Производная сложной функции

1. Тема урока: "Производная сложной функции".

Тема урока: "Производная
сложной функции".
Цель обучения:
находить производную сложной функции

2.

Найдите пару (функция и ее производная)
1)
5)
1
2
x
cos x
2)
x
4
3)
1
6)
x
7)
1
x
1
2
x
4)
x
8)
x
5
12)
sin x
1
9)
2 x
10)
tgx
11)
5x
4

3. Ответ

x
1
2 x
1
1
2
x
x
cos x
sin x
x
5
5x 4

4. Производные каких функций знаем? 1) 5) 2) 6) 3) 7) 4) 8)

Производные каких функций знаем?
1)
y
2)
y (1 7 x)
3)
y cos x
4)
x
1
y
5x 3
5)
10
6)
7)
8)
y cos( 2 3x)
1
y
x
y 3x 2
y x
10

5.

Простые
(элементарные) функции
y
x
y x
10
Сложные функции
y 3x 2
y (1 7 x)
10
y cos x
y cos( 2 3x)
1
y
x
1
y
5x 3

6.

Жозе́ф Луи́ Лагра́нж-(1736-1813)-французский
математик , астроном и механик . Сначала Лагранж
заинтересовался филологией. Но в руки Лагранжа
случайно попал трактат по математической оптике,
и он почувствовал своё настоящее призвание.
В 1755 году Лагранж был назначен преподавателем
математики в Королевской артиллерийской школе в
Турине. В 1766 Лагранж переехал в Берлин . Здесь
он вначале руководил физико-математическим
отделением Академии наук, а позже стал
президентом Академии. агранж внёс существенный
вклад во многие области математики,
включая вариационное исчисление, теорию
дифференциальных уравнений, решение задач на
нахождение максимумов и минимумов, теорию
чисел (теорема Лагранжа), алгебру и теорию
вероятностей. Формула конечных приращений и
несколько других теорем названы его именем.
Слайд №
6

7. Производная сложной функции

Сложная функция: y g f x .
y f 5;
Примеры: 1) y 3 x 2 x .
2
2
5
f 3 x 2 x.
y f;
y cos f ;
3) y cos 2 x .
f sin x.
3
f 2x .
3
Правило нахождения производной сложной функции
/
/
/
g f x g f f x
2) y sin x .
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Слайд №
7

8. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
(производная сложной функции равна
/
/
/
g f x g f f x производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая
функция
x
Производная
простой
функции
n
1
x
x
nx
n 1
1
2
x
Сложная функция
f
n
x
1
f x
1
2 x
f x
Слайд №
Производная сложной
функции
n f n 1 x f / x
f / x
2
f x
f / x
2 f x
8

9. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
g / f x g / f f / x
Простая
функция
1
x
Производная
простой
функции
1
2
x
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Сложная
функция
1
f x
Слайд №
Производная сложной функции
/
f
x
1
/
2
f x 2
f x
f x
9

10. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
сложной функции равна
g / f x g / f f / x (производная
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая
функция
Производная
простой
функции
y
/
Производная сложной функции
f x
1
x
Пример:
Сложная
функция
2 x
1
2 f x
f / x
f / x
2 f x
1) y 2 x x . y f ;
f 2 x 3 x.
2x
3
3
x
4
/
1
2 2x x
3
2 x 1
3
Слайд №
/
6x2
2x 2x 1
2
3x
.
2 x 2 110

11. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
сложной функции равна
g / f x g / f f / x (производная
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая
функция
Производная
простой
функции
sin x
cos x
Пример:
Сложная
функция
1) y sin 2 x .
3
sin f x
Производная сложной
функции
cos f x f / x
y sin f ;
f 2x .
3 /
y sin 2 x cos 2 x 2 x 2 cos 2 x .
3
3
3
3
/
/
Слайд №
11

12. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Простая
функция
x
n
Производная
простой
функции
nx n 1
Сложная
функция
f n x
1
x
1
2
x
1
f x
x
2 x
f x
1
Слайд №
Производная сложной
функции
n f n 1 x f / x
f / x
2
f x
f / x
2 f x
12

13. Закрепление изученного материала.

Вычислите производные:
4
1) у ( x 3)
2)
3)
2
у ( х х 11)
3
3
у х2 1
Слайд №
13

14. Домашнее задание.

• Выучить алгоритм.
• Найти производную.
у ( 2 3 х)8
у 5х 2 3
у (2 х 3) 4
Слайд №
14