Дискретная случайная величина

1. Дискретная случайная величина

Закон распределения ДСВ
: E R
E 0 ДСВ
Пример. ДСВ Х – кол-во гербов при бросании 2 монет
Х
Р
РР
РГ
ГР
ГГ
0
1
1
2
.
0.25
.
0.5
.
.
0.25
Закон распределения ДСВ Х –
правило, сопоставляющее значениям
ДСВ соответствующие вероятности
1

2. Закон распределения ДСВ

Способы задания ЗР ДСВ
1) таблица распределения
2) общая формула
3) функция распределения
4) производящая функция
1 Таблица распределения
X x1
x2
… xn
P
p1
p2
… pn
0 pi 1 i 1,n
n
pi
р
1
i 1
2
х
Многоугольник
распределения
Общая формула
Р X x px
1 6
Р X k
7 7
k 1
x E
, k N
2

3. Закон распределения ДСВ

3
Свойства ф.р.
Функция распределения
F x P X x
1. 0 F x 1 x ;
2. x1 x2 F x1 F x2
3. F x0 0 F x0
F(x)
4. F 0, F 1
1
5. Р c X d F d F c
p2
p1
x1
0 x2
x3
х
X
x1
x2
x3
P
p1
p2
p3
3

4. Числовые характеристики ДСВ

X
x1
x2
… xn
P
p1
p2
… pn
n
pi 1
0 pi 1 i 1,n
i 1
Математическое ожидание
M X
n
xi pi
i 1
р
Свойства м.о.
mX
Начальный момент
k порядка
х
1. M a bX a b M X
2. M X Y M X M Y
n
mk M X k xik pi
i 1
4

5. Числовые характеристики ДСВ

Центральный
момент k порядка
k
k
k M X M X mx
Дисперсия
D X M X m x
Свойства
1. D a 0
2. D a bX b 2 D X
Среднее квадратичное
отклонение
Коэффициент
вариации
2
- центральный
момент
2 порядка
Вычислительная
формула
D X m 2 X
2
mx
X D X
σ X
v X
100%
5
m X

6. Числовые характеристики ДСВ

Пример Партия в шашки
X
0
1
2
P
0,2
0,3
0,5
n
M X xi pi
i 1
M X 0 0,2 1 0,3 2 0,5 1,3
D X m 2 X
р
mX
m2 M X
2
2
mx
D X 2,3 1,3 2 ,3 1,69 0 ,61
2
х
2
2
2
0 0 ,2 1 0 ,3 2 0 ,5 2 ,3
σ X D X
σ X 0,61 0,78
m 100%
v X
v X 0,78 1,3 100% 60%
6

7. Производящая функция ДСВ

Производящая функция – форма закона
распределения ДСВ
ДСВ Х задана формулой Р X k pk k 0 , 1, 2 , ...
4
z
1. z
pk z
k
, 0 z 1
k 0
Свойства производящей функции
, z ,...
ряды сходятся абсолютно
2. 1 1
3. 1 m x
1 pk 1
z pk k z
1 pk k m x
k 1
7

8. Производящая функция ДСВ

ДСВ Х задана формулой
z
Р X k pk
k
p
z
, 0 z 1
k
k 0
k 0, 1, 2 , ...
- производящая
функция ДСВ Х
z ,... ряды сходятся абсолютно
1
.
z
,
Свойства
2. 1 1
3. 1 m x
4. 1 1 m 2 X
z pk k k 1 z k 2
1 pk k 2 pk k m 2 m x
M X 1
D X 1 1 1
2
8

9. Производящая функция ДСВ

D X 0,61
Пример Партия в шашки M X 1,3
X
0
1
2
P
0,2
0,3
0,5
z
pk z
k
, 0 z 1
k 0
z 0,2 z 0,3 z 0,5 z 0,2 0,3 z 0,5 z
0
1
2
z 0,3 0,5 2 z 0,3 z
2
z 1
M X 1 M X 0,3 1 1,3
m 2 1 1 m 2 1 1,3 2,3
D X m 2 X
2
mx
D X 2,3 1,3 0,61
2
9