Similar presentations:
Многочлены над полем действительных чисел
1. АЛГЕБРА (4-й семестр)
2023-24учебный год
2. МНОГОЧЛЕНЫ НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ
ЛЕКЦИЯ 93. § 2. Многочлены над полем действительных чисел
Основными задачами этого разделаявляются рассмотрение вопросов:
1. Сопряжённые корни многочленов
2. Неприводимые над R многочлены
3. Отделение действительных корней
многочлена и метод Штурма
4. 1. Сопряжённые корни и неприводимые многочлены
Для комплексного числа z сопряжённым будетчисло z , если:
z x iy
z x iy
Пользуясь свойствами сопряжённости, которые
можно распространить на любого число
слагаемых и сомножителей, для любого
многочлена с действительными коэффициентами
n
n 1
f
(
z
)
a
z
a
z
a1 z a0
имеем:
n
n 1
n
f ( z ) a n z a n 1 z
n 1
a1 z a0 f ( z )
(1)
5.
1. Сопряжённые корни и неприводимые многочленыТеорема 1. Если комплексное число
z0=x0+iy0 является корнем многочлена
f(z)=anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0 с
действительными коэффициентами, то и
сопряженное к нему число ž0=x0–iy0 также
является корнем этого многочлена.
◘ Пусть z0 – корень f(z). Тогда
f(z0)=anz0n+an-1z0n-1+…+a1z0+a0
и, следовательно, f ( z0 ) 0 . Но в силу (1)
n
n 0
n 1
n 1 0
f ( z0 ) a z a z a1 z 0 a0 f ( z 0 ) 0
т.е., ž0 – корень многочлена f(z). ◙
6.
1. Сопряжённые корни и неприводимые многочленыТеорема 2. Неприводимыми над полем R являются
лишь многочлены первой степени и второй степени с
отрицательным дискриминантом.
◘ Пусть p(x) - любой неприводимый многочлен из R[x],
степень которого n>1. Достаточно доказать, что его
степень равна 2.
Пусть z0 - любой корень многочлена p(x). Этот корень не
может быть действительным, так как в противном
случае имели бы p(x)=(x-z0)q(x), где q(x) – многочлен
положительной степени из R[x], т.е. p(x) был бы
приводим над полем R.
Итак, z0 – мнимый корень и тогда (по теореме 1) ž0 тоже
является корнем многочлена p(x). Значит,
p( x) ( x z0 ) ( x z 0 ) q( x) x2 ( z0 z 0 ) x z0 z 0 q( x)
7.
1. Сопряжённые корни и неприводимые многочленыp( x) ( x z0 ) ( x z 0 ) q( x) x2 ( z0 z 0 ) x z0 z 0 q( x)
Многочлен в квадратных скобках
принадлежит R[x], так как числа z0+ž0 и z0ž0 –
действительные.
А поскольку p(x)єR[x], по теореме о делении
с остатком частное q(x) тоже принадлежит
R[x].
В силу неприводимости p(x) многочлен q(x)
обязан иметь нулевую степень и,
следовательно, p(x) имеет вторую степень.
Понятно, что в этом случае дискриминант
многочлена p(x) отрицателен. ◙
8.
1. Сопряжённые корни и неприводимые многочленыСледствие 1. Любой многочлен f(x)єR[x]
разлагается в произведение неприводимых
над полем R многочленов 1-ой и 2-ой
степени (или только первой, или только
второй):
k
m
i 1
k 1
f ( x) a ( x i ) ( x bk x ck )
2
◙
9.
1. Сопряжённые корни и неприводимые многочленыk
m
i 1
k 1
f ( x) a ( x i ) ( x 2 bk x ck )
Очевидно, каждому линейному множителю
соответствует действительный корень f(x), а
каждому множителю 2-ой степени – пара
сопряженных мнимых корней.
Отсюда заключаем, что многочлен из R[x]
может иметь только чётное число мнимых
корней.
10.
1. Сопряжённые корни и неприводимые многочленыСледствие 2. Многочлен нечётной степени
с действительными коэффициентами
имеет по крайней мере один
действительный корень.
◘ Мнимых корней – чётное число, значит
действительных – нечётное, т.е. хотя бы
один, так как всего корней – нечётное число.
◙
11.
1. Сопряжённые корни и неприводимые многочленыПример 1. Многочлен f(x)=x5+6x-9
Приводим?
