Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины (лекция 3.2)

1.

Лекция 3
Глава 2. Случайные величины
§1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные
случайные величины
Ранее
рассматривались случайные
события,
являющиеся качественной
характеристикой случайного результата испытания. Однако испытание можно
характеризовать и с количественной точки зрения, что приводит к понятию случайной
величины.
Определение. Случайной величиной называется переменная величина, которая в
результате испытания принимает одно из своих возможных значений, причем заранее
неизвестно, какое именно.
Случайные величины обозначаются прописными буквами латинского алфавита X, У,
Z, …, а их значения соответствующими строчными буквами х, у, z, … .
Различают два основных типа случайных величин: дискретные случайные величины
(ДСВ) и непрерывные случайные величины (НСВ).
Определение. Случайная величина называется дискретной, если она принимает
отдельные, изолированные значения.
Число значений дискретной случайной величины может быть конечным или
бесконечным, но счетным.
Примеры ДСВ: 1) Х – оценка, полученная студентом на экзамене. Ее возможные значения:
x1 = 2 , x2 = 3 , x3 = 4 , x4 = 5 ; 2) число студентов на лекции; 3) число выпавших очков при
бросании игральной кости; 3) число посетителей аптеки в день; 4) число выстрелов в
мишень до первого попадания; 5) число вызовов, поступающих на станцию скорой
помощи в течение часа; 6) частота пульса; 7) число больных в палате.
Определение. Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать
любые значения из конечного или бесконечного интервала.
Число значений непрерывной случайной величины всегда бесконечно.
Примеры НСВ: 1) время безотказной работы прибора; 2) дальность полета снаряда; 3)
масса тела новорожденного; 4) рост случайно выбранного студента из группы; 5)
температура тела в течение дня; 6) время инкубационного периода заболевания.
§ 2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
Для полного задания дискретной случайной величины недостаточно указать все ее
возможные значения. Необходимо также знать, как часто в результате испытаний могут
появляться те или иные значения дискретной случайной величины, т.е. следует знать
вероятности их появления.
Пусть дискретная случайная величина Х принимает значения x1 , x2 , , xn с
вероятностями p1 = P( X = x1 ), p2 = P( X = x2 ), ... , pn = P( X = xn ) , где pi = P( X = xi ) −
вероятность того, что в результате испытания дискретная случайная величина Х примет
значение xi , т.е. произойдет событие ( X = xi ) .
Определение. Законом распределения дискретной случайной величины Х называется
указанное соответствие между ее возможными значениями x1 , x2 , , xn и
соответствующими им вероятностями p1 , p2 , , pn .
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать тремя
способами: 1) аналитическим; 2) табличным; 3) графическим.
В первом случае закон задается в виде формулы вида P( X = xi ) = f ( xi ) .
1

2.

Во втором случае закон распределения задается в виде таблицы, в первой строке
которой в порядке возрастания указываются возможные значения ДСВ, а во второй строке
соответствующие им вероятности.
xi
x1
x2
x3
…
xn
pi
p1
p2
p3
…
pn
Таблица называется рядом распределения вероятностей.
Сумма вероятностей во второй строке таблице обязательно должна быть равна 1, т.е.
p1 + p2 + ... + pn = 1 . Действительно, по теореме о вероятности суммы несовместных
событий имеем
p1 + p2 + ... + pn = P( X = x1 ) + P( X = x2 ) + ... + P( X = xn ) =
= P( X = x1 , или X = x2 , или … , или X = xn ) = P(U ) = 1 .
В третьем случае закон распределения задается в виде графика. По оси абсцисс
откладывают значения xi дискретной случайной величины Х, а по оси ординат −
соответствующие им вероятности pi . Точки с координатами ( xi ; pi ) соединяются
отрезками прямых. Полученная ломаная линия называется многоугольником
распределения вероятностей.
Пример. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х − числа
выпадений «герба» при подбрасывании монеты три раза.
Решение. Очевидно, что при подбрасывании монеты три раза «герб» может вовсе не
выпасть, выпасть 1, 2 или 3 раза. Следовательно, ДСВ Х может принимать четыре
значения: x1 = 0 , x2 = 1 , x3 = 2 , x4 = 3 . Найдем вероятности этих значения с помощью
m
классического определения вероятности p ( A) = . В испытании возможны следующие
n
элементарные события: ггг, ггр, грг, грр, ррр, ррг, ргр, ргг, т.е. общее число возможных
элементарных событий равно n = 8 .
p1 = P( X = 0) = 1/ 8 , так как число благоприятствующих событий равно m = 1 ( ррр),
p2 = P( X = 1) = 3 / 8 , так как m = 3 (грр, ррг, ргр),
p3 = P( X = 2) = 3 / 8 , так как m = 3 (ггр, грг, ргг),
p4 = P( X = 3) = 1/ 8 , так как m = 1 (ггг).
Таким образом, закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:
xi
0
1
2
3
pi
1/8
3/8
3/8
1/8
Проверка: 1/8+3/8+3/8+1/8=1.
2

