Многочлены над числовыми полями. Лекция 10

1. АЛГЕБРА (4-й семестр)

2023-24
учебный год

2. МНОГОЧЛЕНЫ НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ

ЛЕКЦИЯ 10

3. § 3. Многочлены над полем рациональных чисел

Основными задачами этого параграфа
являются рассмотрение вопросов:
1. Целые и рациональные корни
многочленов из Q[x].
2. Примитивные многочлены и связь между
приводимостью многочленов над полем Q
и над кольцом Z.
3. Признаки приводимости и неприводимости
в кольце Q[x] (критерий Эйзенштейна и
метод Кронекера).

4. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

Пусть
n
n 1
f ( x) an x an 1 x
... ax a0
- некоторый многочлен из Q[x].
Умножив его на общий знаменатель q всех его
коэффициентов, мы получим новый многочлен с
целыми коэффициентами, который имеет те же
корни, что и f(x).
Таким образом, достаточно рассмотреть вопрос о
целых и рациональных корнях многочленов с
целыми коэффициентами.
Поэтому в дальнейшем считаем что многочлен
f(x) имеет целые коэффициенты.

5. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

Теорема 1. Если несократимая дробь l/m (m>0)
является корнем многочлена f(x) с целыми
коэффициентами, то a0÷l и an÷m.
◘ Так как l/m – корень f(x), то
n 1
n
l
l
l
an an 1 ... a1 a0 0
m
m
m
Умножая обе части этого равенства на mn, имеем:
anl n an 1l n 1 ... a1lm n 1 a0 m n 0
Отсюда:
a n l m a n 1l
n
n 1
... a 0 m
n 1
a0 m n l anl n 1 an 1l n 2 m ... a1m n 1
(1)
(2)
Так как НОД(l,m) = 1,то из равенства (2) заключаем
что, a0÷l, а из равенства (1) – an÷m. ◙

6. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

Следствие 1. Целый корень многочлена
f(x) с целыми коэффициентами является
делителем свободного члена. ◙
Следствие 2. Если старший
коэффициент an многочлена f(x) с целыми
коэффициентами равен 1, то все
рациональные корни этого многочлена
целые. ◙
Теорема 1. Если несократимая дробь l/m (m>0) является корнем
многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то a0÷l и an÷m.

7. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

Так как число делителей целых чисел a0 и an
конечно, то и число несократимых дробей вида
l/m, где a0÷l и an÷m тоже конечно.
Путём конечного числа испытаний можно
проверить – какие из этих дробей будут корнями,
а какие нет.
Тем самым мы найдем все рациональные корни
многочлена f(x), или убедимся, что их нет.
Следствия 1 и 2 в некоторых случаях упрощают
эту задачу.

8. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

Пример 1. Найти рациональные корни
многочлена f(x)=3x4+5x3+x2+5x-2.
◘ l = 1, 2 – делители свободного члена;
m = 1,3 – положительные делители старшего
коэффициента;
l/m= ±1, ±2, ±1/3, ±2/3 – кандидаты в корни.
Непосредственной проверкой (используя
схему Горнера) убеждаемся, что
рациональные корни данного многочлена
исчерпываются числами –2 и 1/3. ◙

9. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

Однако число испытаний может оказаться
большим и задача громоздкой.
Чтобы уменьшить число испытаний и отсеять
лишних кандидатов, мы укажем еще одно
необходимое (но недостаточное) условие того,
что несократимая дробь l/m является корнем
многочлена (1).
Теорема 2. Если несократимая дробь l/m (m>0)
является корнем многочлена f(x) с целыми
коэффициентами, то для любого целого числа k,
такого, что l-km 0, f(k) делится на l–km.

10. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

◘ Умножим многочлен f(x) на mn и запишем в виде:
m n f ( x) an (mx) n an 1m(mx) n 1 ... a1m n 1 (mx) a0 m n
Положим mx=y. Тогда
m n f ( x) an y n an 1my n 1 ... a1m n 1 y a0 m n ( y )
причём число x0 является корнем многочлена f(x)
тогда и только тогда, когда число y0=mx0 является
корнем φ(y). Значит, если x0=l/m – корень f(x), то
число y0= m∙(l/m)= l – целый корень многочлена
φ(y), и, следовательно, φ(y)=(y-l)q(y).
Заметим, что если выполнить деление φ(y) на y-l с
помощью схемы Горнера, то окажется, что q(y)
имеет целые коэффициенты.

11. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

Так как φ(y)=(y-l)q(y) и q(y) Z[x], значит, целым
будет и число
(km) mn f (k )
q(km)
(3)
l km
l km
Докажем, что НОД(m, l–km)=1.
l km l
Если бы это было не так, то дробь
k
m
m
l
l1
k
была бы сократимой, т.е.
, m1<m.
m
m1
l
l1
km1 l1
k
Отсюда:
m
m1
m1

12. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

(km)
mn f (k )
(3)
q(km)
l km
l km
l
l1
km1 l1
k
m
m1
m1
Таким образом, вопреки условию теоремы,
дробь l/m оказалась сократимой (ведь m1<m).
Полученное противоречие доказывает, что
НОД(m, l–km)=1.
Из равенства (3) заключаем теперь, что
f (k ) l km
что и требовалось доказать. ◙

13. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

Замечание. Обычно теорему 2 используют при
k=±1. При этом дроби
f ( 1)
f (1)
l m
l m
называют контрольными.
Согласно теореме 2, в случае когда
несократимая дробь l/m (m>0) является корнем
многочлена f(x) с целыми коэффициентами обе
контрольные дроби обязаны быть целыми
числами.
Это позволяет отсеивать значительное число
кандидатов в корни, которые определяются на
основании теоремы 1.

14. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

Пример 2. Найти рациональные корни
многочлена f(x)=2x4-x3+3x2-x-12.
◘ Имеем:
l 1, 2, 3, 4, 6, 12
m 1, 2
l
1 3
1, 2, 3, 4, 6, 12, ,
m
2 2
f (1) 9
f ( 1) 5

15. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

Составим таблицу:
l/m
2
-2
3
-3
4
-4
6
-6
1
2
-12 1/2 -1/2 3/2 -3/ 2
-9/(l-m)
Ц
Ц
Д
Д
Ц
Д
Д
Д
Д
Д
Ц
Ц
Ц
Д
-5/(l+m)
Д
Ц
-
-
Ц
-
-
-
-
-
Д
Ц
Ц
-

16. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

Составим таблицу:
l/m
2
-2
3
-3
4
-4
6
-6
1
2
-12 1/2 -1/2 3/2 -3/ 2
-9/(l-m)
Ц
Ц
Д
Д
Ц
Д
Д
Д
Д
Д
Ц
Ц
Ц
Д
-5/(l+m)
Д
Ц
-
-
Ц
-
-
-
-
-
Д
Ц
Ц
-

17. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

Составим таблицу:
l/m
2
-2
3
-3
4
-4
6
-6
1
2
-12 1/2 -1/2 3/2 -3/ 2
-9/(l-m)
Ц
Ц
Д
Д
Ц
Д
Д
Д
Д
Д
Ц
Ц
Ц
Д
-5/(l+m)
Д
Ц
-
-
Ц
-
-
-
-
-
Д
Ц
Ц
-

18. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

Составим таблицу:
l/m
2
-2
3
-3
4
-4
6
-6
1
2
-12 1/2 -1/2 3/2 -3/ 2
-9/(l-m)
Ц
Ц
Д
Д
Ц
Д
Д
Д
Д
Д
Ц
Ц
Ц
Д
-5/(l+m)
Д
Ц
-
-
Д
-
-
-
-
-
Д
Ц
Ц
-

19. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]

Данные таблицы показывают, что рациональные
корни многочлена f(x) находятся среди чисел –2,
–1/2 и 3/2.
С помощью схемы Горнера вычисляем значения
f(–2), f(–1/2) и f(3/2)
и убеждаемся что число 3/2 является
единственным рациональным корнем данного
многочлена. ◙

20. 2. Примитивные многочлены и связь между приводимостью многочленов над полем Q и над кольцом Z.

Определение 1. Содержанием многочлена
f(x) Z[x] называется НОД его коэффициентов.
Если коэффициенты многочлена f(x) взаимно
простые, то он называется примитивным
многочленом.
Пример 3.
Содержанием многочлена f(x)=3x3-18x+6 является
число 3. Многочлен g(x)=x3-6x+2 является
примитивным.

21. 2. Примитивные многочлены и связь между приводимостью многочленов над полем Q и над кольцом Z.

Теорема 3. Если f(x) Z[x], то он единственным
образом представим в виде:
f ( x) d f1 ( x)
(4)
где d – содержание f(x), а f1(x) - примитивный.
◘ Вынеся НОД коэффициентов многочлена f(x)
за скобки, мы и получим разложение (4).
Единственность вытекает из единственности
НОД. ◙

22. 2. Примитивные многочлены и связь между приводимостью многочленов над полем Q и над кольцом Z.

Теорема 4 (лемма Гаусса). Произведение
примитивных многочленов - тоже
примитивный многочлен.
f ( x) a 0 a1 x ... a n x n
◘ Пусть
g ( x) b0 b1 x ... bm x m
– примитивные многочлены из кольца Z[x] и
f ( x) g ( x) h( x) c0 c1 x ... c n m x n m
Если h(x) не является примитивным, то его
содержание d имеет в своем разложении по
крайней мере один простой делитель p Z.

23. 2. Примитивные многочлены и связь между приводимостью многочленов над полем Q и над кольцом Z.

Так как f и g примитивны, не все их коэффициенты
делятся на p.
Пусть ai и bj – первые коэффициенты в f и g, которые
не делятся на p. Поскольку
ci j a0 bi j a1bi j 1 ... ai 1b j 1 ai b j ai 1b j 1 ... ai j b0
где ak= 0 при k >n, bk= 0 при k >m
Учитывая, что c i j p , и все слагаемые справа,
кроме aibj тоже делятся на p, мы приходим к выводу,
что ( ai b j ) p
Но это невозможно, так как ai и bj не делятся на p, а
p – простое число.
Таким образом, h(x) – примитивный многочлен, что и
требовалось доказать. ◙