Случайные величины

1. Лекция 2. Случайные величины

7-1. Понятие случайной величины
7-2. Распределение случайной величины
7-3. Математическое ожидание
7-4. Дисперсия, стандартное отклонение
27 сентября 2017 г.

2. 7-1. Случайная величина

Определение
Пример
27 сентября 2017 г.

3. Случайная величина

Случайной величиной называют переменную, которая в
результате испытания принимает единственное значение,
которое зависит от случая и не может быть известно заранее.
Обозначаем X, а ее значения x.
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
3

4. Мальчики среди шести новорожденных

Мальчики,
Вероятность,
x
P(x)
0
0,016
1
0,094
2
0,234
3
0,313
4
0,234
5
0,094
6
0,016
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
Случайная величина – число
мальчиков среди шести
новорожденных.
Принимает значения от 0 до 6.
Значения 0 и 6 менее вероятны,
чем значение 3.
Как вычислены эти вероятности,
поймем позже.
4

5. Дискретная случайная величина

Дискретная случайная величина принимает конечное или
счетное количество значений.
Счетное количество может быть бесконечным, но, тем не менее,
может быть подсчитано при помощи определенной процедуры.
Счетными являются, например, целые числа.
0
1
2
3
4
5
6
Число новорожденных
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
5

6. Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина, в противоположность
дискретной, принимает бесконечное количество значений из
определенного непрерывного множества на числовой прямой.
Множество
несчетно.
значений
непрерывной
0
случайной
величины
6 месяцев
Срок службы лампочки
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
6

7. Зачем нужны случайные величины?

Случайные величины являются математическим инструментом
для изучения случайных событий и явлений.
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
7

8. 7-2. Распределение случайной величины

Определение
Пример
27 сентября 2017 г.

9.

Определение. Случайной величиной называют величину,
которая в результате испытания примет одно и только одно
возможное значение, наперёд не известное и зависящее от
случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Примеры.
1. Количество родившихся мальчиков среди 6
новорождённых.
2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле.
Дискретные и непрерывные случайные величины.
Случайные величины: X, Y, Z,… , их значения: x, y, z,…
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
9
9

10.

Определение. Законом распределения дискретной случайной
величины называют соответствие между возможными значениями
и их вероятностями.
Таблично:
X
p
x1
p1
x2 …
p2 …
xn
pn
p1+ p2 +…+ pn= 1
Аналитически:
Графически:
p( xi ) f (i ),
p1
x1
p2
x2
i 1, 2, ..., n
p3
p4
x3
x4
– многоугольник
распределения
10

11. Вероятностное распределение - таблица

Мальчики,
Вероятность,
x
P(x)
0
0,016
1
0,094
2
0,234
3
0,313
4
0,234
5
0,094
6
0,016
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
Таблица указывает на
соответствие между
принимаемыми значениями
случайной величины и их
вероятностями.
Таблица задает закон
распределения случайной
величины.
11

12. Вероятностное распределение - график

Распределение числа мальчиков
среди шести новорожденных
Гистограмма также
указывает на
соответствие между
принимаемыми
значениями случайной
величины и их
вероятностями.
0,350
0,300
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
0
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
1
2
3
4
5
6
12

13. Вероятностное распределение - формула

Вероятностное распределение случайной величины может быть
задано аналитически – формулой.
Пример. Формула для нахождения вероятности k мальчиков
среди 6 новорожденных:
Pn (k ) C p q
k
n
k
n k
где C число сочетаний
k
n
n!
С
k!(n k )!
k
n
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
13

14. Необходимое условие

Для любой дискретной случайной величины сумма вероятностей
должна быть равна единице:
P( x) 1
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
14

15. Проверка необходимого условия

Задана случайная величина:
X
0
1
3
5
P
0,10
0,30
0,20
0,50
Проверим необходимое условие:
P(X) = 0,100 + 0,300 + 0,200 + 0,500 = 1,100 1,000
Условие не выполнено.
Вывод. Такой случайной величины не существует.
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
15

16. Лотерея

На корпоративной вечеринке выпущено 100 билетов лотереи.
Предусмотрены следующие выигрыши:
1 билет
1000 руб.
10 билетов
100 руб.
89 билетов
без выигрыша
1. Построить закон распределения случайной величины X –
суммы выигрыша одного билета.
2. Если билет стоит 30 руб., то построить закон распределения
случайной величины Y – суммы чистого выигрыша одного
билета.
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
16

17. Лотерея

1. Закон распределения суммы выигрыша:
X
0
100
1000
P
0,89
0,10
0,01
2. Закон распределения чистого выигрыша:
Y
-30
70
970
P
0,89
0,10
0,01
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
17

18.

p( X x)
x1
x2
x
Определение. Функцией распределения случайной
величины Х называется функция F(x), задающая
вероятность того, что случайная величина Х принимает
значение, меньшее x, то есть
F(x) = p(X < x).
Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией
распределения.
Определение.
Случайная
величина
непрерывной,
если
её
функция
непрерывна на всей числовой оси.
Х называется
распределения
18

19.