3.

§3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
Случайная величина полностью характеризуется законом распределения
вероятностей. Однако он не всегда известен. Во многих случаях для решения
практических задачах нет необходимости полностью характеризовать случайную
величину. Часто достаточно указать только некоторые характеристики, которые отражают
наиболее существенные особенности распределения случайной величины. Такие
характеристики называются числовыми характеристиками случайной величины. Мы
рассмотрим три основные числовые характеристики случайной величины:
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Пусть дискретная случайная величина X принимает значения х1 , х2 ,..., хп с
вероятностями соответственно р1 , р2 ,. . ., рп .
Определение 1. Математическим ожиданием M X дискретной случайной величины Х
называется сумма произведений всех ее возможных значений xi на соответствующие им
вероятности pi , т.е.
n
M X = x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn = xi pi .
(3.1)
i =1
Рассмотрим вероятностный смысл математического ожидания. Пусть проведено n
испытаний, в которых значение x1 ДСВ Х встретилось m1 раз, значение x2 встретилось
m2 раз, …. , значение xk встретилось mk раз. Найдем среднее арифметическое всех
полученных значений ДСВ Х:
x m + x m + + xk mk
m
m
m
x= 1 1 2 2
= x1 1 + x2 2 + + xk k =
n
n
n
n
= x1v1 + x2v2 + + xk vk x1 p1 + x2 p2 + + xn pn = M X ,
m
где vi = i − относительная частота события ( X = xi ) , i = 1, 2,..., k .
n
Таким образом,
(3.2)
M X x ,
т.е. математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому
наблюдаемых значений случайной величины. В этом и состоит вероятностный смысл
математического ожидания. Отметим, что приближенное равенство (3.2) тем точнее, чем
больше число n испытаний.
Рассмотрим две дискретные случайные величины Х и Y, законы распределения
которых имеют вид:
xi
-200
-100
100
200
yi
-0.02
-0.01
0.01
0.02
pi
0.2
0.3
0.3
0.2
pi
0.2
0.3
0.3
0.2
Найдем математические ожидания случайных величин Х и Y. По формуле (3.1)
будем иметь:
M X = −200 0, 2 − 100 0,3 + 100 0,3 + 200 0, 2 = 0 ,
M Y = −0, 02 0, 2 − 0, 01 0,3 + 0, 01 0,3 + 0, 02 0, 2 = 0 .
Как видим, математические ожидания случайных величин Х и Y одинаковы, т.е.
M X = M Y . Однако случайная величина Х принимает значения, далекие от своего
математического ожидания, а случайная величина Y − близкие к своему математическому
ожиданию. Таким образом, одно только математическое ожидание не может в
достаточной степени характеризовать случайную величину. Приведенные рассуждения
свидетельствуют о целесообразности введения такой числовой характеристики
случайной величины, которая оценивала бы меру разброса или рассеяния значений
3

4.

