Дискретные случайные величины

1.

Дискретные случайные величины

2. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

• Величину, которая в результате опыта принимает
только одно, зависящее от случая, числовое
значение, назовем случайной величиной.
• Случайные величины обозначаются большими латинскими
буквами (X, Y, Z), а их возможные числовые значения – маленькими
латинскими буквами (x, y, z).
• ПРИМЕРЫ:
• Число выпадения герба при подбрасывании монеты
• Число выпавших гербов при подбрасывании двух монет
• Количество очков, выпадающих при подбрасывании игральной
кости
• Число родившихся мальчиков (или девочек) среди ста
новорожденных.
• Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия.
• Ошибка измерителя высоты.
• Температура воздуха на следующий день.

3. Дискретная случайная величина

• Случайная величина называется дискретной, если в
результате опыта она принимает числовые значения,
которые можно перечислить или поставить им в
соответствие элементы счётного множества
• Таким образом, дискретная случайная величина может
быть как конечной, так и бесконечной.
• Для описания дискретной случайной величины (ДСВ)
просто перечислить её значения недостаточно.
Необходимо для каждого значения найти
соответствующую вероятность.
• Вероятность того, что случайная величина Х примет то
или иное значение а обозначают Р(Х=а).

4. Какие из данных случайных величин будут дискретными?

• Число выпадения герба при подбрасывании монеты
• Число выпавших гербов при подбрасывании двух
монет
• Количество очков, выпадающих при подбрасывании
игральной кости
• Число родившихся мальчиков (или девочек) среди
ста новорожденных.
• Расстояние, которое пролетит снаряд при
выстреле из орудия.
• Ошибка измерителя высоты.
• Температура воздуха на следующий день.

5. Закон распределения ДСВ

1
42
Закон распределения ДСВ
Соответствие между возможными значениями случайной
величины и ее вероятностями называют законом распределения
случайной величины и записывают в виде таблицы:
Х х1 х2 … хn …
Р
p1 p2 … pn …
где в верхней строчке написаны значения случайной величины, а
в нижней – под каждым xi – вероятности pi. Заметим, что события
x1, x2,… xn образуют полную систему событий, поэтому сумма
вероятностей в нижней строке всегда равна 1.
Для нашего примера:
Х
0
Р
1/4 1/2 1/4
1
2

6. Многоугольник распределения

• Графическим изображением закона
распределения ДСВ является многоугольник
распределения - множество точек с
координатами (х1; р1), (х2; р2)… (хп; рп)…,
последовательно соединенных отрезками.
Для нашего примера:
1
2
у
1
4
0
1
2
х

7. Числовые характеристики ДСВ:

• Математическое ожидание.
• Дисперсия.

8. Математическое ожидание

• Математическим ожиданием M(X)
называют сумму произведений всех возможных
значений случайной величины (хi) на
соответствующие вероятности (рi):
• M(X) = х1·р1 + х2·р2+…+ хn·рn
• Математическое ожидание – это число,
которое указывает, какое среднее значение
случайной величины следует ожидать в
результате проведения опыта или испытания.

9. Задание:

• Закон распределения случайной величины Х
задан таблицей:
Х
Р
-5
0,1
0
0,2
2
0,3
6
0,4
XP
-0,5
0
0,6
2,4
Найдите математическое ожидание случайной
величины Х.
M(X) = х1·р1 + х2·р2+…+ хn·рn =
= -0,5+0+0,6+2,4=2,5

10. Дисперсия

• Дисперсией случайной величины Х называют
математическое ожидание квадрата ее отклонений от
среднего значения:
2
2
D( X ) M [( X x ) ] ( xi x ) pi .
i
• Для вычисления:
D(X) = M(X2) - M2(X),
• где M(X2) = х12·р1 + х22·р2+…+ хn2·рn
• Дисперсия характеризует степень отклонения
значений случайной величины от ее среднего значения.
На практике дисперсия служит для оценки меры риска.
• (Дисперсия всегда положительное число)

11. Задание:

• Закон распределения случайной величины Х
задан таблицей:
Х
Р
XP
X2P
-5
0,15
-0,75
3,75
0
0,2
2
0,3
6
0,35
0
0
0,6
1,2
2,1
12,6
Найдите дисперсию случайной величины Х.
D(X) =M(X2)-M2(X)=17,55-1,952=13,7475
где M(X2) = х12·р1 + х22·р2+…+ хn2·рn=
=3,75+0+1,2+12,6=17,55
M(X)= -0,75+0+0,6+2,1=1,95

12. ЗАДАЧА 1

• Прибыльность двух инвестиционных проектов
Х, Y (млн. руб) задана законами распределения:
Х
-1
2
5
Y
-5
6
10
Р
0,2
0,6
0,2
Р
0,4
0,5
0,1
ХP
YP
Х2P
Y2P
• Какой инвестиционный проект целесообразно
выбрать для реализации?

13. ЗАДАЧА 2

• Количество вызывав в скорую двух больниц за 3
минуты задана законами распределения:
Х
1
2
3
Y
1
2
3
Р
0,5
0,25 0,25
Р
0,4
0,3
0,3
ХP
YP
Х2P
Y2P
• Какой больница более загружена?
• Сколько вызовов поступает в больницу в среднем
за час?