Понятие интеграла

1.

Понятие интеграла
Учитель математики
МБОУ ВСШ №27 г. Новосибирск
Баранская Ирина Александровна

2.

Площадь криволинейной трапеции можно
вычислить по формуле
где F(x) – одна из первообразных для функции
f(x)

3.

Разность F(b) – F(a) называют интегралом от
функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначают:
b
f
x
dx
a
(читается: «Интеграл от а до b эф от икс дэ икс»),

4.

b
f
x
dx
a
знак интеграла
f(x) - подынтегральная функция
dx – элемент интегрирования
a – нижний предел интегрирования
b – верхний предел интегрирования

5.

Т.е.
b
f
x
dx
F
(
b
)
F
(
a
)
a
Данную формулу называют формулой
Ньютона-Лейбница в честь создателей
дифференциального и интегрального
исчисления.

6.

При вычислении интегралов удобно
ввести обозначение:
F (b) F (a ) F ( x)
b
a
Тогда формулу Ньютона-Лейбница
можно записать в виде:

7.

Например:
х 1
1 2
а ) х dx
2
5
5
5
2
1
5
4
1 32
33
6,6
5 5
5
5
5

8.

Например:
х 4
2
б ) 8 2 х х dx 8 х х 2
3
2
64
8
32 16 16 4
3
3
4
2
3
64
8
72
48 12 60
3
3
3
60 24 36

9.

Например:
3
3
2
dx
x 3
3
в ) 3 x dx
1
2
x
1
1
1 1
1 1
1 3
2 1
18 2
18 2
2x
1 9
8
4
18 18 18 9

10.

Например:
1
4
г ) sin 3 х dx cos 3x
3
4
4
0
0
4
1 3
cos
cos 0
3 4 4
4
1
1 0 2 2
cos cos
6
3
2
3 2
4

11.

Например:
х
x
x
д) 2 sin сos dx sin 2 dx
2
2
2
0
0
0
0
sin xdx cos x
1 1 2
cos cos 0

12.

Вычислите интегралы:
5
1) 3dx
2
3
2) х dx
3
1
2
3) 2 х 3 dx
3
1
4) 5 4 х dx
2

13.

Вычислите интегралы:
2
5) 2 х 3 x dx
0
1
2
6) 2 х 3 x 1 dx
2
3
7) х 2 sin x dx
2
2
0
8) х 3соsx dx
0
3

14.

Вычислите интегралы:
7
3
dx
9) 2
x
2
2
dx
10)
2
1 2 х 1
11)
2
4
dx
x 2
2
12) sin 2 xdx
4

15.

Вычислите интегралы:
2
3
x
x
15) sin cos dx
4
4
0
x
13) 3соs dx
2
0
4
14) сos x sin x dx
0
2
2
2
2
16) sin x cos xdx
0

16.

№
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
ответ
9
20
-20
11
12
2
2
3 3
4
4
64
3
3
№
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
ответ
1
6
1
15
8
1
2
6
1
2
1
1
2
2
3

17.

Литература:
Алгебра и начала математического анализа.
10-11 классы : учеб. Для общеобразоват.
организаций : базовый и углубл. уровни /
[Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва
и др.]. – 5-е изд. – М. : Просвещение, 2018.
.