Уравнения высших степеней

1. Уравнения высших степеней. Попова Н.Ф. МАОУ «Лицей №3 им. А. С. Пушкина»

Уравнения
высших
степеней.
Попова Н.Ф.
МАОУ
«Лицей №3

2. Методы решения уравнений:

Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x))
уравнением f(x) = g(x)
Разложение на множители.
Введение новой переменной.
Функционально – графический метод.
Подбор корней.
Применение формул Виета.

3. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).

Метод можно применять только в том случае,
когда y = h(x) – монотонная функция, которая
каждое свое значение принимает по одному
разу. Если функция немонотонная, то
возможна потеря корней.

4. Решить уравнение (3x + 2)²³ = (5x – 9)²³

y = x ²³ возрастающая функция, поэтому от
уравнения (3x + 2)²³ = (5x – 9)²³ можно
перейти к уравнению 3x + 2 = 5x – 9, откуда
находим x = 5,5.
Ответ: 5,5.

5. Разложение на множители.

Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить
совокупностью уравнений
f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0.
Решив уравнения этой совокупности, нужно
взять те их корни, которые принадлежат
области определения исходного уравнения, а
остальные отбросить как посторонние.

6. Решить уравнение x³ – 7x + 6 = 0

Представив слагаемое 7x в виде x + 6x,
получим последовательно:
x³ – x –6x + 6 = 0
x(x² – 1) – 6(x – 1) = 0
x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0
(x – 1)(x² + x – 6) = 0
Теперь задача сводится к решению
совокупности уравнений
x –1 = 0;
x² + x – 6 = 0.
Ответ: 1, 2, – 3.

7. Введение новой переменной.

Если уравнение y(x) = 0 удалось
преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно
ввести новую переменную u = g(x), решить
уравнение p(u) = 0, а затем решить
совокупность уравнений
g(x) = u1; g(x) = u2; … ; g(x) = un ,
где u1, u2, … , un – корни уравнения p(u) = 0.

8. Решить уравнение

4
3
2
2 x 3x x 3x 2 0
Особенностью этого уравнения является
равенство коэффициентов его левой части,
равноудаленных от ее концов. Такие
уравнения называют возвратными.
Поскольку 0 не является корнем данного
уравнения, делением на x² получаем
3 2
2
2 x 3 x 1 2 0
x x
1
2 1
2 x 2 3 x 1 0
x
x

9.

Введем новую переменную
Тогда
1
y x 2 2 è
x
2
2
1
y x
x
1
2
x 2 y 2 2.
x
Получаем квадратное уравнение
2 y 2 2 3 y 1 0, 2 y 2 3 y 5 0
y1 1,
Так как
y2 2,5.
1
y x 2,
x
корень y1 = – 1 можно не рассматривать.
1
Получим
2
x
x
2,5, x 2,5 x 1 0
x1 2, x2 0,5
Ответ: 2, 0,5.

10. Решите уравнение 6(x² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7x +12) + ( x² – 7x + 12)² = 0

Данное уравнение может быть решено как однородное.
Поделим обе части уравнения на (x² – 7x +12)² (ясно,
что значения x такие, что x² – 7x +12=0 решениями не
являются).
x2 4
t.
Теперь обозначим
2
x 7 x 12
1
1
2
6
t
5
t
1
0
,
t
,
t
.
Имеем
1
2
2
3
x2 4
1
x2 4
1
è
Отсюда
2
2
x 7 x 12
2
x 7 x 12
3
3
1
Ответ: x1 0, x2 1 , x3 1, x4 1 .
4
3

11. Функционально – графический метод.

Если одна из функций у = f(x),y = g(x)
возрастает, а другая – убывает, то
уравнение f(x) = g(x) либо не имеет
корней, либо имеет один корень.

12. Решить уравнение

5
x 5 x 42 0
Достаточно очевидно, что x = 2 – корень
уравнения. Докажем, что это единственный
корень.
Преобразуем уравнение к виду x 5 42 5 x.
Замечаем, что функция y x 5
возрастает, а функция
y 42 5 x
убывает. Значит, уравнение имеет только
один корень.
Ответ: 2.

