Прямоугольник. Ромб. Квадрат

1.

2.

Прямоугольником называется параллелограмм, у
которого все углы прямые.
В
А
С
D
Для прямоугольника выполняются свойства
параллелограмма
10. В параллелограмме противоположные стороны
равны и противоположные углы равны.
20. Диагонали параллелограмма точкой пересечения
делятся пополам.

3.

Особое свойство прямоугольника.
Диагонали прямоугольника равны.
С
В
Дано: ABCD
прямоугольник
Доказать: АС = ВD
Доказательство:
D
А
АD – общая сторона
АВ=СD, как противолежащие стороны
АСD = DBA по катетам
Значит, АС = ВD.

4.

Обратное утверждение – признак прямоугольника.
Если в параллелограмме диагонали равны, то
этот параллелограмм – прямоугольник.
В
С
А
D АD – общая сторона
Дано: ABCD
параллелограмм
АС = ВD
Доказать: АВСD
прямоугольник
Доказательство:
АС = BD по условию
АВ=СD, как противолежащие стороны параллелограмма
АСD = DBA по трем сторонам
Значит, А = D. Тогда, А = С и
D= В
Сумма углов четырехугольника 3600, значит, все углы
равны 900

5.

Докажите, что параллелограмм АВСD - прямоугольник
С
В
О
А
D

6.

В прямоугольнике АВСD проведена биссектриса угла А,
которая пересекает сторону ВС в точке М, причем
ВМ : МС =2 : 3. Найдите ВС, если периметр АВСD равен
56 см.
В
2х
М
3х
450
0
45
А
Р=56см
2(2х+2х+3х) = 56
С
D
р=28см
2х+2х+3х = 28

7.

В прямоугольнике один из углов, образованных
диагоналями, равен 1200, а меньшая сторона
прямоугольника равна 99 см
см.
Найдите диагональ прямоугольника.
С
В
600
1200
600
О
600
А
D

8.

Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника,
если одна из них делит угол при вершине прямоугольника в
отношении 2 : 7.
М
2х
О
К
Р
7х
?
Т

9.

Диагональ КР прямоугольника КМРТ равна 8 см. Найдите
медиану треугольника ТКР, проведенную к его большей
стороне.
М
Р
8 см
К
О
?
Т
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из
вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине
гипотенузы.

10.

Ромбом называется параллелограмм, у которого
все стороны равны.
В
А
С
D
Для ромба выполняются свойства
параллелограмма
10. В параллелограмме противоположные стороны
равны и противоположные углы равны.
20. Диагонали параллелограмма точкой пересечения
делятся пополам.

11.

Особое свойство ромба.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят
его углы пополам
Дано: ABCD ромб
В
А
Доказать: АС ВD
BAC = DAC
Доказательство:
О
АВ=АD по определению ромба
АВD р/б
С Так как ромб – параллелограмм,
то ВО=DО.
Тогда, АО – медиана
D
АО – высота
АС ВD
АО - биссектриса
BAC = DAC

12.

Признак ромба.
Если диагонали параллелограмма взаимно
перпендикулярны, то параллелограмм является
ромбом
В
Дано: ABCD параллелограмм
АС ВD
Доказать: АВСD ромб
Доказательство:
А
О
АВО = СВО = СDO = DAO
С
По катетам
АВ = ВС = СD = DА
АВСD ромб по определению
D

13.

Докажите, что параллелограмм АВСD - ромб
В
С
55030/
О
А
D

14.

№ 408. Признак ромба.
Если диагональ параллелограмма является
биссектрисой его угла, то параллелограмм является
ромбом
Дано: ABCD параллелограмм
В
АС – биссектриса угла ВАD
Доказать: АВСD ромб
Доказательство:
А
1
4
2
3
3 = 1= 2 = 4
С
обоснуй
АВС р/б
АD = BC, т.к. АВСD параллелограмм
ВС = BА, т.к. АВС р/б
АВ = DC, т.к. АВСD параллелограмм
D
АВСD ромб по определению

15.

Упражнения по планиметрии на готовых чертежах
В
Найдите периметр ромба.
600
А
600
600
5м
D
С

16.

Упражнения по планиметрии на готовых чертежах
В
Найдите периметр ромба. EA = 1 м
F
А
С
1м
Е
D

17.

Упражнения по планиметрии на готовых чертежах
В
Найдите все неизвестные углы.
?0
70
55
?0
55
?0
А 5?50
35?0
200
S
70
?0
D
С

18.

Один из углов ромба 1500, а его высота равна 3,5 см.
найдите периметр ромба.
В
S
А
1500
D
С

19.

№ 433.
Из вершины В ромба АВСD проведены перпендикуляры ВК
и ВМ к сторонам AD и DC. Докажите, что луч ВD является
биссектрисой угла КВМ.
В
С
А
М
К
D

20.

Сторона ромба равна одной из
его диагоналей. Чему равна
величина большего угла этого
ромба.
В
600
А
600
600
D
С

21.

Квадратом называется прямоугольник, у
которого все стороны равны.
В
С
А
D
Прямоугольник является
параллелограммом, поэтому и
квадрат является
параллелограммом, у которого
все стороны равны, т.е.
ромбом. Отсюда следует, что
квадрат обладает всеми
свойствами прямоугольника и
ромба.
10. Все углы квадрата прямые.
20. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны,
точкой пересечения делятся пополам и делят углы
квадрата пополам.

22.

Упражнения по планиметрии на готовых чертежах
Найдите периметр квадрата.
В
С
6мм
3мм
300
60
А
Е
D

23.

Упражнения по планиметрии на готовых чертежах
Найдите все неизвестные угла квадрата.
В
F
?0
90
1300
С
70
?0
45
?0
?0
45
85
?0
?0 O 9?50
95
?0
85
4?50
?
450
А
?0 130
70
?? 0
Е
D

24.

Точка М расположена во внутренней области квадрата
АВСD так, что расстояния от нее до сторон АВ, ВС и СD
пропорциональны соответственно числам 2, 5 и 7, а
расстояние от м до прямой АD равно 4 м. Найдите
периметр этого квадрата.
С
В
5х
2х
М
7х
4м
А
D
Р–?