Математическое ожидание и его свойства

1.

Пусть
Х
дискретная
случайная
величина,
заданная
своим
рядом
распределения:
x1
…
xi
…
xn
p1
…
pi
…
pn

2.

Математическим ожиданием MX
случайной величины Х называется сумма
ряда
n
MX xi pi
i 1

3.

Пример Х –число очков при
однократном бросании игральной
кости МХ-?

4.

В лотерее 100 билетов, из которых 2
выигрышных по 110 руб. и 10 выигрышных по 20
руб. Стоимость билета 10 руб. Х - чистый
выигрыш для человека, купившего 1 билет.
МХ-?

5.

Среднее арифметическое значений,
принимаемых случайной величиной в
длинной серии опытов, приближенно
равно ее математическому ожиданию.

6.

Игрок бросает 2 игральные кости.
Если на костях выпадает разное число
очков, то он проигрывает а рублей, а если
одинаковое , то выигрывает 4а рублей.
Стоит ли играть в эту игру многократно?

7.

Пусть X – выигрыш игрока в одной игре.
X может принимать значения -а и 4а.

8.

Пусть X – выигрыш игрока в одной игре.
X может принимать значения -а и 4а.
6 1
P ( X 4a )
36 6
5
P( X a)
6

9.

Пусть X – выигрыш игрока в одной игре.
X может принимать значения -а и 4а.
1
P ( X 4a )
6
X
P
4a
5
P( X a)
6
-a
1
6
5
6

10.

Пусть X – выигрыш игрока в одной игре.
X может принимать значения -а и 4а.
X
P
4a
-a
1
6
5
6
1
5 4a 5a
a
MX 4a ( a)
6
6
6
6

11.

СВОЙСТВА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОЖИДАНИЯ
1
Математическое ожидание от
постоянной величины равно
этой постоянной величине:
МC=C, C=const

12.

Рассмотрим
ряд
распределения
случайной величины Х=С:
С
1
Тогда математическое ожидание будет
равно
МC=C

13.

2
Математическое ожидание суммы
случайных величин Х и У равно
сумме математических ожиданий
этих величин:
М(X+Y)=MX+MY

14.

4
Постоянную величину можно
выносить за знак математического
ожидания:
М[k X]=k M[X], где k=cоnst.

15.

5
Математическое ожидание
произведения
независимых случайных величин
Х и У равно произведению
математических ожиданий этих
величин:
М(XY)=MX MY

16.

5
Пример. Приобретено 40 лотерейных билетов.
Вероятность выигрыша на один билет равна
0,05.
Найти математическое ожидание числа
выигравших билетов.

17.

5
Пусть X – число выигравших билетов.
1, åñëè i é áèëåò âû èãðàë
Xi
0, åñëè i é áèëåò í å âû èãðàë
X X1 X 2
X 40

18.

5
Пусть X – число выигравших билетов.
1, åñëè i é áèëåò âû èãðàë
Xi
0, åñëè i é áèëåò í å âû èãðàë
X X1 X 2
X 40
MX M ( X 1 X 2
MX1 MX 2
X 40 )
MX 40

19.

5
1, åñëè i é áèëåò âû èãðàë
Xi
0, åñëè i é áèëåò í å âû èãðàë
Xi
1
0
P
0,05
0,95
MX i 1 0,05 0 0,95 0,05

20.

5
Пусть X – число выигравших билетов.
MX MX 1 MX 2
0,05 0,05
MX 40
0,05 40 0,05 2

21.

5
Пример. В страховой компании застраховано
10000 человек. Каждый застрахованный вносит
за год 500 руб. Вероятность наступления
страхового случая для одного человека
составляет 0,001. При наступлении страхового
случая компания выплачивает застрахованному
50000 рублей. Найти математическое ожидание
прибыли страховой компании.