13. Подбор корней

Теорема1:
Если целое число m является корнем многочлена с целыми
коэффициентами, то свободный член многочлена делится на m.
Теорема 2:
Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не имеет
дробных корней.
Теорема 3:
n
n 1
Пусть a0 x a1 x ... an 0 – уравнение с целыми
p
коэффициентами. Если число x0 , где p и q – целые числа
q
p
и дробь
q
несократима, является корнем уравнения,
то p есть делитель свободного члена an , а q – делитель
коэффициента при старшем члене a0 .

14. Теорема Безу. Остаток при делении любого многочлена на двучлен (x – a) равен значению делимого многочлена при x = a.

Следствия теоремы Безу
Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность
этих же чисел;
Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится без остатка как
на разность этих чисел, так и на их сумму;
Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму
этих чисел;
Сумма одинаковых степеней двух не чисел делится на разность этих
чисел;
Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится без остатка на
сумму этих чисел;
Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится как на разность
этих чисел, так и на их сумму;
Многочлен делится нацело на двучлен (x – a) тогда и только тогда, когда
число a является корнем данного многочлена;
Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не более чем его
степень.

15. Решить уравнение x³ – 5x² – x + 21 = 0

Многочлен x³ – 5x² – x + 21 имеет целые коэффициенты.
По теореме 1 его целые корни, если они есть, находятся
среди делителей свободного члена: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21.
Проверкой убеждаемся в том, что число 3 является корнем.
По следствию из теоремы Безу многочлен делится на (x – 3).
Таким образом, x³– 5x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2x – 7).
Ответ:
x1 3, x2,3 1 2 2

16. Решить уравнение 2x³ – 5x² – x + 1 = 0

По теореме 1 целыми корнями уравнения могут быть только числа ± 1.
Проверка показывает, что данные числа не являются корнями.
Так как уравнение не является приведенным, то оно может иметь дробные
рациональные корни. Найдем их. Для этого умножим обе части уравнения на 4:
8x³ – 20x² – 4x + 4 = 0
Сделав подстановку 2x = t, получим
t³ – 5t² – 2t + 4 = 0.
По тереме 2 все рациональные корни данного приведенного уравнения должны
быть целыми. Их можно найти среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2, ± 4.
В данном случае подходит t = – 1. Следовательно x1 0,5.
По следствию из теоремы Безу многочлен 2x³ – 5x² – x + 1 делится на (x + 0,5):
2x³ – 5x² – x + 1 = (x + 0,5)(2x² – 6x + 2)
Решив квадратное уравнение 2x² – 6x + 2 = 0, находим остальные
корни: x2,3
3 5
.
2
Ответ:
x1 0,5, x2,3
3 5
.
2

17. Решить уравнение 6x³ + x² – 11x – 6 = 0

По теореме 3 рациональные корни этого уравнения
следует искать среди чисел
1
3
1
2
1
1, 2, 3, 6, , , , , .
2
2
3
3
6
Подставляя их поочередно в уравнение,
найдем, что
3
2
x1 1, x2 , x3
2
3
удовлетворяют
уравнению. Ими и исчерпываются все корни уравнения.
Ответ:
1;
3
2
; .
2
3

18. Формулы Виета.

n
n 1
a
x
a
x
... an 0
Для корней x1 , x2 , ..., xn уравнения 0
1
имеют место формулы:
x1 x2 ... xn
a1
,
a0
a2
x1 x2 x1 x3 ... x1 xn x2 x3 ... xn 1 xn ,
a0
a3
x1 x2 x3 x1 x2 x4 ... x1 x2 xn x2 x3 x4 ... xn 2 xn 1 xn
,
a0
.............................................................................................
an
x1 x2 x3 ... xn ( 1)
.
a0
n

19. Найти сумму квадратов корней уравнения x³ + 3x² – 7x +1 = 0

Найти сумму квадратов
корней уравнения x³ + 3x²
–По7x
+1Виета
= 0 x x x 3
теореме
1
2
3
x1 x2 x1 x3 x2 x3 7
x1 x2 x3 1.
Заметим, что
x1 x2 x3
2
2
1
2
2
2
3
x x x 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3 ,
откуда
2
1
2
2
2
3
2
x x x x1 x2 x3 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3
2
3 2 7 23.

