Системы линейных алгебраических уравнений

1. Системы линейных алгебраических уравнений

2.

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

3.

Решение системы линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим некоторый набор значений переменных xi, xi= i.

4.

Матричная форма записи системы линейных алгебраических
уравнений.

5.

Элементарные преобразования системы линейных
алгебраических уравнений.
Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы А|B
СЛАУ соответствуют преобразования уравнений.
Исходная система и система, полученная из нее с помощью
элементарных преобразований, имеют одно и то же решение.

6.

СЛАУ равносильны при следующих преобразованиях:

7.

Решение системы уравнений AX=B (основной случай)
Пусть имеется СЛАУ с квадратной матрицей A, причем определитель
этой матрицы отличен от 0.
Метод обратной матрицы
состоит в вычислении решения по формуле
Метод с использованием расширенной матрицы

8.

Решение системы уравнений AX=B (основной случай)
Метод с использованием формул Крамера.

9.

Решение СЛАУ общего вида методом Гаусса.

10.

Из расширенной матрицы А|B после преобразования к
треугольному виду
отбросив нулевые строки можно получить матрицы вида:

11.

Система линейных алгебраических уравнений может не иметь
решения

12.

Система линейных алгебраических уравнений может иметь
единственное решение.

13.

Система линейных алгебраических уравнений
может иметь бесконечно много решений.

14.

Ответ на вопрос о существовании решений СЛАУ можно
получить также с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
Ранг матрицы равен числу линейно-независимых строк (столбцов)
Ранг матрицы можно определить, приведя ее к ступенчатому виду с
помощью элементарных преобразований.
Если в расширенной матрице СЛАУ A|B есть линейно-зависимая
строка, с помощью элементарных преобразований можно получить
матрицу (а значит, равносильную СЛАУ), где соответствующая
строка будет состоять целиком из нулей.
Если в матрице A есть линейно-зависимая строка, можно
преобразовать эту матрицу так, чтобы строка с соответствующим
номером обратилась в нулевую.

15.

Для расширенной матрицы, приведенной к ступенчатому виду
а) Rang(A) Rang(A|B)
б, в) Rang(A)=Rang(A|B)

16.

Совместность СЛАУ и число линейно-независимых уравнений.
Число уравнений m в системе может быть больше, меньше или
равно числу переменных n, но с помощью элементарных преобразований из
системы можно исключить все линейно-зависимые уравнения и получить
равносильную систему, в которой число уравнений равно рангу r исходной
расширенной матрицы.
В случае а) система несовместна Rang(A) Rang(A|B)=r
В случае б) совместна, число линейно-независимых уравнений
r=Rang(A)=Rang(A|B)=n
В случае б) совместна, число линейно-независимых уравнений
r=Rang(A)=Rang(A|B) n

17.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений.

18.

Свойства однородной системы уравнений.

19.

.

20.

Фундаментальная система решений.

21.

Построение общего решения однородной СЛАУ (r<n).

22.

.
Величины xij - коэффициенты, полученные при
преобразованиях элементов aij матрицы А, позволяющих
выразить базисные переменные xi через свободные

23.

Частные решения однородной СЛАУ (r<n).
Если подобным образом поступить для всех n-r свободных переменных,
можно построить n-r частных решений

24.

Матрица частных решений СЛАУ (r<n). .

25.

Общее решение однородной СЛАУ (r<n). .

26.

Общее решение неоднородной системы линейных
алгебраических уравнений.
Неоднородная СЛАУ - это СЛАУ с B 0.

27.

Далее, расширенную матрицу приведем к ступенчатому виду, и выразим
базисные переменные через свободные

28.

Выражаем базисные переменные через свободные.

29.

Базисное решение неоднородной СЛАУ.

30.

Общее решение неоднородной СЛАУ.

31.

.