Сложная функция. Производная сложной функции

1.

Сложная функция.
Производная сложной
функции.

2.

Сложная функция – это функция, у которой
в качестве аргумента выступает другая
функция
y f g x
Внешняя
функция
Внутренняя
функция
Если обозначить внутреннюю функцию
g(x) = t, то сложная функция примет вид:
y = f (t), где t = g(x)

3.

Например, рассмотрим функции
f t sin t
g x x 2 x 5
2
Составим из них сложную функцию
y f g x
Внешняя
функция
Внутренняя
функция
sin t
x2 – 2x + 5
Получаем:
y sin x 2 x 5
2

4.

А теперь наоборот:
1) y 2 x 1
6
6
Внешняя функция f (t ) t
Внутренняя функция
t 2x 1
1
1
2
2) y
;
sin x
2
2
sin x sin x
y sin x
Внешняя функция
f (t ) t 2
2
Внутренняя функция
t sin x

5.

3) y tg 2 x
4
Внутренняя функция
t 2x
Внешняя функция
f (t ) tgt
4

6.

Определить внутреннюю и внешнюю
функции для данной сложной функции:
1) y 4 x 1
4
t 4x 1 - внутренняя функция
f (t ) t
4
- внешняя функция

7.

Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
2) y sin 2 x
t 2x
- Внутренняя функция
f (t ) sin t - Внешняя функция

8.

Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
y x 1
3
1
3) y
3
x 1
t x 1
f (t ) t
- Внутренняя функция
3
- Внешняя функция

9.

Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
4) y cos x
2
t cos x
f (t ) t
2
y cos x
2
- Внутренняя функция
- Внешняя функция

10.

Правило нахождения производной сложной функции
Производная сложной функции равна
производной внешней функции
на производную внутренней функции
1) y cos 4 x
y f (t ) t
t 4 x
f (t ) cos t
y cos t 4 x sin t 4 4 sin t
= - 4 sin4x

11.

2) y ctg 2 x
3
t 2 x
y f (t ) t
3
f (t ) ctgt
1
2
y ctgt 2 x 2 2 2
3
sin t
sin t
2
sin 2 x
3
2

12.

3) y sin x
2
t sin x
2
f (t ) t
y t
2
y sin x
2
y f (t ) t
sin x 2t cos x
2 sin x cos x sin 2x
по формуле синуса
двойного угла

13.

4) y x 2 х
2
4
t x 2 х
y
f
(
t
)
t
f (t ) t 4
4
2
3
3
y t x 2 х 4t 2 x 2 8t x 1
2
8 х 1 x 2 х
2
3

14.

Найти производные для функций
(самостоятельно записать решение):
Ответы:
1) y 1 4 x
1) y 8 1 4 x
1
2) y
3x 2
3) y cos 3 x
3
2) y
2
3x 2
3) y 3 sin 3 x
2
4) y ctg 4 x 3
4
4) y 2
sin 4 x 3