Многочлены над числовыми полями

1.

АЛГЕБРА
(3-й семестр)
Доцент
Мартынова Т.А.
2010-11
учебный год

2.

МНОГОЧЛЕНЫ НАД
ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ
Доцент
Мартынова Т.А.
ЛЕКЦИЯ 9

3.

§ 1. Многочлены над полем комплексных чисел
Основными задачами этого раздела
являются рассмотрение вопросов:
1. Основная теорема алгебры
2. Неприводимость многочленов над полем
комплексных чисел (т.е. в кольце C[x])
3. Число корней произвольного многочлена
с числовыми коэффициентами
4. Теорема Виета
5. Формулы для нахождения корней
уравнений 2, 3 и 4 степени

4.

3. Кубические уравнения
x3 + px + q = 0 (8)
u + v = x0 (9)
u v = – p / 3 (10)
2
3
2
3
q
q
p
q
q
p
u 3
, v 3
2
4 27
2
4 27
Получаем формулу Кардано, выражающую корни
уравнения (8) через его коэффициенты при помощи
квадратных и кубических радикалов:
q
3
x u v
2
(14)
p2 p3 3 q
q2 p3
4
27
2
4 27
(15)
Т.к. кубический радикал имеет в поле С три значения, то
формулы (14) дают три значения для u и три для v. Нельзя
комбинировать любое значение u с любым значением v:
для данного значения u следует брать лишь то из трех
значений v, которое удовлетворяет условию (10).

5.

3. Кубические уравнения
x3 + px + q = 0 (8)
u + v = x0 (9)
u v = – p / 3 (10)
Пусть u1 будет одно из трёх значений радикала u. Тогда
два других u2 и u3 можно получить умножением
соответственно на кубические корни из единицы:
1
3
1
3
e1 i
, e2 i
2
2
2
2
Т.е. u2=u1e1 и u3=u1e2. Обозначим через v1 то значение
радикала v, которое соответствует значению u1
радикала u по (10). Два других значения v,
соответствующие u2 и u3 будут v2=v1e2, v3=v1e1.
В самом деле, ввиду e1e2=1 имеем:
u2v2=u1e1v1e2=u1v1e1e2=u1v1=–p/3, аналогично u3v3=–p/3.

6.

3. Кубические уравнения
x3 + px + q = 0 (8)
u + v = x0 (9)
u v = – p / 3 (10)
u2v2=–p/3, u2v2=–p/3, u3v3=–p/3.
Таким образом, все три корня уравнения (3) могут быть
записаны следующим образом:
x 1 = u1 + v 1
x 2 = u2 + v 2 = u 1e1 + v 1e2
(16)
x 3 = u 3 + v 3 = u 1e 2 + v 1e 1
Замечание. В случае, когда числа u1 и v1 являются
действительными, подставляя в формулу (16) в
выражения для x2 и x3 значения e1 и e2, получим явные
формулы для нахождения x2 и x3 по известным u1 и v1:
x1 u1 v1 ,
u1 v1 u1 v1
3i,
2
2
u v u v
x3 1 1 1 1 3i.
2
2
x2
(16´)

7.

3. Кубические уравнения
z = x – a/3 (7)
x3 + px + q = 0 (8)
q
q2 p3
q
q2 p3
3
3
u
, v
2
4 27
2
4 27
x1 u1 v1 ,
u1 v1 u1 v1
3i,
2
2
u v u v
x3 1 1 1 1 3i.
2
2
x2
(14)
(16´)
Пример 3. Решить уравнение z3 + 3z2 – 3z – 14 = 0.
◘ Подстановка (7) z = x – 1 приводит к виду (8):
x3 – 6x – 9 = 0
(здесь p = –6, q = –9).
9 7 3
9 7 3
3
u
8 2, v1
1 1
По формулам (14): 1
2 2
2 2
По формуле (16´) находим корни уравнения x3–6x–9=0:
3
3
3
3
3
x1 3, x2 i
, x3 i
2
2
2
2
5
3
5
3
z
2
,
z
i
,
z
i
Отсюда (т.к. z=x–1): 1
◙
2
3
2
2
2
2

8.