приводим
над полем R,
так как имеет по крайней мере один
Почему?
действительный корень.
Пример 2. Многочлен f(x)=4x6+9x2+1
неприводим
над полем R,
Приводим?
так как не имеет действительных корней,
Почему?
ведь f(x)>0 при любом
xєR.
12. 2. Отделение действительных корней
Уравнения степени выше 4 неразрешимы врадикалах. Поэтому большую роль играют
приближенные методы решения алгебраических
уравнений. Обычно при этом выделяют 3 этапа:
Нахождение границ действительных корней, т.е.
указание такого промежутка (a,b), в котором
находятся все действительные корни многочлена.
Отделение корней, т.е. нахождение таких
интервалов (ai,bi), в каждом из которых лежит
только один действительный корень.
Приближенное вычисление самих корней, т.е.
построение последовательности, сходящейся к
тому или иному корню.
Мы рассмотрим только два этапа.
13. 2. Отделение действительных корней
Лемма 1. (О модуле старшего члена). Еслиf(z)=anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0 – многочлен
степени n 1 из кольца C[z] и
A=max{|a0|,|a1|,…,|an-1|}, то при любом K R+
из неравенства
A
z K
1
an
(2)
вытекает неравенство:
an z
n
K a0 a1 z a n 1 z
n 1
(3)
14. 2. Отделение действительных корней
◘ Имеем:a0 a1 z an 1 z
n 1
a0 a1 z ... an 1 z
A 1 z ... z
n 1
A z 1
z 1
n
n 1
Отсюда при |z|>1 для любого K R+ получаем, что
n
K a0 a1 z an 1 z
n 1
z
KA
z 1
(4)
A
z K
1
an
b1 1 q n
Sn
1 q
A max( a0 , a1 ,..., an 1 )
15. 2. Отделение действительных корней
nK a0 a1 z an 1 z
n 1
z
KA
(4)
z 1
С другой стороны, имеем цепочку
равносильностей:
KA
z
n
z 1
an z
n
KA
an
z 1
(5)
KA
z 1
an
KA
z
1
an
16. 2. Отделение действительных корней
Az K
1 (2)
an
n
z
n 1
K a0 a1 z an 1 z KA
z 1
Таким образом, если неравенство (2)
выполнено, то ввиду цепочки (5), имеем:
a n z KA
n
(4)
z
n
z 1
Тогда в силу (4) получаем требуемое:
a n z n K a0 a1 z a n 1 z n 1
◙
17. 2. Отделение действительных корней
Покажем способ применения леммы длянахождения границ действительных корней
многочлена f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 R[x].
A
1
По лемме имеем: если x
an
тогда
a n x n a n 1 x n 1 ... a1 x a0
где A max( a0 , a1 ,..., an 1 )
Следовательно, при таких x
f ( x) an x n an 1 x n 1 a0 0
f ( x) 0
18. 2. Отделение действительных корней
Отсюда следует, что все действительные корниf(x) находятся в промежутке (–M,M), где
A
M
1
an
Таким образом мы указали один из способов (не
самый точный) для нахождения границ
действительных корней.
Пример 3. Найти границы действительных
корней многочлена f(x)=2x5 – 3x2 + 6.
Имеем A = 6, |a5| = 2, M = 6/2 + ?1 = 4.
Таким образом, все действительные корни f(x)
находятся в промежутке (–4,4). ◙
19. 2. Отделение действительных корней
Существует много способов отделениядействительных корней многочлена f(x) с
действительными коэффициентами.
Один из этих способов – графический –
заключается в том, что используя аппарат
математического анализа, исследуют функцию
f(x) и приближенно рисуют её график. При этом
возникает возможность указать приближенно и
промежутки, в которых находятся корни.
Разумеется, используя этот метод, мы не
гарантированы от ошибок.
20. 2. Отделение действительных корней
Наиболее безупречным в теоретическомотношении является метод Штурма, имеющий
чисто алгебраический характер. Изложим суть
этого метода (без доказательства основной
теоремы Штурма).
Рассмотрим некоторую систему чисел,
например, 2, –7, –11, 13, –14. Здесь знаки
чередуются следующим образом: +, –, –, +, – .
Число перемен знаков в этой системе равно 3.
Если в системе встречается нуль, то он не
принимается во внимание (не имеет знака).
