2.1. Многочлены от одной переменной
1.1. Многочлены
Определение 1.
Основные формулы сокращенного умножения:
1.2. Деление многочлена на многочлен
Определение 1.
Пример 1.
Деление столбиком.
1.3. Деление многочлена на двучлен
Теорема Безу
Доказательство.
Определение 1.
Следствия из теоремы Безу
1.
Другими словами,
Доказательство.
2.
3.
4.
Пример1.
Решение.
Пример 2.
Решение:
Теорема.
Доказательство.
Примечание.
Пример 4.
Решение.
1. 4. Корни многочлена. Теорема о корнях многочлена.
Определение
Теорема (без доказательства).
231.00K
Category: mathematicsmathematics

Многочлены от одной переменной

1. 2.1. Многочлены от одной переменной

• Многочлены.
• Делимость многочлена.
• Теорема Безу.
• Схема Горнера.
• Корни многочлена.

2. 1.1. Многочлены

• Выражение вида:
a0 x a1 x
n
n 1
a2 x
n 2
... a n 1 x a n
• называется многочленом степени n
одного аргумента (переменной).
• Будем обозначать многочлен одной
переменной через
• P x , Q x ,

3.

• Степенью многочлена называется
наивысшая степень аргумента
многочлена.
• Для указания степени многочлена
будем использовать нижний индекс
заглавной буквы: Pn x .

4.

• Запись
Pn x a0 x n a1 x n 1 a 2 x n 2 ... a n 1 x a n
• представляет собой стандартный вид
многочлена одной переменной х
степени n, где
• a0 , a1 , ..., an 1 , an – коэффициенты
• степеней переменной х.

5. Определение 1.

• Два многочлена
Pn x
и
Qn x
,
• называются равными,
• если их коэффициенты
• при соответствующих степенях х
равны,

6.

• т.е. пусть
n
n 1
n 2
P
x
a
x
a
x
a
x
... a n 1 x a n
• n
0
1
2
,
n
n 1
n 2
• Qn x b0 x b1 x b2 x ... bn 1 x bn ,
• тогда Pn x Qn x
• a0 b0 ,
a1 b1
,…
a n bn
.

7.

• Многочлен Qm x
• называется многочленом степени
• выше чем многочлен Gk x
,
• если наивысший показатель степени
х многочлена Qm x
• больше наивысшего показателя
степени х многочлена Gk x
• т. е.
m k

8.

• Многочлены
Qm x
и
Gk x
• называются многочленами
одинаковой степени, если
m k
.

9. Основные формулы сокращенного умножения:

• (a b) 2 a 2 2ab b 2 ;
• (a b) 2 a 2 2ab b 2 ;
• (a b) a 3a b 3ab b ;
3
3
2
2
3
• (a b) 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 ;
• a 2 b 2 (a b)(a b)
;
• a b (a b)(a ab b );
3
3
2
2
• a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 ) ;

10. 1.2. Деление многочлена на многочлен

• Любой многочлен может быть
представлен в виде:
Pn x Qm x Gk x R x ,
• где
• Qm x
– делитель многочлена P x ,
n
• Gk x – частное от деления многочлена
• Pn x на многочлен Qm x ,

11.

• R x – остаток от деления многочлена
• Pn x на многочлен Qm x .
• Причем, сумма степеней делителя и
частного равна степени делимого,
• т. е.
m k n
,
• степень остатка меньше степени
делителя.

12. Определение 1.

• Многочлен
Pn x
• делится на многочлен
Qm x
,
• если остаток от деления равен нулю,
• т.е.
R x 0
.

13. Пример 1.

• Найти частное и остаток от деления
многочлена
• на
P4 x x 4 3x 3 5x 2 6 x 1
2
Q
x
x
3x 2 .
• 2

14. Деление столбиком.

• x4 + 3x3 - 5x2 + 6x – 1
-x2 + 3x + 2
• x4 - 3x3 - 2x2
- x2 - 6 x - 15 = G2(х)
6x3 - 3x2 + 6x
6x3 -18x2 - 12x
15x2 + 18x - 1
15x2 - 45x - 30
63 x + 29 = R(x)

15. 1.3. Деление многочлена на двучлен

16. Теорема Безу

• При делении многочлена Pn x
• на двучлен
x
• остаток от деления равен значению
многочлена при x ,
• т. е. R x Pn .

17. Доказательство.

• Пусть при делении многочлена Pn x
• на двучлен
x
• имеем
• Pn x x Qn 1 x R x .

18.

• Подставим в полученное выражение
значение
x
,
• получим Pn Qn 1 R ,
• или
• или
Pn 0 Qn 1 R
Pn R
,
,
• что и требовалось доказать.

19. Определение 1.

• Корнем многочлена называется
такое значение аргумента, при
котором значение многочлена
обращается в нуль.

20.

• Таким образом,
x
• является корнем многочлена , Pn x
• если
Pn 0
.

21. Следствия из теоремы Безу

22. 1.

• Многочлен
Pn x
• делится на двучлен x
• тогда и только тогда, когда число
является корнем многочлена .
x

23. Другими словами,

• если при делении многочлена
• на двучлен
Pn x
x
• остаток R(x) от деления равен нулю,
• то значение
x
• – корень многочлена.

24. Доказательство.

• По теореме Безу
• если R 0 ,
• то следовательно
,
Pn R
Pn 0
.
• По определению корня многочлена
имеем, что
x
• – корень многочлена, что и
требовалось доказать.

25. 2.

26. 3.

27. 4.

28. Пример1.

29. Решение.

30. Пример 2.

31. Решение:

32. Теорема.

33. Доказательство.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40. Примечание.

41. Пример 4.

42. Решение.

43. 1. 4. Корни многочлена. Теорема о корнях многочлена.

44. Определение

45. Теорема (без доказательства).

English     Русский Rules