20. Укажите, каким методом можно решить каждое из данных уравнений. Решите уравнения № 1, 4, 14, 15, 17.

1. 4 x 5 x 6 x 10 x 12 3 x 2 .
2. x 7 5 x 6 0.
5
5
3. 2 x 2 5 x 9 .
4. y 3 5 y 2 2 y 16 0.
5. x 3 4 x 2 5 x 2 0.
7. Ïóñòü
x1 , x2 , x3
Íàéäèòå :
6. x 3 x 10.
êîðíè
óðàâíåíèÿ
1
1
1
.
x1 x2 x1 x3 x2 x3
8. 2 x 3 x 2 4 x 2 0.
10.
12.
x 3 6 x 2 15 x 1 0.
x 2 2 x 1 2 x 2 x 2 1 2 x 1 2 0.
2
2 x 2 7 x 3 3 x 3 x 4 .
9.
11.
9 x 9 5 x 1 9 .
28 x 3 3 x 2 3x 1 0.
13. 2 x 4 7 x 3 6 x 2 7 x 6 0.
14. Èçâåñòíî , ÷òî óðàâíåíèå
ax 3 bx 2 cx 6 0, ãäå a , èìååò
ðàçëè÷íûõ
öåëûõ îòðèöàòåëü íûõ êîðíÿ. Íàéäèòå
a.
15. x 3 2006 x 2007 0.
17. 2 x 4 15 x 3 40 x 2 45 x 18 0.
3
16. 24 x 4 16 x 3 3 x 2 0.
18. x 3 3 x 2 3 x 2 0.

21. Ответы и указания:

1. Введение новой переменной.
2. Функционально – графический метод.
3. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).
4. Разложение на множители.
5. Подбор корней.
6 Функционально – графический метод.
7. Применение формул Виета.
8. Подбор корней.
9. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).
10. Введение новой переменной.
11. Разложение на множители.
12. Введение новой переменной.
13. Подбор корней.
14. Применение формул Виета.
15. Функционально – графический метод.
16. Разложение на множители.
17. Введение новой переменной.
18. Разложение на множители.

22.

1. Указание. Запишите уравнение в виде
4(x²+17x+60)(x+16x+60)=3x²,
Разделите обе его части на x². Введите переменную
60
ó x 16 .
x
Ответ: x1 = – 8; x2 = – 7,5.
4. Указание. Прибавьте к левой части уравнения 6y и
– 6y и запишите его в виде
(y³ – 2y²) + (– 3y² + 6y) + (– 8y + 16) = (y – 2)(y² – 3y – 8).
Ответ:
1,
3
41
2
3 41
,
.
2

23.

6
x1 x2 x3 .
a
14. Указание.
По теореме Виета
Так как x1 , x2 , x3 , a – целые числа, то корнями
уравнения могут быть только числа –1, – 2, – 3.
Ответ: a 1.
15. Ответ: –1.
17. Указание. Разделите обе части уравнения на x²
и запишите его в виде
3
2 9
2 x 2 15 x 40 0.
x
x
3
Введите переменную y x .
x
Ответ: 1; 1,5; 2; 3.

24. Самостоятельная работа.

Решите уравнения:
Вариант 1.
Вариант 2.
1). x 3 3 x 2 6 x 8 0
1). x 3 3x 2 16 x 48 0
2). 6 x 4 13x 3 12 x 2 13 x 6 0
2). 6 x 4 25 x 3 12 x 2 25 x 6 0
3). 2 x 3 3 x 2 32 x 15 0
3). x 3 6 x 2 15 x 14 0
4). x 3 10 x 11 0
4). x 5 3x 4 0

25. Ответы.

Вариант 1.
1). 4; 1; 2.
2
1
2).
; 1 .
3
2
3). 3; 0,5; 5.
4). 1.
Вариант 2.
1). 4; 3; 4.
1
1
2). ; ; 2; 3.
2
3
3). 2.
4). 1.