Например, в системе 3, –2, 0, 0, –3, 0, 5 число
перемен знаков равно 2.
21. 2. Отделение действительных корней
Применим к многочлену f(x) и его производнойf’(x) алгоритм Евклида, но при этом остатки
будем брать с противоположными знаками:
f ( x) f ' ( x) q1 ( x) f 2 ( x)
'
f ( x) f 2 ( x) q 2 ( x) f 3 ( x)
f 2 ( x) f 3 ( x) q3 ( x) f 4 ( x)
f m 2 ( x) f m 1 ( x) q m 1 ( x) f m ( x), f m ( x) НОД f ' , f .
22. 2. Отделение действительных корней
Система многочленовf ( x), f ' ( x), f 2 ( x), , f m ( x)
(6)
называется системой функций Штурма для
многочлена f(x).
В дальнейшем будем рассматривать только
многочлены, не имеющие кратных корней.
Известно, что такие многочлены взаимно просты
со своей производной и поэтому fm(x)=c (const).
Обозначим через w(a) число перемен знаков в
системе чисел:
'
f (a ), f (a ), f 2 (a ), , f m
23. 2. Отделение действительных корней
Теорема Штурма.Покажем
примере,
как, используя
теорему
Если на
a<b,
то w(a)
w(b) и число
Штурма, можно определить корни многочлена.
действительных
корней многочлена f(x)
Замечание. Многочлены ряда Штурма можно
с точностью
до положительных
внаходить
промежутке
[a,b]
равно w(a) – w(b).
множителей, т.е., при вычислениях можно
умножать и делить многочлены на числа, но
только на положительные, так как знак
многочленов играет в этом методе
существенную роль.
24. 2. Отделение действительных корней
Пример 4. Отделить действительные корнимногочлена f(x)=x3 – 10x + 2.
◘ M = A / |an| + 1 = 10/1 + 1 = 11.
Т.образом, корни находятся в промежутке (-11,11).
Далее находим производную f’(x)=3x2 – 10.
Затем применяя алгоритм Евклида, находим
| 10 x 3
систему многочленов Штурма: 3x 2 10
x 3 10 x 2 | 3x 2 10
30 x 2 100 || 3 x 9
30 x 2 9 x
9 x 100
3x 3 10 x
90 x 1000
20 x 6
90 x 27
973
Таким образом, ряд функций Штурма:
3x 3 30 x 6 || x
x3–10x+2, 3x2–10, 10x–3, 1.
25. 2. Отделение действительных корней
Составим таблицу:x
f(x)
f’(x)
10x-3
1
w(x)
вывод
-11
–
+
–
+
3
На интервале
(-11,11) есть три
0
действительных
корня
2
На интервале
(-11,0) есть один
корень, а на (0,11)
есть два корня
0
На интервале
(0,5) есть два
корня, а на (5,11)
корней нет
1
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть
по одному корню
11
0
5
3
+
+
+
–
+
–
+
+
+
–
+
+
+
+
+
+
26. 2. Отделение действительных корней
Составим таблицу:x
f(x)
f’(x)
10x-3
1
w(x)
вывод
-11
–
+
–
+
3
На интервале
(-11,11) есть три
0
действительных
корня
2
На интервале
(-11,0) есть один
корень, а на (0,11)
есть два корня
0
На интервале
(0,5) есть два
корня, а на (5,11)
корней нет
1
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть
по одному корню
11
0
5
3
+
+
+
–
+
–
+
+
+
–
+
+
+
+
+
+
27. 2. Отделение действительных корней
Составим таблицу:x
f(x)
f’(x)
10x-3
1
w(x)
вывод
-11
–
+
–
+
3
На интервале
(-11,11) есть три
0
действительных
корня
2
На интервале
(-11,0) есть один
корень, а на (0,11)
есть два корня
0
На интервале
(0,5) есть два
корня, а на (5,11)
корней нет
1
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть
по одному корню
11
0
5
3
+
+
+
–
+
–
+
+
+
–
+
+
+
+
+
+
28. 2. Отделение действительных корней
Составим таблицу:x
f(x)
f’(x)
10x-3
1
w(x)
вывод
-11
–
+
–
+
3
На интервале
(-11,11) есть три
0
действительных
корня
2
На интервале
(-11,0) есть один
корень, а на (0,11)
есть два корня
0
На интервале
(0,5) есть два
корня, а на (5,11)