3. Кубические уравнения
x1 u1 v1 ,
2
3
2
3
q
q
p
q
q
p
u 3
, v 3
2
4 27
2
4 27
(14)
u1 v1 u1 v1
3i,
2
2
u v u v
x3 1 1 1 1 3i.
2
2
x2
Пример 4. Решить уравнение x3 – 12x + 16 = 0.
◘ Здесь p = –12, q = 16.
По формулам (14) находим:
(16´)
u1 3 8 0 2, v1 3 8 0 2
По формулам (16´) находим корни уравнения:
x1 = –4, x2 = x3 = 2
◙

9.

3. Кубические уравнения
z = x – a/3 (7)
u 3
2
x1 u1 v1 ,
u v = – p / 3 (10)
3
2
3
q
q
p
q
q
p
, v 3
2
4 27
2
4 27
(14)
(16´)
Пример 5. Решить: z3 – 9z2 + 21z – 5 = 0.
◘ Подставив в него z=x+3, получим: x3–6x+4=0,
т.е. p=–6, q=4. По формулам (14) и (10) находим:
u1 3 2 4 3 2 2i 3 (1 i)3 1 i
u1 v1 u1 v1
3i,
2
2
u v u v
x3 1 1 1 1 3i.
2
2
x2
v1
6
6(1 i)
1 i
3 (1 i)
3 2
По формулам (16´) находим корни:
Отсюда:
x1 3, x2 1 3, x3 1 3
z1 5, z2 2 3, z3 2 3
◙

10.

3. Кубические уравнения
x3 + px + q = 0 (8)
u + v = x0 (9)
u v = – p / 3 (10)
2
3
2
3
q
q
p
q
q
p
u 3
, v 3
2
4 27
2
4 27
Напомним, что формула Кардано выражающая корни
уравнения (8) через его коэффициенты при помощи
квадратных и кубических радикалов имеет вид:
q
3
x u v
2
p 2 p3 3 q
q 2 p3
4 27
2
4 27
2
q p
Понятно, что для выражения = 2 3
Возможны три различных случая:
3

11.

3. Кубические уравнения =
2
q p
2 3
1. = 0, 2. > 0, 3. < 0.
1. Если = 0, то при p 0 и q 0 имеем u 3 q ,
2
2
А так как
q
p
2
3
3
получаем одно значение
3
q
q2
u1 3 3 q 2
2
2
q
3q
3
2p
p
23
3
И соответствующее значение
3q
v1 u1
2p
3

12.

3. Кубические уравнения
Обращаясь к формулам (16), получаем
x1= u1 + v1 = 3q/p, x2= x3= -3q/2p.
x1 u1 v1 ,
u1 v1 u1 v1
3i,
2
2
u v u v
x3 1 1 1 1 3i.
2
2
x2
Таким образом, уравнение (8) при = 0, p 0 и q 0
имеет три действительных корня, причем два из
них равны между собой.
2. Если > 0, то все корни уравнения (8) должны
быть различными. Выясним, сколько из них будет
действительными.
q
3
u
В выражении
под знаком кубического
2
корня находится действительное число.
Следовательно, одно из значений u должно быть
действительным. Пусть это будет u1. Тогда v1 будет
также действительным.

13.

3. Кубические уравнения
Таким образом при >0 уравнение (8) имеет только
один действительный корень, x1=u1+v1, а два
остальные корня будут сопряженными чисто
комплексными числами
u1 v1
u v1
1
2
2
u v1
u v1
x3 1
1
2
2
x2
3i ,
3i.
3. Пусть <0. Этот случай известен под названием
неприводимого. Он примечателен тем, что u и v
являются мнимыми (так как приходится извлекать
корень третьей степени из мнимых чисел), а все три
корня уравнения (8) будут действительными
(различными).

14.

3. Кубические уравнения
С помощью некоторых преобразований получаем
X1 = u1+v1 = 2|3 r |cos /3,
X2 = u2+v2 = 2|3 r |cos( +2 )/3,
X3 = u3+v3 = 2|3 r |cos( +4 )/3,
Где cos =-q/2r, sin = /r , - действительное число
2
равное - и
q .
2
r
2
Итак, в случае <0 уравнение (8) имеет три
действительных корня

15.