случайной величины относительно ее математического ожидания. В качестве
характеристики рассеяния значений случайной величины используется дисперсия. Слово
«дисперсия» означает «рассеяние».
Прежде чем дать определение дисперсии введем понятие отклонения случайной
величины от своего математического ожидания. Отклонением случайной величины Х от
своего математического ожидания называется случайная величина X − M ( X .
Определение 2. Дисперсией D X случайной величины Х называется математическое
ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:
D X = M ( X − M X ) .
2
(3.2)
Используя определение математического ожидания, запишем формулу (3.2) в
развернутом виде:
D X = ( x1 − M X ) p1 + ( x2 − M X ) p2 + ... + ( xn − M X ) pn .
2
2
2
(3.3)
Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины
Х, заданной законом распределения:
xi
2
4
6
8
pi
0,4
0,2
0,1
0,3
Решение. Вычислим математическое ожидание случайной величины Х по формуле (3.1):
M ( X = x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn = 2 0, 4 + 4 0, 2 + 6 0,1 + 8 0,3 = 4, 6 .
Найдем дисперсию случайной величины Х по формуле (3.3):
D X = (2 − 4,6)2 0, 4 + (4 − 4,6)2 0, 2 + (6 − 4,6)2 0,1 + (8 − 4,6) 2 0,3 = 6, 44 .
Замечание. На практике для вычисления дисперсии часто удобнее применять формулу:
D X = M X 2 − ( M X ) ,
2
(3.4)
где M X 2 = xi 2 pi = x12 p1 + x2 2 p2 + ... + xn 2 pn − математическое ожидание квадрата
n
i =1
случайной величины Х.
Вычислим дисперсию случайной величины Х по формуле (3.4).
Сначала найдем M X 2 :
M X 2 = 22 0, 4 + 42 0, 2 + 62 0,1 + 82 0,3 = 27, 6 .
Тогда D X = M X 2 − ( M X ) = 27, 6 − (4, 6) 2 = 27, 6 − 21,16 = 6, 44 .
2
Как следует из определения дисперсии, ее размерность равна квадрату размерности
самой случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому наряду с дисперсией в качестве
числовой характеристики случайной величины используется ее среднее квадратическое
отклонение (иногда называемое стандартным отклонением или стандартом).
Определение 3. Средним квадратическим отклонением X случайной величины Х
называется квадратный корень из дисперсии:
X = D X .
(3.5)
Среднее квадратическое отклонение X также как и дисперсия описывает
рассеяние значений случайной величины относительно ее математического ожидания, но
имеет размерность самой случайной величины.
§4. Плотность вероятности непрерывной случайной величины
Как отмечалось ранее, для задания закона распределения дискретной случайной
величины необходимо указать все ее возможные значения и соответствующие им
4

5.

вероятности. Однако такой способ задания закона распределения невозможно применить
для непрерывной случайной величины. Во-первых, число ее возможных значений
бесконечно. Во-вторых, как будет показано далее, вероятность того, что непрерывная
случайная величина в результате испытания примет какое-то определенное значение,
например, x = a , равна нулю, т.е. P( X = a) = 0 . Однако можно говорить о вероятности
попадания значения непрерывной случайной величины в некоторый интервал.
Рассмотрим очень малый интервал ( x; x + x) длиною x .
Пусть P( x X x + x) − вероятность того, что в результате испытания значение
непрерывной случайной величины Х окажется в интервале ( x; x + x) . Тогда вероятность,
приходящаяся на единицу длины, т.е. средняя плотность вероятности на промежутке от х
P( x X x + x)
до х+ х, будет равна
. Если длину интервала x устремить к нулю, то
x
получим плотность вероятности в точке х.
Определение. Плотностью распределения вероятностей f ( x) (или плотностью
вероятности) непрерывной случайной величины Х называется предел отношения
вероятности попадания ее значения в интервал ( x; x + x) к длине x этого интервала,
когда x стремиться к нулю, т.е.
P( x X x + x)
f ( x) = lim
.
(4.1)
x →0
x
Плотность вероятности f ( x) также называют законом распределения непрерывной
случайной величины. График плотности вероятности носит название кривой
распределения.
Плотность вероятности f ( x) обладает следующими свойствами:
1. f ( x) 0 ;
Доказательство. P( x X x + x) 0 , т.к. вероятность любого события не может быть
отрицательной. Длина отрезка x величина положительная, т.е. x 0 .
P( x X x + x)
0 . Предел неотрицательной
Следовательно, верно неравенство
x
величины не может быть отрицательным, поэтому f ( x) 0 .
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток [a; b] равна
определенному интегралу от плотности вероятности f ( x) в пределах от а до b, т.е.
b
P(a X b) = f ( x)dx .
(4.2)
a
+
3.
f ( x)dx = 1 . Это свойство известно как условие нормировки.
−
+
св −во 2
Доказательство. f ( x)dx = P( − X + ) = P(U ) = 1 .
−
достов.событие U
4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет конкретное
значение, равна 0, т.е. P( X = a) = 0 .
a
Приведем формальное доказательство. P( X = a) = P(a X a) = f ( x)dx = 0 .
a
Следствие. P(a X b) = P(a X b) = P(a X b) = P(a X b) ,
т.е. вероятность попадания непрерывной случайной величины в открытый, полузакрытый
или закрытый интервал одинакова.
5