корней нет
1
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть
по одному корню
11
0
5
3
+
+
+
–
+
–
+
+
+
–
+
+
+
+
+
+
29. 2. Отделение действительных корней
Составим таблицу:x
f(x)
f’(x)
10x-3
1
w(x)
вывод
-11
–
+
–
+
3
11
+
+
+
+
0
На интервале
(-11,11) есть три
действительных
корня
0
5
3
+
+
–
–
+
+
–
+
+
+
+
+
2
На интервале
(-11,0) есть один
корень, а на (0,11)
есть два корня
0
На интервале
(0,5) есть два
корня, а на (5,11)
корней нет
1
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть
по одному корню
30. 2. Отделение действительных корней
Составим таблицу:x
f(x)
f’(x)
10x-3
1
w(x)
вывод
-11
–
+
–
+
3
11
+
+
+
+
0
На интервале
(-11,11) есть три
действительных
корня
0
5
3
+
+
–
–
+
+
–
+
+
+
+
+
2
На интервале
(-11,0) есть один
корень, а на (0,11)
есть два корня
0
На интервале
(0,5) есть два
корня, а на (5,11)
корней нет
1
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть
по одному корню
31. 2. Отделение действительных корней
Составим таблицу:x
f(x)
f’(x)
10x-3
1
w(x)
вывод
-11
–
+
–
+
3
11
+
+
+
+
0
На интервале
(-11,11) есть три
действительных
корня
0
5
3
+
+
–
–
+
+
–
+
+
+
+
+
2
На интервале
(-11,0) есть один
корень, а на (0,11)
есть два корня
0
На интервале
(0,5) есть два
корня, а на (5,11)
корней нет
1
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть
по одному корню
32. 2. Отделение действительных корней
Составим таблицу:x
f(x)
f’(x)
10x-3
1
w(x)
вывод
-11
–
+
–
+
3
11
+
+
+
+
0
На интервале
(-11,11) есть три
действительных
корня
0
5
3
+
+
–
–
+
+
–
+
+
+
+
+
2
На интервале
(-11,0) есть один
корень, а на (0,11)
есть два корня
0
На интервале
(0,5) есть два
корня, а на (5,11)
корней нет
1
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть
по одному корню
33. 2. Отделение действительных корней
Составим таблицу:x
f(x)
f’(x)
10x-3
1
w(x)
вывод
-11
–
+
–
+
3
11
+
+
+
+
0
На интервале
(-11,11) есть три
действительных
корня
0
5
3
+
+
–
–
+
+
–
+
+
+
+
+
2
На интервале
(-11,0) есть один
корень, а на (0,11)
есть два корня
0
На интервале
(0,5) есть два
корня, а на (5,11)
корней нет
1
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть
по одному корню
34. 2. Отделение действительных корней
Составим таблицу:x
f(x)
f’(x)
10x-3
1
w(x)
вывод
-11
–
+
–
+
3
11
+
+
+
+
0
На интервале
(-11,11) есть три
действительных
корня
0
5
3
+
+
–
–
+
+
–
+
+
+
+
+
2
На интервале
(-11,0) есть один
корень, а на (0,11)
есть два корня
0
На интервале
(0,5) есть два
корня, а на (5,11)
корней нет
1
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть
по одному корню
35. 2. Отделение действительных корней
Составим таблицу:x
f(x)
f’(x)
10x-3
1
w(x)
вывод
-11
–
+
–
+
3
11
+
+
+
+
0
На интервале
(-11,11) есть три
действительных
корня
0
5
3
+
+
–
–
+
+
–
+
+
+
+
+
2
На интервале
(-11,0) есть один
корень, а на (0,11)
есть два корня
0
На интервале
(0,5) есть два
корня, а на (5,11)
корней нет
1
На интервалах
(0,3) и (3,5) есть
по одному корню
36. 2. Отделение действительных корней
Таким образом, корни находятся на промежутках(–11,0), (0,3), (3,5). Можно сузить эти промежутки,
учитывая, что на концах промежутка, имеющего
корни, f(x) принимает значения с
противоположными знаками:
f(–5)= –125+50+2<0,
f(0)>0 – корень принадлежит (–5,0);
f(–3)= –27+30+2>0 – корень принадлежит (–5,–3);
f(–4)=–64+40+2<0,
f(–3)>0 – корень принадлежит (–4,–3).
◙