0,01
0,99

18.

В страховой компании застраховано 10 тысяч человек.
Каждый застрахованный выплачивает в год 1 тыс. рублей.
Вероятность наступления страхового случая в течение года для одного застрахованного 0,01.
Выплата при наступлении страхового случая равна 50 тыс. рублей.
Пусть X – прибыль страховой компании за год. Найти ЕX.
Прибыль от
застрахованного, Х₁
- 4900
1000
Вероятность прибыли, р
0,01
0,99

19.

В страховой компании застраховано 10 тысяч человек.
Каждый застрахованный выплачивает в год 1 тыс. рублей.
Вероятность наступления страхового случая в течение года для одного застрахованного 0,01.
Выплата при наступлении страхового случая равна 50 тыс. рублей.
Пусть X – прибыль страховой компании за год. Найти ЕX.
Прибыль от
застрахованного, Х₁
- 4900
1000
Вероятность прибыли, р
0,01
0,99
ЕХ₁= - 4900·0,01+1000·0,99 = 500(р.)

20.

В страховой компании застраховано 10 тысяч человек.
Каждый застрахованный выплачивает в год 1 тыс. рублей.
Вероятность наступления страхового случая в течение года для одного застрахованного 0,01.
Выплата при наступлении страхового случая равна 50 тыс. рублей.
Пусть X – прибыль страховой компании за год. Найти ЕX.
Прибыль от
застрахованного, Х₁
- 4900
1000
Вероятность прибыли, р
0,01
0,99
ЕХ₁= - 4900·0,01+1000·0,99 = 500(р.)
ЕХ= 10000·ЕХ₁= 10000· 500=5000000(р.)
Средняя прибыль компании в год составит 5 млн. рублей

21.

В страховой компании застраховано 10 тысяч человек.
Вероятность наступления страхового случая в течение года для одного застрахованного 0,01. Выплата
при наступлении страхового случая равна 50 тыс. рублей.
Пусть X – прибыль страховой компании за год. Каким должен быть страховой взнос S, чтобы средняя
прибыль компании была не меньше 10 млн. рублей?
Прибыль от
застрахованного, Х₁
S - 50000
S
Вероятность прибыли, р
0,01
0,99

22.

В страховой компании застраховано 10 тысяч человек.
Вероятность наступления страхового случая в течение года для одного застрахованного 0,01. Выплата
при наступлении страхового случая равна 50 тыс. рублей.
Пусть X – прибыль страховой компании за год. Каким должен быть страховой взнос S, чтобы средняя
прибыль компании была не меньше 10 млн. рублей?
Прибыль от
застрахованного, Х₁
S - 50000
S
Вероятность прибыли, р
0,01
0,99
ЕХ₁= (S - 50000)·0,01+ S ·0,99 = S - 500(р.)

23.

В страховой компании застраховано 10 тысяч человек.
Вероятность наступления страхового случая в течение года для одного застрахованного 0,01. Выплата
при наступлении страхового случая равна 50 тыс. рублей.
Пусть X – прибыль страховой компании за год. Каким должен быть страховой взнос S, чтобы средняя
прибыль компании была не меньше 10 млн. рублей?
Прибыль от
застрахованного, Х₁
S - 50000
S
Вероятность прибыли, р
0,01
0,99
ЕХ₁= (S - 50000)·0,01+ S ·0,99 = S - 500(р.)
ЕХ= 10000·(S – 500) ≥ 10000000;
S – 500 ≥ 1000;
S ≥ 1500.
Страховой взнос должен быть не меньше 1500 рублей

24. Домашняя работа

ДОМАШНЯЯ РАБОТА
§§70,71- изучить;
№257 - 260

25. Дисперсия и стандартное отклонение

ДИСПЕРСИЯ И СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ
Занимаясь описательной статистикой, мы говорили, что рассеивание значений
измеряются с помощью дисперсии и стандартного отклонения.
В теории вероятности речь идет о случайных величинах. Для описания
рассеивания случайной величины используются аналогичные характеристики:
дисперсия и стандартное отклонение случайной величины.
Обозначают дисперсию случайной величины DX или D(X).
Дисперсией случайной величины Х называют математическое
ожидание случайной величины (Х –ЕХ)2:
DX = Е(Х –ЕХ)2
Случайная величина Х –ЕХ – это отклонение от среднего значения.
Значит дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной
величины от своего математического ожидания.

26. Дисперсия и стандартное отклонение

ДИСПЕРСИЯ И СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ
Если дисперсия случайной величины мала, то мала вероятность того что случайная
величина примет значение, значительно отличающиеся от математического ожидания
Если дисперсия равна нулю, то случайная величина Х принимает единственное значение.
Это означает, что случайная величина постоянна.
Стандартным отклонением случайной величины Х называют
квадратный корень из дисперсии: