Урок 12. Числовые характеристики распределения дискретных и непрерывных случайных величин

1. Урок 12.

Числовые характеристики
распределения дискретных и
непрерывных случайных величин.

2.

Числовые параметры, которые в
сжатой форме выражают наиболее
важные черты распределения,
называются числовыми
характеристиками случайной
величины.

3. Математическое ожидание.

Математическое ожидание служит
для характеристики особенности
распределения СВ, если ее возможные
значения сосредоточены вокруг
некоторого центра (центр
распределения или среднее значение
СВ).

4. Определение.

Математическим ожиданием МХ
дискретной СВ называется сумма
произведений возможных значений
СВ на соответствующие вероятности.
n
МХ xi pi
i 1

5. Задача 1.

Дискретная величина задана рядом
распределения:
Х
2
5
8
19
Р
0,2
0,3
0,4
0,1
МХ=2*0,2+5*0,3+8*0,4+19*0,1=7

6. Математическое ожидание НСВ:

в
МХ х f ( x)dx
а

7. Задача 2.

x 1;
0,
f ( x) x 1, 1 x 2;
0,
x 2.
2
2
3
2
x
x
2
2
MX x ( x 1)dx ( x x)dx ( )1
3
2
1
1
8
1 1
7 3 5
( 2) ( ) .
3
3 2
3 2 6

8. Определение.

Две СВ называются независимыми,
если закон распределения
вероятности одной из них не зависит
от того, какие возможные значения
приняла другая величина.

9. Свойства математического ожидания:

М(Х+Y)=М(Х)+М(Y);
М(Х-Y)=М(Х)-М(Y);
Для независимых величин
М(Х*Y)=М(Х)*М(Y);
МС=С;
М(СХ)=С(МХ);
М(Х-МХ)=0, где (Х-МХ) – отклонение
СВ от ее математического ожидания.

10. Дисперсия.

Задача 3.
Пусть величины Х и Y заданы рядами
распределения:
Х
2
3
4
5
Р
0,1
0,2
0,3
0,4
Y
-1
3
8
11
Р
0,2
0,5
0,2
0,1
Найти МХ и МY.

11.

Отложим значения величин на числовой
прямой:
MX
2
3
4
5
Х
MY
-1
3
8
11
У

12.

Определение: Математическое
ожидание квадрата отклонения
случайной величины от ее
математического ожидания
называется дисперсией.
2
DX M ( X MX )
n
для ДСВ : DX ( xi MX ) 2 pi
i 1
b
для НСВ : DX ( x MX ) 2 f ( x ) dx
a

13. Среднее квадратическое отклонение

Квадратный корень из дисперсии
называется средним квадратическим
отклонением:
х DX

14. Задача 4.

СВ задана рядом распределения:
х
2
4
7
10
12
Р
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
Найти MX и DX.
x
p
x p
2
0,1
0,2
-5
25
2,5
4
0,2
0,8
-3
9
1,8
7
0,4
2,8
0
0
0
10
0,2
2,0
3
9
1,8
12
0,1
1,2
5
25
2,5
MX=7
2
2
x MX ( x MX ) ( x MX ) p
DX=8,6

15. Задача 5.

Случайная величина задана
дифференциальной функцией
распределения:
0, x 1;
f ( x) 3 x 2 , 1 x 0;
0, x 0
Найти MX и DX .
b
0
4
3
x
MX x f ( x)dx 3 x3dx (
)
4
a
1
0
0
1
3
;
4
0
3 2
3 2 2
2
DX ( x ( )) 3 x dx 3 ( x ) x dx
4
4
1
1
0
5
4
3
3
9
x
3
x
9
x
3 ( x 4 x3 x 2 )dx 3( )
2
16
5 2 4 16 3
1
0
1
0,0375

16. Свойства дисперсии:

1. D( X Y ) D( X ) D(Y )
D( X Y ) D( X ) D(Y )
2. DC 0
3. D(CX ) C DX
2
4. DX M ( X 2 ) ( MX ) 2

17. Задача 6.

Вычислить дисперсию ДСВ, используя ряд
распределения и свойство 4.
Х
2
3
4
5
6
Р
0,2
0,2
0,3
0,2
0,1
М ( Х 2 ) 4 0,2 9 0,2 16 0,3 25 0,2 36 0,1 16
( МХ )2 (2 0,2 3 0,2 4 0,3 5 0,2 6 0,1)2 14,44
DX 16 14,44 1,56

18. Следствия:

1. D( X MX ) св .1 DX D( MX ) св.2 DX 0 DX
2. Z
X MX
x
стандартная величина;
X MX 1
MZ M
M ( X MX ) 0
x x
X MX 1
DX
DZ D
2 D( X MX ) 2 1
x
x x

19. Используя данные задач , найти математическое ожидание и дисперсию СВ:

1. В партии из 8 деталей 5 стандартных.
Наудачу взяты 4 детали. Построить ряд
распределения числа стандартных
деталей среди отобранных.
2.
0, x 1;
f ( x) 2( x 1),1 x 2;
0, x 2
Найти MX и DX .