Деление многочлена на двучлен

1. Ответьте на вопросы

Всегда ли можно выполнить деление
многочлена на многочлен?
Сформулируйте теорему о делении с остатком
многочлена А(х) на В(х).
Какие вы знаете способы деления многочлена
на многочлен?
Какое число называют корнем многочлена А(х)?

2. Устно

Является ли число 4 корнем многочлена
х3 6 х 2 6 х 8 ?
Найдите корни многочлена 2 х 7 х 5
2

3. Деление многочлена на двучлен.

4. Теорема Безу. Остаток от деления многочлена А(х) на двучлен х – α равен А(α).

Доказательство:
Степень двучлена равна 1.
Следовательно, степень остатка при делении A(x)на
двучлен равна 0, т.е. остаток должен быть числом r.
Отсюда, A(x) = (x - α )• Q(x) + r.
Чтобы найти r, положим х = α.
Получаем, А(α)=(α-α)٠Q(α )+ r, т.е. r = A(α ).

5. Примеры применения теоремы:

Найдите остаток от деления многочлена
А(х)= х4 – 6х3 + 8 на х +2.
Решение: A(-2)=16+48+8=72.
Доказать, что многочлен
А(х) = х4 – 6х3 + 7х + 18
делится без остатка на х – 2.
Решение: A(2)=16-48+14+18=0.

6. Выполните упражнение:

Многочлен А(х) при делении на х – 1 дает
остаток 3, а при делении на х – 2 дает остаток 5.
Найдите остаток от деления А(х) на х 2 3 х 2

7. Схема Горнера

A(x)= a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an
A(x) = Q(x)(x - α) + bn ,где bn – остаток, а неполное частное
Q(x)=b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-1.
a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an=(b0xn-1 + b1xn-2+…+bn-1)·(x–α)+ bn=
b0xn+b1xn-1 +…+bn-1x-α b0xn-1-α b1xn-2-…-α bn-1+ bn=
b0xn+(b1-α b0)xn-1+(b2 - α b1)xn-2+…+(bn-α bn-1).
Получим, a0=b0 и ak=bk-α bk-1 .
Отсюда, bk = ak + α bk-1,
(1 ≤ к ≤ n) .

8. Вычисление коэффициентов многочлена Q(x) и остатка bn

a0
a1
a2
b0 = a0 b1=a1+αb b2=a2+α
0
b1
an-1
an
bn-1=an-1+α bn- bn=an +α bn-1
2

9. Правило отыскания коэффициентов неполного частного и остатка.

Старший коэффициент частного равен
старшему коэффициенту делимого.
Чтобы найти остальные коэффициенты надо к
стоящему над ячейкой числу первой строки
прибавить произведение α и предыдущего
элемента второй строки.
В последней ячейке 2 строки под свободным
членом делимого получается остаток от
деления.

10. Вычислите значение многочлена А(х) при х = 3, неполное частное и остаток, где А(х) =

4 х 5 7 х 4 5 х 3 2 х 1
3
4
-7
5
0
-2
1
4
5
20
60
178
535