3. Кубические уравнения
Недостатком формулы Кордано является то, что
часто рациональные корни она представляет в
иррациональном виде. Например, нетрудно
проверить, что число 2 является рациональным
корнем уравнения x3 – x – 6 = 0. Так как для этого
уравнения >0, то 2 является единственным
действительным корнем уравнения x3 – x – 6 = 0.
Однако по формулам Кордано действительный
корень выражается иррациональным числом
11
11
3
x1 u1 v1 3
6 3
6
9
9
3

16.

4. Уравнения четвёртой степени
Дано уравнение четвёртой степени:
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0
(17)
с произвольными комплексными коэффициентами.
Его решение сводится к нахождению какогонибудь корня некоторого вспомогательного
кубичного уравнения.
Перепишем его в виде: x4 + ax3 = – bx2 – cx – d.
ax
К обеим частям прибавим выражение: 2
2
Получим:
2
2
2 ax a
x b x cx d
2 4
2

17.

4. Уравнения четвёртой степени
К обеим частям теперь прибавим:
2
2
2
2 ax a
x b x cx d
2 4
2 ax y y 2 2 ax
y2
2 x x y
2 2 4
2
4
2
Тогда:
2
2
2 ay
ax
y
2
a
y
x b y x c x d (18)
2 2 4
2
4
Теперь число y подбирается так, чтобы квадратный трёхчлен
относительно x в правой части уравнения (18) был полным
квадратом, т.е. так, чтобы его дискриминант был равен 0.
Но тогда число y должно удовлетворить уравнению 3-й
степени:
2
a2
y 2
ay
(19)
D c 4 b y d 0
2
4
4
Полученное уравнение (19) называют кубической
резольвентой уравнения (17) .
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (17)

18.

4. Уравнения четвёртой степени
a2
y 2
ay
D
c 4
b y
d 0
2
4
4
2
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (17)
(19)
2
a2
2 ay
y2
2 ax y
x
b
y
x
c
x
d
4
4
2
2
2
(18)
Пусть y0 – корень уравнения (19).
2 ax y 0
Тогда (18) приводится к виду: x (αx β) 2
2
2
для некоторых чисел и .
ax y 0
2
x
ux v,
Последнее уравнение
2
2
(20)
равносильно двум
ax y 0
x2
(ux v).
квадратным уравнениям (20):
2
2
Решая (20), получим все четыре корня уравнения (17).

19.

4. Уравнения четвёртой степени
2
a2
2 ay
y2
2 ax y
b y x
c x
d
x
2 2
2
4
4
Пример 6. Решить: x4 – 2x3 + 2x2 + 4x – 8 = 0.
◘ Приведём к виду (18):
x 4 2 x 3 2 x 2 4 x 8
x 4 2 x3 x 2 x 2 4 x 8
( x 2 x) 2 x 2 4 x 8
2
y
y2
2
2
2
( x x) x 4 x 8 ( x x) y
2
4
2
y2
y
2
2
(21)
x
x
(
y
1
)
x
(
y
4
)
x
8
4
2
(18)

20.

4. Уравнения четвёртой степени
2
y2
y
2
2
(21)
x
x
(
y
1
)
x
(
y
4
)
x
8
2
4
Составляем кубическую резольвенту уравнения (21):
y2
( y 4) 4( y 1) 8 0
4
2
Непосредственно видно, что одним из корней
последнего уравнения является число y0=2.
Подставляя это значения в равенство (21) получим
уравнение: x 2 x 1 2 x 2 6 x 9 ( x 3) 2
Оно равносильно совокупности двух квадратных
уравнений: x 2 x 1 x 3
x 2 2x 4 0
2
x x 1 ( x 3)
y 3 2 y 2 24 x 48 0
2
x 2
Решая эти уравнения получим все корни данного
уравнения: x1 1 3i, x2 1 3i, x3 2, x3 2.
◙