6.

Покажем, например, что P(a X b) = P(a X b) :
P(a X b) = P( X = a или a X b) = P( X = a) + P(a X b) = P(a X b) .
=0
Аналогично доказываются другие равенства.
§5. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X
+
называется число, равное xf ( x)dx , т.е.
−
+
M X = xf ( x)dx .
(5.1)
−
Определение 2. Дисперсией случайной величины Х называется математическое
ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания, т.е.
D X = M ( X − M X )
2
= ( x − M X ) f (x)dx .
+
2
(5.2)
−
На практике дисперсию непрерывной случайной величины вычисляют по формуле
D X = M X 2 − ( M X ) ,
2
(5.3)
+
= x f ( x)dx − математическое ожидание квадрата случайной величины Х.
где M X
2
2
−
Определение 3. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины
есть квадратный корень из дисперсии, т.е.
X = D X .
(5.4)
Пример. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х имеет вид:
0, x 0,
f ( x) = C x, 0 x 2,
(5.5)
0, x 2.
Найти: 1) коэффициент С; 2) вероятность того, что случайная величина Х примет значение
в интервале (1/ 2;1) ; 3) числовые характеристики случайной величины Х.
Решение. Задание плотности вероятности в виде (5.5) означает, что:
а) f ( x) = 0 на промежутке − x 0 ,
б) f ( x) = Cx на промежутке 0 x 2 ,
в) f ( x) = 0 на промежутке 2 x + .
1) Для нахождения коэффициента С воспользуемся условием нормировки f ( x)dx = 1 .
−
+
0
2
+
2
2
x
2 2
f ( x)dx = 0dx + Cxdx + 0dx = Cxdx = C xdx =C 2
−
−
0
=0
2
0
0
=0
Следовательно, 2C = 1 . Отсюда C =
1
.
2
6
0
=
C 2
(2 − 02 ) = 2C .
2

7.

