Сложная функция. Производная сложной функции

1.

Сложная функция.
Производная сложной
функции.

2.

Рассмотрим функции
f t sin t
t x x 2 x 5
2
y sin x 2 2 x 5
y f t x
Внешняя
функция
Внутренняя
функция

3.

Примеры:
1) y 2 x 1
6
Внешняя функция
Внутренняя функция
1
2) y
sin 2 x
f t6
t 2x 1
1
2
sin x
2
sin x
y sin x
Внешняя функция
f t 2
2
Внутренняя функция
t sin x

4.

3) y tg 2 x
4
Внешняя функция
Внутренняя функция
f tgt
t 2x
4

5.

Определить внутреннюю и внешнюю
функции для данной сложной функции:
1) y 4 x 1
4
t 4x 1 - внутренняя функция
f t
4 - внешняя функция

6.

Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
2) y sin 2 x
t 2x
- Внутренняя функция
f sin t - Внешняя функция

7.

Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
1
3) y
3
x 1
t x 1
f t
3
y x 1
3
- Внутренняя функция
- Внешняя функция

8.

Определить внутреннюю и внешнюю
функцию для данной сложной функции:
4) y cos x
2
t cos x
f t
2
y cos x
2
- Внутренняя функция
- Внешняя функция

9.

Правило нахождения производной сложной функции
Производная сложной функции равна
производной внешней функции
на производную внутренней функции
1) y cos 4 x
t 4 x
f cos t
y f t
y cos t 4 x sin t 4 4 sin t
4 sin 4 x

10.

2) y ctg 2 x
3
t 2 x
3
f ctgt
y f t
1
2
y ctgt 2 x 2 2 2
3
sin t
sin t
2
sin 2 x
3
2

11.

3) y sin x
y sin x
t sin x
2
f t
y f t
2
y t
2
2
sin x 2t cos x
2 sin x cos x sin 2x

12.

4) y x 2 х
2
4
t x 2 х
y
f
t
f t 4
4
2
3
3
y t x 2 х 4t 2 x 2 8t x 1
2
8 х 1 x 2 х
2
3

13.

Найти производные функций:
1) y 1 4 x
1) y 8 1 4 x
1
2) y
3x 2
3) y cos 3 x
3
2) y
2
3x 2
3) y 3 sin 3 x
2
4) y ctg 4 x 3
4
4) y 2
sin 4 x 3

14.

y 0
Решить уравнение
1) y cos 2 x x 1
y cos 2 x x 1 cos 2 x x 1
t 2 x
f cos t
cos t 2 x 1 0 sin t 2 1
2 sin t 1 2 sin 2x 1

15.

2 sin 2x 1 0
2 sin 2x 1
2 sin 2x 1
1
sin 2 x
2
...

16.

ДЗ: