Системы линейных уравнений

1. Системы линейных уравнений

Элементы высшей математики
Линейная алгебра

2. Система линейных алгебраических уравнений

содержащая
m уравнений
n неизвестных

3. Система из 3 уравнений с 3 неизвестными

Система линейных
алгебраических уравнений
СЛАУ

4. Матрица системы

Расширенная матрица системы

5. Столбец неизвестных

Столбец свободных членов

6. Совместная система

СЛАУ, которая имеет хотя бы одно
решение
Несовместная система
Не имеет решений

7. Теорема Кронекера-Капелли

СЛАУ совместна ранг
расширенной матрицы
системы равен рангу
основной матрицы системы

8. Теорема

Если ранг совместной системы
равен числу неизвестных, то
система имеет единственное
решение
rang(A) = n

9. Теорема

Если ранг совместной системы
меньше числа неизвестных, то
система имеет бесчисленное
множество решений
rang(A) < n

10. Метод обратной матрицы

МЕТОД ОБРАТНОЙ
МАТРИЦЫ

11. Матричный метод

12. Метод Крамера

МЕТОД КРАМЕРА

13. Габриэль Крамер

Швейцарский
математик
Один из создателей
линейной алгебры
1704 1752

14. Формулы Крамера

Определитель матрицы системы

15. Дополнительные определители

Столбец коэффициентов при
соответствующей неизвестной
заменяется столбцом
свободных членов системы

16. Формулы Крамера

17. Формулы Крамера

18. Формулы Крамера

19. Решение системы

20. Метод гаусса

МЕТОД ГАУССА

21. Иоганн Карл Фридрих Гаусс

Немецкий
математик, механик,
физик, астроном и
геодезист
1777 1855
«Король
математики»

22. Теорема о приведении матриц к ступенчатому виду

Любую матрицу путём
элементарных преобразований
только над строками можно
привести к ступенчатому виду

23. Метод Гаусса

Метод последовательного
исключения переменных
с помощью элементарных
преобразований СЛАУ приводится
к равносильной системе
треугольного вида
из неё последовательно, начиная с
последних, находятся все
переменные системы

24. Прямой ход

Элементарными
преобразованиями над строками
систему приводят к ступенчатой
или треугольной форме,
либо устанавливают, что система
несовместна

25. Обратный ход

Находим значения переменных,
начиная с последнего уравнения

26. Достоинства

Менее трудоёмкий
Позволяет установить
совместность
Позволяет найти ранг
матрицы