Свойства функции распределения:
1) 0 F ( x) 1
2) Если x1 < x2, то
F ( x1 ) F ( x 2 )
3) p(a x b) F (b) F (a)
4) Если возможные значения случайной величины принадлежат
интервалу (a, b), то а) F(x)=0 при
x a
б) F(x)=1 при
x b
5) Если Х – непрерывная случайная величина, то вероятность
того, что она примет одно определённое значение равна нулю:
p(X=x) = 0.
19

20.

Определение.
Плотностью
распределения
вероятностей непрерывной случайной величины Х
называют функцию, являющуюся производной от
функции распределения:
f (x) = F’(x).
Также функцию
вероятности или
распределения.
f(x) называют плотностью
дифференциальной функцией
20

21.

Свойства плотности распределения:
b
1)
p( a x b) f ( x )dx
2) F ( x )
x
3)
f (x)
a
b
f ( x) 0
4)
a
f ( x )dx
p(a < x < b)
f ( x )dx 1
f (x)
21

22. Числовые характеристики 1. Математическое ожидание

Определение
Пример
27 сентября 2017 г.

23.

Математическое ожидание
Определение. Математическим ожиданием дискретной
случайной величины Х называют сумму произведений всех
возможных значений этой случайной величины на
соответствующие им вероятности. Обозначается М(Х).
Пусть
X
p
x1
p1
x2 …
p2 …
xn
pn
M ( X ) x1 p1 x 2 p2 x n p n
Если случайная величина Х принимает бесконечное множество
значений, то
M ( X ) x i pi
i 1
23

24.

Определение.
Математическим
ожиданием
непрерывной случайной величины Х, возможные
значения которой принадлежат отрезку [a, b],
называется определённый интеграл
b
M ( X ) xf ( x )dx
a
Если возможные значения случайной
распределены по всей оси Ox, то
M(X )
величины
xf ( x )dx
24

25. Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины
равно этой величине: MC=C.
Свойство 2. Постоянную можно выносить: M(CХ)=CM(Х).
Свойство 3. Математическое ожидание суммы случайных
величин равно сумме их математических
ожиданий: M(X+Y)= M(X)+M(Y).
Свойство 4. Математическое
ожидание
произведения
независимых
случайных
величин
равно
произведению математических ожиданий этих
величин: M(X · Y)= M(X) · M(Y).
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
25

26. Математическое ожидание выигрыша

1. Закон распределения суммы выигрыша:
X
0
100
1000
P
0,89
0,10
0,01
Математическое ожидание суммы выигрыша:
M ( X ) x P( x)
0 0,89 100 0,10 1000 0,01 20
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
26

27. Математическое ожидание выигрыша

2. Закон распределения чистого выигрыша:
Y
-30
70
970
P
0,89
0,10
0,01
Математическое ожидание чистого выигрыша:
M ( X ) x P( x)
30 0,89 70 0,10 970 0,01 10
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
27

28. Интерпретация

Математическое ожидание есть точка равновесия:
-30
-10
70
970
Математическое
ожидание
Примечание. Масштаб не сохранен
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
28

29. Интерпретация

Если математическое ожидание равно -10, это означает, что в
среднем каждый участник проигрывает -10 руб.
Такую лотерею можно считать несправедливой, поскольку в ней
предусмотрен выигрыш организатора.
Если бы математическое ожидание было равно нулю, то
выигрыши одних участников брались бы из проигрышей других
участников.
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
29

30. 2. Дисперсия и стандартное отклонение

Определение
Пример
27 сентября 2017 г.

31. Дисперсия

Дисперсия (variance) случайной величины характеризует
отклонение случайной величины от ее среднего значения.
Для дискретной случайной величины находится по формуле:
D( X ) ( x M ( X )) P( x)
2
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
31

32.

