Производная сложной функции

1. Производная сложной функции

2.

Рассмотрим функции
f t sin t
g x x 2 x 5
2
y sin x 2 2 x 5
y f g x
Внешняя
функция
Внутренняя
функция

3.

Примеры:
1) y 2 x 1
6
Внешняя функция
f t6
Внутренняя функция t 2x 1
1
2) y
sin 2 x
1
2
sin x
2
sin x
y sin x
Внешняя функция
f t 2
2
Внутренняя функция
t sin x

4.

3) y tg 2 x
4
Внешняя функция
Внутренняя функция
f tgt
t 2x
4

5.

Определить внутреннюю и внешнюю
функции для данной сложной функции:
1) y 4 x 1
4
t 4x 1 - внутренняя функция
f t
4 - внешняя функция

6.

Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
2) y sin 2 x
t 2 x - Внутренняя функция
f sin t - Внешняя функция

7.

Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
1
3) y
3
x 1
y x 1
3
t x 1 - Внутренняя функция
f t
3
- Внешняя функция

8.

Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
4) y cos x
2
y cos x
2
t cos x - Внутренняя функция
f t
2
- Внешняя функция

9.

Правило нахождения производной сложной функции
Производная сложной функции равна
производной внешней функции
на производную внутренней функции
1) y cos 4 x
t 4 x
f cos t
y f t
y cos t 4 x sin t 4 4 sin t
4 sin 4x

10.

2) y ctg 2 x
3
t 2 x
3
f ctgt
y f t
1
2
y ctgt 2 x 2 2 2
3
sin t
sin t
2
sin 2 x
3
2

11.

3) y sin x
y sin x
t sin x
2
f t
y f t
2
2
sin x 2t cos x
y t
2
2 sin x cos x sin 2x

12.

4) y x 2 х
2
4
t x 2 х
y
f
t
f t 4
4
2
3
3
y t x 2 х 4t 2 x 2 8t x 1
2
8 х 1 x 2 х
2
3

13.

Найти производные функций:
1) y 8 1 4 x
1) y 1 4 x
3
1
2) y
2) y
2
3
x
2
3x 2
3) y 3 sin 3 x
3) y cos 3 x
4
4) y ctg 4 x 3 4) y 2
2
sin 4 x 3

14.

y 0
Решить уравнение
1) y cos 2 x x 1
y cos 2 x x 1 cos 2 x x 1
t 2 x
f cos t
cos t 2 x 1 0 sin t 2 1
2 sin t 1 2 sin 2 x 1

15.

2 sin 2x 1 0
2 sin 2x 1
2 sin 2x 1
sin t a
1
sin 2 x
2
t 1 arcsin a k , k Z
k
1
2 x 1 arcsin k
2
k
k
k
,k Z
2 x 1 k , x 1
12 2
6
k

16.

2) y sin 4 x 2 x 3
y 0
y sin 4 x 2 x 3 sin 4 x 2 x 3
t 4 x
f sin t
sin t 4 x 2 0 cos t 4 2 4 cos t 2
4 cos 4x 2
4 cos 4x 2 0
1
cos 4 x
2

17.

1
cos 4 x
2
cos t a
t arccos a 2 n, n Z
1
4 x arccos 2 n,
2
4x
3
2 n
x
12
n
2
,n Z

18.

x x
3) y sin
2 4
y 0
x x
x x
y sin sin
2 4
2 4
x
x 1
t ,
sin t x
2
2 4
f sin t
1 1 1
1
cos t cos t
2 4 2
4
1
x 1
cos
2
2 4

19.

1
x 1
cos 0
2
2 4
1
x
1
cos
2
2
4
x
1
cos
2
2
x
1
arccos 2 n
2
2
x
2
2 n
2
3
4
x
4 n, n Z
3