Производная сложной функции

1.

Найдите пару (функция и ее производная)
1)
1
2
x
2)
3)
1
x
7)
1
2
x
1
cos x
5)
x
4
6)
x
4)
x
5
8)
x
12)
sin x
1
9)
2 x
10)
tgx
11)
5x
4

2. Ответ

x
1
2 x
1
1
2
x
x
cos x
sin x
x
5
5x 4

3. Укажите номера верных равенств – правил вычисления производных 1) 2) 3)

u v u v
u v
u v u v
u v
u v
u v

4. Укажите номера верных равенств – правил вычисления производных 4) 5) 6)

u v
u v
u v
u v
u v
u v u v

5. Производные каких функций знаем? 1) 5) 2) 6) 3) 7) 4) 8)

Производные каких функций знаем?
1)
y
2)
y (1 7 x)
3)
y cos x
4)
x
1
y
5x 3
5)
10
6)
7)
8)
y cos( 2 3x)
1
y
x
y 3x 2
y x
10

6.

Простые
(элементарные) функции
y
x
y x
10
Сложные функции
y 3x 2
y (1 7 x)
10
y cos x
y cos( 2 3x)
1
y
x
1
y
5x 3

7.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
1) y 3 x 2 x .
Примеры:
5
2
2) y sin x . y f ;
f sin x.
y f 5;
f 3 x 2 2 x.
3) y cos 2 x .
3
y cos f ;
f 2x .
3
Правило нахождения производной сложной функции
g
/
f x g f f x
/
/
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)

8.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
g / f x g / f f / x
Простая
функция
Производная
простой
функции
xn
nx
1
x
1
2
x
x
2 x
sin x
cos x
n 1
1
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Сложная
функция
Производная сложной
функции
f n x
n f n 1 x f / x
1
f x
f x
sin f x
f / x
2
f x
f / x
2 f x
cos f x f / x

9.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
g / f x g / f f / x
Простая
функция
x
Производная
простой
функции
n
nx
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Сложная
функция
n 1
f
Пример: 1) y 2 x 1 .
4
/
n
Производная сложной
функции
n f n 1 x f / x
x
y f ;
f 2 x 1.
4
3
/
3
3
y 2 x 1 4 2 x 1 2 x 1 4 2 x 1 2 8 2 x 1 .
/
4

10.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
g / f x g / f f / x
Простая Производная
функция
простой
функции
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Сложная
функция
1
x
2 x
Пример: 1) y
y
/
2x
f x
3
x
4
/
2 x3 x .
1
2 2x x
3
Производная сложной
функции
1
2 f x
f / x
f / x
2 f x
y f;
f 2 x3 x.
2 x 1
3
/
6x2
2x 2 x2 1
3x
2x 1
2
.

11.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
g / f x g / f f / x
Простая Производная
функция
простой
функции
cos x
sin x
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Сложная
функция
Производная сложной
функции
sin f x
cos f x f / x
Пример: 1) y sin 2 x .
3
y sin f ;
f 2x .
3
/
/
/
y sin 2 x cos 2 x 2 x 2 cos 2 x .
3
3
3
3

12.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Простая Производная
функция
простой
функции
Сложная
функция
Производная сложной
функции
f n x
n f n 1 x f / x
xn
nx n 1
1
x
1
2
x
1
f x
x
2 x
f x
cos x
sin f x
cos f x f / x
cos x
sin x
cos f x
sin f x f / x
tgx
1
cos 2 x
sin x
1
tgf x
f / x
2
f x
f / x
2 f x
/
f
x
1
/
f x
2
cos f x
cos 2 f x