2. Непрерывная случайная величина
По определению
D( X ) M [ X M ( X )]2
b
Но M ( X ) xf ( x )dx
a
b
2
(
x
M
(
X
))
f ( x )dx
M [ X M ( X )]
2
a
b
D( X ) ( x M ( X )) 2 f ( x )dx
a
b
D( X ) x 2 f ( x )dx [ M ( X )]2
a
32

33. Свойства дисперсии

Свойство 1.
Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(С)=0
Свойство 2.
Постоянный множитель можно выносить за знак
дисперсии, возведя в квадрат:
D(Сx)=C2D(x)
Свойство 3.
Дисперсия суммы независимых случайных
величин равна сумме дисперсий:
D(x+y)= D(x)+D(y)
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
33

34. Вторая формула для дисперсии

Имеется вторая формула для дисперсии:
D( X ) M ( X ) ( M ( X ))
2
2
Удобнее использовать для вычислений вручную.
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
34

35. Стандартное отклонение

Стандартное отклонение (standard deviation)
величины есть квадратный корень из дисперсии:
случайной
D(x)
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
35

36. Вычисление дисперсии чистого выигрыша

Закон распределения чистого выигрыша:
Y
-30
70
970
P
0,89
0,10
0,01
Дисперсия чистого выигрыша:
D( X ) ( x M ( X )) P( x)
2
( 30 10) 0,89 (70 10) 0,10
2
2
(970 10) 0,01 10600
2
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
36

37. Вычисление стандартного отклонения

Закон распределения чистого выигрыша:
Y
-30
70
970
P
0,89
0,10
0,01
Стандартное отклонение:
D(x)
10600 103,0
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
37

38. Вычисление дисперсии

x
P(x) x ·P(x) x2 ·P(x)
0
0,016
-
-
1
0,094
0,094
0,094
2
0,234
0,468
0,936
Вычисляем дисперсию при
помощи таблицы по второй
формуле:
3
0,313
0,939
2,817
D( X ) M ( X ) (M ( X ))
4
0,234
0,936
3,744
10,517 (3,0) 1,5
5
0,094
0,470
2,350
6
0,016
0,096
0,576
1,000
3,000
10,517
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
2
2
2
D(x)
1,5 1,2
38

39. Правило округления

Правило округления результатов вычислений состоит в том,
что результат, как правило, должен иметь на один знак после
запятой больше, чем точность случайной величины.
Если случайная величина принимает целые значения, среднее
значение, стандартное отклонение следует округлять до одного
знака после запятой.
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
39

40.

1. Биномиальное распределение
p – вероятность события А
Х – число появлений события А в n независимых
испытаниях
Возможные значения:
k = 0, 1, 2, …, n
Обозначим q=1 – p. Тогда
p(k) = pkqn-kCnk
Бином Ньютона:
р – параметр распределения
( p q) n
n
k k n k
C
np q
k 0
М(Х) = np
и
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
D(Х) = npq
40
40

41.

2. Распределение Пуассона
np
n – очень большое, p – очень мала,
Х – число появлений события А в n независимых
испытаниях
Возможные значения:
k = 0, 1, 2, …, n
Тогда p(k) = pkqn-kCnk.
Можно показать, что lim
p( k )
n
k
e
k!
Cnk
k
p q
n k
k
e
k!
λ – параметр распределения
M ( X ) D( X )
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
41
41

42.

1. Равномерное распределение
В интервале (a, b) постоянная плотность распределения
x a
0,
1
f ( x)
, a x b
b a
x b
0,
x a
0,
x a
F ( x)
, a x b
b a
x b
0,
a, b – параметры распределения
f(x)
1/(b–a)
a
F(x)
1
b
a
b
a ba b
(b (ab) 2 a ) 2
иD( XD)(
M(X
M)( X )
X)
1242 12
2 2
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
42

43.

2. Показательное распределение
0,
f ( x ) x
e ,
x 0
x 0
0,
F ( x)
x
1 e ,
x 0
x 0
λ – параметр распределения
1
F(x)
f(x)
11
MM( X
( X) )
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
(X
( X) )
и DD
11
2 2
43
43

44.

3. Нормальное распределение
1
f ( x)
e
2
( x a )2
2
1
F ( x)
2
2
x
e
( x a ) 2
2 2
dx
a, σ – параметры распределения
f(x)
a
(X
( X) )
MM
(X
( X) ) aa и DD
22
Иванов О.В., Соколихин А.А., 2005
44
44

45. ЕЩЕ НЕ ВСЕ!

Впереди
Математическая статистика