Деление многочленов

1.

Цели:
1. Разобрать деление многочлена на многочлен
«уголком».
2. Научиться делить многочлен на многочлен.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

В результате сложения, вычитания и умножения
многочленов получаются многочлены. Особое
место в теории многочленов занимает деление
многочленов уголком.

9. Деление многочлена на двучлен х – а.

Теорема Безу
Остаток от деления многочлена р(х)
ненулевой степени на двучлен (х – а) равен
р(а) (т. е. значению многочлена р(х) при х = а).

10.

Свойства делимости многочленов
2. Если многочлены P(x) и Q(x) делятся на многочлен M(x),
то многочлены P(x) + Q(x) и P(x) Q(x)
делятся на многочлен M(x),
а многочлен P(x) Q(x) делиться на многочлен M 2(x) .

11.

Чтобы разделить многочлен P(x) на многочлен Q(x)
нужно:
1. Расположить делимое и делитель по убывающим
степеням х;
2. Разделить старший член делимого на старший член
делителя; полученный одночлен сделать первым
членом частного;
3. Первый член частного умножить на делитель;
результат вычесть из делимого; полученная
разность является первым остатком;
4. Чтобы получить следующий член частного, нужно с
первым остатком поступить так, как поступали с
делимым и делителем в пунктах 2 и 3.

12.

Формула деления многочленов с остатком
Если многочлен P(x) степени n > 1 делят на многочлен Q(x)
степени k 1,k n то справедливо равенство:
P(x) = M(x) Q(x) + R(x)
где M(x) – частное, степень которого m = n – k , R(x) – остаток ,
степень которого l < k.

13.

Разделить уголком многочлен P(x) = 10x2 7х 12 на Q(x) = 5х +4
10x2 7х 12 5х +4
10x2 +8х +0
2х 3
15х 12
ПЕРВЫЙ ОСТАТОК
15х 12
0
ДЕЛИМОЕ
ДЕЛИТЕЛЬ
ЧАСТНОЕ
ОСТАТОК
Остаток равен нулю, поэтому многочлен P(x) делиться на многочлен Q(x)
P(x) = M(x) Q(x) + R(x)
10x2 7х 12=(2х 3)(5х +4)+0

14.

Пример 1 : Разделить многочлен P(x) = 3x4 + 2x2 – 1 на
многочлен Q(x) = x2 + x.
P(x) = M(x) Q(x) + R(x)
3x4 +0x3+ 2x2 +0х– 1
3x4 +3x3 +0x2 +0х+0
– 3x3 + 2х2 +0х- 1
– 3x3 – 3x2 +0х+0
x2 + x
3x2 – 3х + 5
5x2 +0х -1
2
5x + 5x+0
–5x – 1
Степень остатка (– 5x – 1) меньше степени делителя x2 + x, деление закончено.
P(x) –делимое(многочлен), M(x) – частное, Q(x)-делитель, R(x) – остаток

15.

Пример 2 : Разделить многочлен 3х + 4x4 + 1 – 15х3 + 2х5 – 9x2
на многочлен 2x2 х3
2х5 + 4x4 – 15х3 – 9x2 + 3х +1
х3 + 2x2
2х5 – 4x4 + 0х3 +0x2 + 0х +0
8x4 – 15х3 – 9x2 + 3х +1
– 2х2 - 8х – 1
8x4 – 16х3 – 0x2 + 0х +0
х3 - 9x2 + 3х +1
х3 – 2x2 + 0х +0
– 7x2 + 3х +1
Ответ: – 2х2 – 8х – 1 частное, – 7x2 + 3х + 1 остаток.
P(x) = M(x) Q(x) + R(x)
3х + 4x4 + 1 – 15х3 + 2х5 – 9x2 =(– 2х2 - 8х – 1)( х3 + 2x2 ) +(–7x2 + 3х +1 )
P(x) –многочлен, M(x) – частное, Q(x)-делитель, R(x) – остаток

16.

Найдите частное:
1) (x2 +3х 4):(х + 4)
2) (x2 7х + 10):(х 5)
3) (6x3 +7х2 6х + 1):(3х 1)
4) (4x3 5х2 + 6х + 9):(4х + 3)
5) (15x3 х2 + 8х 4):(3х2 + х + 2)
6) (9х4 9x3 х2 + 3х 2):(3х2 2х + 1)

17.

Разделить многочлен (x2 +3х 4):(х + 4)
x2 +3х 4
x2 +4х-0
х+4
Х-1
-х-4
-х-4
0
P(x) = M(x) Q(x) + R(x)
x2 +3х 4 =(х-1)(х+4)+0
P(x) –многочлен, M(x) – частное, Q(x)-делитель, R(x) – остаток

18.

Разделить многочлен (x2 7х + 10):(х 5)
x2 7х + 10
X2 - 5х + 0
х 5
Х-2
-2х+10
-2х+10
0
P(x) = M(x) Q(x) + R(x)
x2 -7х +10 =(х-5)(х-2)+0
P(x) –многочлен, M(x) – частное, Q(x)-делитель, R(x) – остаток

19.

Разделить многочлен (6x3 +7х2 6х + 1):(3х 1)
6x3 +7х2 6х + 1
6X3- 2X2+0х+0
3х 1
2X2 +3х-1
9х2- 6х+ 1
9х2- 3х +0
-3х+1
-3х+1
0
P(x) = M(x) Q(x) + R(x)
6x3 +7х2 6х + 1=(2X2 +3х-1)(3х 1)+0
P(x) –многочлен, M(x) – частное, Q(x)-делитель, R(x) – остаток

20.

Разделить многочлен (4x3 5х2 + 6х + 9):(4х + 3)
4x3 -5х2 + 6х + 9
4X3+3X2+0х+0
4х + 3
X2 -2х+3
-8х2+ 6х+ 9
-8х2- 6х +0
12х+9
12х+9
0
P(x) = M(x) Q(x) + R(x)
4x3 5х2 + 6х + 9 =(X2 -2х+3)(4х + 3)+0
P(x) –многочлен, M(x) – частное, Q(x)-делитель, R(x) – остаток

21.

1) Разделить многочлен (15x3 х2 + 8х 4):(3х2 + х + 2)
15x3 х2 + 8х 4
15X3+5X2+10х+0
3х2 + х + 2
5X -2
-6х2- 2х-4
-6х2- 2х -4
0
P(x) = M(x) Q(x) + R(x)
15x3 х2 + 8х 4=(15x3 х2 + 8х 4)(3х2 + х + 2)+0
P(x) –многочлен, M(x) – частное, Q(x)-делитель, R(x) – остаток

22.

Разделить многочлен (9х4 9x3 х2 + 3х 2):(3х2 2х + 1)
9х4 9x3 х2 + 3х 2
9х4 6x3 +3х2 + 0х 0
-3х3- 4х2 + 3х-2
-3х3+2х2 - х-0
-6х2 +4х-2
-6х2 +4х-2
3х2 2х + 1
3X2 -х-2
P(x) = M(x) Q(x) + R(x)
9х4 9x3 х2 + 3х 2=(3х2 2х + 1)(3X2 -х-2)
P(x) –многочлен, M(x) – частное, Q(x)-делитель, R(x) – остаток