0, x 0,
1
f
(
x
)
=
Плотность вероятности принимает вид:
x, 0 x 2,
2
0, x 2.
2) Найдем вероятность того, что значение случайной величины Х окажется в интервале
(1/ 2;1) по формуле (4.2):
1
1
1
1
1
2
1
1
1 x2
x2
12 (1/ 2)
1 1
3
P (1/ 2 X 1) = f ( x)dx = xdx = xdx =
=
= −
= − = .
2
2 1/2
2 2 1/2 4 1/2 4
4
4 16 16
1/2
1/2
3) Найдем числовые характеристики случайной величины.
Вычислим математическое ожидание по формуле (5.1):
+
0
+
2
2
2
1
1 2
1 x3
1
8 4
M X = xf ( x)dx = x 0dx + x xdx + x 0dx = x dx =
= (23 − 03 ) = =
2
20
2 3 0 6
6 3
−
−
0
2
=0
=0
Найдем дисперсию по формуле (5.3):
+
0
2
4 2
+
2
1
M X 2 = x 2 f ( x)dx = x 2 0dx + x 2 xdx + x 2 0dx =
2
−
−
0
2
=0
=
=0
1 3
1 x
1
16
x dx =
= (24 − 04 ) =
= 2.
20
2 4 0 8
8
2
2
4
D X = M X − ( M X ) = 2 − = .
9
3
2
2
Тогда среднее квадратическое отклонение будет равно:
X = D X =
2
2
.
=
9
3
Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины
принадлежат отрезку [a, b], то интегралы в формулах (1), (2) и (3) вычисляются в пределах
от а до в.
§ 6. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины
(закон Гаусса)
Нормальный закон распределения играет важную роль в теории вероятностей. Вопервых, он наиболее часто встречается на практике. Во-вторых, он является предельным
законом, к которому приближаются другие законы распределения при определенных
часто встречающихся условиях.
Определение. Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по
нормальному закону с параметрами а и , если ее плотность вероятности имеет вид
( x − a )2
−
1
2
f ( x) =
e 2 , где 0 .
(6.1)
2
График функции f ( x) симметричен относительно прямой x = a . В точке x = a
функция имеет максимум. f ( x) → 0 при x → . В точках с абсциссами x = a график
функции имеет перегибы (см. рис.).
7

8.

Можно показать, что математическое
ожидание
нормально
распределенной
случайной величины равно а, а среднее
квадратическое отклонение равно .
Отсюда ясен смысл параметров а и :
a = M X
.
= X
Определение. Непрерывная случайная величина Х, распределенная по нормальному
закону с параметрами a = 0 и = 1 , называется нормированной или стандартной.
Плотность вероятности нормированной непрерывной случайной величины имеет
вид
x2
1 −2
( x) =
e .
(6.2)
2
Рассмотрим свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону:
1) Вероятность попадания значения нормальной НСВ X в интервал ( x1; x2 ) находится по
формуле
x −a
x1 − a
P( x1 X x2 ) = 2
(6.3)
−
,
x
t2
−
1
где Ф( x) =
e 2 dt - функция Лапласа.
2 0
Значения функции Лапласа для x 0 приведены в специальной таблице. При ее
использовании необходимо учесть, что:
1) функция Лапласа является нечетной, т.е. Ф( − x)= − Ф(x) ;
2) Ф(+ ) = 0,5 . (На практике Ф( x) = 0,5 для всех x 5 !).
2) Практически достоверно, что все значения нормальной НСВ Х заключены в интервале
(a − 3 ; a + 3 ) .
Применяя формулу (6.3), в которой положим x1 = a − 3 , x2 = a + 3 , получим:
a + 3 − a
a − 3 − a
P(a − 3 X a + 3 ) = Ф
− Ф
=
= Ф(3) − Ф( −3) = Ф(3) + Ф(3) = 2 (3) = 2 0, 49865 = 0,9973 1 .
Это свойство известно как «правило трех сигм». Оно применяется для оценки
диапазона возможных значений нормальной случайной величины
Пример. Известно, что для здорового человека рН крови является нормально
распределенной случайной величиной со средним значением (математическим
ожиданием) 7,4 и средним квадратическим отклонением 0,2. Найти: а) вероятность того,
что у случайно выбранного человека рН крови окажется в пределах от 7,0 до 7,6; б)
диапазон значений рН крови здорового человека.
Решение. а) Применим формулу (6.2), где положим a = 7, 4 , = 0, 2 , x1 = 7,0 , x2 = 7,8 .
7, 6 − 7, 4
7, 0 − 7, 4
P(7, 0 X 7, 6) =
−
= (1) − ( −2 ) = (1) + ( 2 ) =
0, 2
0, 2
= 0,3413 + 0, 4772 = 0,8185 .
б) Так как a = 7, 4 и = 0, 2 , то a − 3 = 7, 4 − 3 0, 2 = 6,8 , a + 3 = 7, 4 + 3 0, 2 = 8, 0 .
Следовательно, диапазон значений рН крови здорового человека составляет 6,8 − 8, 0 .
8